Как было анонсировано в предыдущем посте, следующая (после восьмой) глава книги А.Е. Байкова «Уравнения в частных производных», что должна предстать перед строгим судом читателей блога — глава 6 «Эллиптические операторы второго порядка». Здесь выложены первые три параграфа: пар. 6.1 служат прелюдией к вариационному методу, с которого начнётся глава 8 «Методы решения краевых задач», и содержит довольно простые утверждения из функционального анализа; пар. 6.2 и 6.3 содержат исследование стандартных внутренних краевых задач с равномерно эллиптическими операторами второго порядка. Этому исследованию предшествует теория пространств Соболева, излагаемая в пятой главе (если честно, к её написанию автор ещё не приступал). В моём курсе УЧП…
Первый раз за тринадцать лет я реформировал программу курса «Уравнения в частных производных»! Эти изменения отразились в том числе на позиции темы «Уравнения первого порядка»: если раньше она было во второй, «эволюционной» части курса, то теперь курс с неё начинается. Некоторые авторы не считают уравнения первого порядка неотъемлемой частью курса и не включают в свои учебники. Другие идут ещё дальше, включая эту тему в курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Я, как вы уже поняли, придерживаюсь противоположной точки зрения. На материале уравнений первого порядка можно рассказать о таких концепциях в теории УЧП, как обобщённые (слабые) решения и априорные оценки, рассмотреть (что бывает…
Джордж Грин (George Green, 1793–1841) был английским математическим физиком, внёсшим значительный вклад в теорию потенциала. У Грина не было формального образования, он был самоучкой, работая на мельнице своего отца в Ноттингеме, прежде чем его математические таланты были признаны (мельница Грина показана в коротком ролике ). Его работы изначально были проигнорированы, но позже стали очень влиятельными и классическими. Сегодня Грин считается одним из главных математических физиков XIX века. Третья глава не случайно так называется. Она начинается с определения функции Грина внутренней задачи Дирихле, в последнем параграфе изучаются методы построения функции Грина и её приложение к решению краевых задач для уравнения Пуассона.…
Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. За прошедшие с момента публикации первой главы год и четыре месяца я не написал и двух сотен страниц моего двухтомника «Уравнения в частных производных». Много раз я задавал оставшийся без ответа вопрос «Зачем нужна ещё одна книга по УЧП, если существует множество замечательных учебников и монографий?». Я не собирался повторять одну из этих книг, но свою собственную представлял и до сих пор представляю мало кому нужной компиляцией… Кстати, два тома превратились за это время в одну большую книгу, примерные названия глав которой можно найти на https://baikov.org/pde.В этом посте содержится вторая глава «Гармонические…
Задачи о движении механических систем с сухим трением в настоящее время популярны среди исследователей и находят множество приложений, в частности, в создании новых систем передвижения. Разрывность правых частей уравнений движения систем с сухим трением значительно затрудняет анализ динамики, даже если в областях непрерывности уравнения допускают явное и простое общее решение. Полный анализ движений может быть очень трудоёмким, но именно это делает задачи механики систем с сухим трением столь интересными. Мы начинаем цикл «Динамика разрывных систем», он будет состоять из трёх частей. В первой части мы рассмотрим двухзвенную стержневую систему (т.е. состоящую из двух стержней) на шероховатой плоскости, нагруженную следящей силой,…
Я начал работу над книгой «Уравнения в частных производных» в начале 2022-го года, имея 10-летний опыт преподавания этой дисциплины. Опыт имеет один побочный эффект: с годами существующие учебники, специализированные монографии и конспекты лекций уважаемых коллег всё более отдаляются от созданного тобою курса. И тогда идея написания собственной книги с изложением классических результатов перестаёт казаться сумасшедшей. А в начале этого года я понял, что книгу придётся делить на два тома. Это не мегаломанство, но следование определённой цели: кроме теории включить в книгу изложение методов и достаточное число содержательных примеров. Объём моего курса не позволяет сделать это в одной книге, не превращая…
В начале 2014-го года (если быть точным, то 03.02.14 в российском формате дат) Теренс Тао выложил препринт, в котором построил blow-up усреднённой системы Навье—Стокса в трёхмерном евклидовом пространстве, принадлежащий классу быстро убывающих функций . Тем не менее, вопрос о существовании взрывных решений с конечной энергией самих уравнений Навье—Стокса остался открытым. Тао сейчас думает, что уравнения Навье—Стокса в трёхмерном евклидовом пространстве допускают blow-up в классе быстро убывающих функций (соответственно, на плоском трёхмерном торе — в классе гладких функций). Дело, однако, в том, что blow-up системы уравнений Навье—Стокса, по всей видимости, невозможно построить в точном виде, а вот blow-up усреднённых (в том…
В названии поста три фамилии — Пуанкаре, Банаха и Ладыженской, но при всём уважении к Стефану Банаху и Ольге Александровне Ладыженской, вдохновение я черпал из классического результата великого Анри Пуанкаре: решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений аналитически зависят от малого параметра, только если правые части системы, представленной в нормальной форме Коши, сами аналитически зависят от малого параметра и фазовых переменных. Русскоязычные специалисты знают об этой теореме из первого тома «Новых методов небесной механики», переведённых на русский язык в начале 1970-х. Пуанкаре называл свой результат Extension du théorème de Cauchy — расширением теоремы Коши (см. стр. 59 в мемуаре Les méthodes nouvelles…