Книга по УЧП: глава 3 ‘Функция Грина’, пар. 3.1 и 3.2

Джордж Грин (George Green, 1793–1841) был английским математическим физиком, внёсшим значительный вклад в теорию потенциала. У Грина не было формального образования, он был самоучкой, работая на мельнице своего отца в Ноттингеме, прежде чем его математические таланты были признаны (мельница Грина показана в коротком ролике ). Его работы изначально были проигнорированы, но позже стали очень влиятельными и классическими. Сегодня Грин считается одним из главных математических физиков XIX века.

Третья глава не случайно так называется. Она начинается с определения функции Грина внутренней задачи Дирихле, в последнем параграфе изучаются методы построения функции Грина и её приложение к решению краевых задач для уравнения Пуассона. Много всего интересного происходит по пути. В посте опубликованы первые два параграфа главы 3 «Функция Грина». В пар. 3.1, кроме определения, предназначения и свойств функции Грина, выводится формула Пуассона (одна из самых известных интегральных формул в УЧП), пар. 3.2 начинается с её обоснования.

В основном второй параграф посвящён исследованию разрешимости внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа. О самом естественном — вариационном — методе здесь тоже заходит речь, но обоснование получает другой — предложенный ещё А. Пуанкаре и разработанный О. Перроном метод субрешений. Существование классического решения задачи Дирихле существенно зависит от устройства границы области. Есть простой аналитический критерий — регулярность границы. В конце параграфа обсуждаются достаточные геометрические условия. В частности, показано, что граница класса $C^2$ регулярна.

3.1. Функция Грина внутренней задачи Дирихле

Бо́льшая часть настоящей главы связана с внутренней задачей Дирихле для уравнения Пуассона и, в частности, уравнения Лапласа. Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — область, $\varphi: \partial \Omega \to \mathbb{R}$ — известная граничная функция, $f: \Omega \to \mathbb{R}$ — известная функция в области. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в области $\Omega$ имеет вид

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta u =f, \, x \in \Omega,\\ & \left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi.\\ \end{aligned} \right.\,\, (3.1)$

Напомним, что задача (3.1) называется внутренней, если $\Omega$ — ограниченная область. Далее, если иное явно не оговорено, работаем только с задачами в ограниченных областях.

Определение 3.1. Классическим решением задачи Дирихле (3.1) называется функция $u \in C^{2} (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ , обращающая уравнение Пуассона и условие Дирихле в тождества.

Про случай уравнения Лапласа нам известно больше: во второй главе было показано, что 1) пространство решений может быть сужено до $\mathcal{U}= C^{\infty} (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ ; 2) решение задачи (2.27) устойчиво в классе пространств $\mathcal{U}, \mathcal{F}$ , где $\mathcal{F}=C(\partial \Omega)$ (см. п.3 в определении 2.10). Следствие 2.2 принципа максимума о единственности классического решения задачи (2.27) легко обобщается до утверждения о единственности классического решения задачи (3.1): действительно, разность $u = u_1-u_2$ двух решений задачи (3.1) снова удовлетворяет задаче (2.28) с нулями в правых частях. Определение 3.1 непосредственно даёт необходимое условие существования классического решения: $\varphi \in C(\partial \Omega)$ , $f \in C(\Omega)$ . Забегая сильно вперёд, скажем, что условие на функцию $\varphi$ будет достаточным, если граница области регулярна (см. пар. 3.2), а вот условие $f \in C(\Omega)$ очень далеко от достаточного. До установления класса корректности внутренней задачи Дирихле (3.1) предстоит ещё долгий путь, который будет завершён в пар. 3.4.

Но если от функциональной теории отвлечься на более практические вещи, то на ум сразу приходит классический инструмент исследования краевых задач — функция Грина. Как уже отмечалось в преамбуле, она должна удовлетворять специальной задаче с однородным краевым условием и дельта-функцией в правой части уравнения. Функция Грина задачи (3.1) зависит от точки области $\Omega$ как от параметра. Она должна для любой $x^0 \in \Omega$ удовлетворять специальной задаче вида

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta G \left( x,x^0 \right) = \delta \left( x-x^0 \right), \, x \in \Omega,\\ & \left. G \left( \cdot,x^0 \right)\right|_{\partial \Omega} = 0.\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (3.2)$

Другими словами, $G=G\left( x,x^0 \right)$ — фундаментальное решение оператора Лапласа в области $\Omega$ (в смысле определения 2.7), удовлетворяющее однородному условию Дирихле на $\partial \Omega$ . Однако, возможно определить функцию Грина с помощью стандартного фундаментального решения $E = E \left( x-x^0 \right)$ , минуя задачу (3.2).

Определение 3.2. Корректором задачи Дирихле (3.1) называется семейство функций $g \left( \cdot, x^0 \right) \in C^{\infty} \left( \Omega\right) \cap C \left( \overline{\Omega}\right)$ , для любой $x^0 \in \Omega$ удовлетворяющее условиям: 1) $g \left( \cdot, x^0 \right)$ — гармоническая в $\Omega$ функция; 2) $g \left( x,x^0\right) = -E \left( x-x^0\right)$ , $x \in \partial \Omega$ . Функцией Грина задачи Дирихле (3.1) называется сумма фундаментального решения и корректора: $G \left(x,x^0 \right)= E \left( x-x^0\right)+ g \left( x,x^0\right)$ .

Пусть $\partial \Omega \in C^1$ , классическое решение задачи (3.1) $u \in C^{2} \left( \overline{\Omega}\right)$ (в частности, $f \in C \left( \overline{\Omega}\right)$ ), существует корректор и для любой точки $x^0 \in \Omega$ $g \left( \cdot, x^0 \right) \in C^2 \left( \overline{\Omega}\right)$ . Сложим формулу интегрального представления (2.10) и вторую формулу Грина:

$0 = \int \limits_{\Omega}g \left( x,x^0\right) \Delta u dx + \int \limits_{\partial \Omega} \left( u(x) \frac{\partial g}{\partial \vec{\nu}} - g \left( x,x^0 \right) \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}\right) ds.$

Учитывая, что $\Delta u = f$ в $\Omega$ , $\left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ и $E+g=G$ , получим

$u \left( x^0 \right) = \int \limits_{\Omega} G \left( x,x^0 \right) f(x)\, dx + \int \limits_{\partial \Omega} \frac{\partial G}{ \partial \vec{\nu}} \varphi(x) \, ds.\,\,\, (3.3)$

Утверждение 3.1. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $\partial \Omega \in C^1$ , задача Дирихле (3.1) имеет классическое решение $u \in C^{2} \left( \overline{\Omega}\right)$ , существует корректор $g \left( \cdot, x^0 \right) \in C^{2} \left( \overline{\Omega}\right)$ . Тогда в любой точке $x^0 \in \Omega$ верна формула интегрального представления (3.3).

Может показаться большим недостатком требование в утверждении 3.1 существования классического решения $u \in C^{2} \left( \overline{\Omega}\right)$ . Действительно, если существует корректор, принадлежащий пространству $C^{2} \left( \overline{\Omega}\right)$ , то при $f \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ , $\varphi \in C (\partial \Omega)$ формула (3.3) даёт некоторую функцию в области. Почему бы не проверить, что последняя — классическое решение задачи Дирихле (3.1)? Проблема в том, что такая проверка сопряжена с большими техническими трудностями. Мы преодолеем их в одном конкретном случае (задача Дирихле в шаре), но не для произвольной ограниченной области, пусть и с очень хорошей границей. На самом деле, разрешимость задачи (3.1) и существование корректора устанавливаются другими методами, затем проверяется принадлежность этих функций пространству $C^2 \left( \overline{\Omega} \right)$ , наконец, применяется утверждение 3.1, которое даёт интегральную формулу (3.3).

Утверждение 3.2 (свойства функции Грина задачи Дирихле). Пусть $G = G \left( x,x^0 \right)$ — функция Грина внутренней задачи Дирихле (3.1), для каждой $x^0 \in \Omega$ справедливо $G \left( \cdot, x^0 \right) \in C^2 \left( \overline{\Omega} \backslash \left\{ x^0 \right\} \right)$ . Тогда: 1) $G \left( x^0, x^1\right) = G \left( x^1,x^0 \right)$ для всех $x^0,x^1 \in \Omega$ , $x^0 \ne x^1$ (симметрия функции Грина); 2) $G \left( x, x^0 \right) <0$ для всех $x, x^0 \in \Omega$ , $x^0 \ne x$ (отрицательность функции Грина).

Доказательство. 1) Применим вторую формулу Грина к функциями $G_0 = G \left(\cdot, x^0 \right)$ и $G_1=G \left( \cdot,x^1 \right)$ в области $\Omega_{\varepsilon} = \Omega \backslash \left( \overline{B}_{\varepsilon} \left( x^0 \right) \sqcup \overline{B}_{\varepsilon} \left( x^1 \right)\right)$ , где $\varepsilon > 0$ столь мало, что $B_{\varepsilon} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ , $B_{\varepsilon} \left( x^1 \right) \Subset \Omega$ и эти шары не пересекаются. Устремляя $\varepsilon$ к нулю, рассуждая как в доказательстве формулы интегрального представления (см. утверждение 2.2), получаем $G_0 \left( x^1 \right) = G_1 \left( x^0 \right)$ , т.е. $G \left( x^0, x^1\right) = G \left( x^1,x^0 \right)$ , что и требовалось.

2) Функция Грина $G=G \left( \cdot, x^0 \right)$ , $x^0 \in \Omega$ , гармоническая в области $\Omega_{\varepsilon} = \Omega \backslash \overline{B}_{\varepsilon} \left( x^0 \right)$ , $B_{\varepsilon} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ , поэтому она удовлетворяет принципу максимума. При достаточно малом $\varepsilon >0$ для любой $x \in \Omega_{\varepsilon}$ по следствию 2.1 имеем

$0= \max \limits_{\partial \Omega} G \left( x,x^0 \right) = \max \limits_{\partial \Omega_{\varepsilon}} G \left( x,x^0 \right) > G \left( x,x^0 \right),$

так как $\max_{S_{\varepsilon} \left( x^0 \right) } G \left( x,x^0 \right) = \mathcal{E} (\varepsilon) + \max_{S_{\varepsilon} \left( x^0 \right) } g \left( x,x^0 \right)<0$ , если взять $\varepsilon$ достаточно малым $\blacksquare$

Построим функцию Грина задачи Дирихле в идеальной с точки зрения оператора Лапласа области, т.е. в шаре. Корректор задачи Дирихле в шаре — функция $g \left( \cdot, x^0 \right)$ , удовлетворяющая для любой точки $x^0 \in B_{R}$ задаче

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta g =0, \, x \in B_R,\\ & g\left( x,x^0 \right) = -E \left( x-x^0 \right),\, x \in S_R.\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (3.4)$

Инверсия относительно сферы $S_{R}$ , имеющая вид $\mathbb{R}^n \backslash \{ 0\} \ni x \mapsto \frac{R^2}{|x|^2} x \in \mathbb{R}^n \backslash \{ 0\}$ , представляющая собой композицию гомотетии с коэффициентом $1/R$ и инверсии относительно стандартной сферы, биективно отображает шар $B_{R}$ на его внешность $\mathbb{R}^n \backslash \overline{B}_{R}$ ; точка $x^0 \in B_{R}$ при этом отображается в $x^1 = \frac{R^2}{\left| x^0 \right|^2} x^0$ , но только если $x^0 \ne 0$ (центр шара $0$ отображается в бесконечно удалённую точку). Покажем, что если $x^0 \ne 0$ , то решение задачи (3.4) имеет вид $g \left( x;x^0 \right) = - \mathcal{E} \left( \frac{\left| x^0 \right|}{R} \left| x-x^1 \right| \right)$ .

Итак, фиксируем $x^0 \in B_{R} \backslash \{ 0 \}$ . Гармоничность функции $g$ в $B_{R}$ очевидна, так как она с точностью до коэффициента (при $n>2$ ; при $n=2$ — с точностью до аддитивной постоянной) совпадает с фундаментальным решением относительно точки $x^1$ , лежащей вне шара.

Рис. 3.1. Подобные треугольники, образованные симметричными точками $x^0$ , $x^1$ .

Если $x \in S_{R}$ , то треугольники $x^0 O x$ и $xO x^1$ подобны по первому признаку (рис. 3.1), поэтому $\left| x-x^0 \right| = \frac{\left| x^0 \right|}{R} \left|x-x^1\right|$ и $g \left( x,x^0 \right) =- \mathcal{E} \left( \left| x-x^0 \right| \right)$ .

При $x^0=0$ имеем, очевидно, $g (x;0) = -\mathcal{E} (R)$ , но с другой стороны $\frac{\left| x^0 \right|}{R} \left| x-x^1 \right| \sim \frac{\left| x^0 \right| \left| x^1 \right|}{R} = R$ , $x^0 \to 0$ , поэтому приведённая формула для корректора в предельном смысле справедлива и в случае $x^0=0$ . Функция Грина задачи Дирихле в шаре радиуса $R$ суть

$G \left( x,x^0 \right) = E \left( x-x^0 \right) - E \left( \frac{\left| x^0 \right|}{R} \left( x-x^1 \right) \right) = \mathcal{E} \left( \left| x-x^0 \right| \right) - \mathcal{E} \left( \frac{\left| x^0 \right|}{R} \left| x-x^1 \right| \right), \,\,\, (3.5)$

где, ещё раз, $x^1$ — инверсия $x^0$ относительно сферы $S_R$ , $x^1 = \frac{R^2}{\left| x^0 \right|^2} x^0$ . Теперь получим формулу интегрального представления решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta u =0, \, x \in B_R,\\ & \left. u \right|_{S_{R}} = \varphi.\\ \end{aligned} \right.\,\,\,(3.6)$

в предположении, что решение существует и принадлежит $C^2 \left( \overline{B}_{R} \right)$ . Из общей формулы (3.3) явствует, что в любой точке $x^0 \in B_{R}$ $u \left( x^0 \right) = \int_{S_{R}} \frac{\partial G}{\partial \vec{\nu}} \varphi(x) ds$ , где внешняя нормаль $\vec{\nu}$ к сфере $S_{R}$ направлена по радиусу $\vec{x}$ : $\vec{\nu} = \frac{1}{R} \vec{x}$ (рис. 3.1). Так как $\frac{\partial}{\partial x_j} \left| x - x^k \right| = \frac{x_j - x_j^k}{\left| x-x^k \right|}$ ( $k=0,1$ ), будем иметь

$\begin{aligned} & \left. \frac{\partial G}{\partial \vec{\nu}} \right|_{S_R} = \sum \limits_{j=1}^{n} \mathcal{E}' \left( \left| x-x^0 \right| \right) \frac{x_j-x_j^0}{\left| x-x^0 \right|} \frac{x_j}{R} - \mathcal{E}' \left( \frac{\left|x^0\right|}{R} \left| x-x^1 \right| \right) \frac{ \left|x^0 \right|}{R} \frac{x_j-x_j^1}{\left| x-x^1 \right|} \frac{x_j}{R} =\\ & =\frac{ \mathcal{E}' \left( \left| x-x^0 \right| \right)}{\left| x-x^0 \right|} \left( R-\frac{1}{R} \sum \limits_{j=1}^{n} x_j^0 x_j -\frac{\left|x^0\right|^2}{R} +\frac{\left| x^0 \right|^2}{R^3} \sum \limits_{j=1}^{n} x_j^1 x_j \right) = \frac{ \mathcal{E}' \left( \left| x-x^0 \right| \right)}{\left| x-x^0 \right|} \left( R - \frac{\left| x^0 \right|^2}{R^2} \right).\\ \end{aligned}$

Учитывая то, что для всех $n \geqslant 2$ производная $\mathcal{E}'(r) = \frac{1}{\omega_{n-1} r^{n-1}}$ , окончательно получим интегральное ядро Пуассона $K\left( x,x^0 \right) = \frac{R^2 - \left| x^0 \right|^2}{\omega_{n-1}R} \frac{1}{\left| x-x^0 \right|^{n}}$ и формулу Пуассона, представляющую решение задачи (3.6):

$u \left(x^0 \right) = \frac{R^2 - \left| x^0 \right|^2}{ \omega_{n-1} R} \int \limits_{S_{R}} \frac{\varphi(x) ds}{ \left| x - x^0 \right|^{n}}.\,\,\, (3.7)$

Остаётся открытым вопрос: даёт ли формула (3.7) классическое (из пространства $C^{\infty} \left( {B}_{R} \right) \cap C \left( \overline{B}_{R} \right)$ ) решение задачи (3.6) при непрерывной граничной функции $\varphi$ , или от последней нужно требовать какие-то дополнительные условия? Ответ дадим в начале следующего параграфа.

3.2. Разрешимость внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Совершенно ясно, что существование решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа (2.27) сильно зависит от границы области $\Omega$ : для некоторых «хороших» границ решение существует при любой функции $\varphi \in C(\partial \Omega)$ , для других — только если граничная функция принадлежит некоторому подпространству $C(\partial \Omega)$ (заметим, что при $\varphi =0$ всегда существует тривиальное решение, граница не важна). Определение класса «хороших» границ — одна из главных задач этого параграфа. Кроме того, будет предложен метод построения решения задачи (2.27), правда, не имеющий практических приложений.

В функциональной теории УЧП есть два основных пути доказательства разрешимости. Первый (прямой) путь основан на том или ином методе построения решения. Чаще всего решение определяется как некоторый предел, в самых простых случаях (например, в методе Фурье) — как предел последовательности или ряд. Исследователь должен доказать сходимость в соответствующем функциональном пространстве $\mathcal{U}$ построенного направленного семейства к искомому решению. Второй, топологический путь обычно опирается ту или иную теорему о неподвижной точке, например, на принципе Шаудера, который утверждает, что всякий компактный нелинейный оператор, отображающий шар банахового пространства в себя, допускает неподвижную точку. Ко второму пути можно отнести метод монотонных операторов (мы используем его в доказательстве разрешимости задачи Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения второго порядка в соответствующей главе) и метод непрерывности, использованный Яу Шинтуном в доказательстве существования решения комплексного уравнения Монжа-Ампера.

Однако, мы начнём с доказательства разрешимости внутренней задачи Дирихле в шаре. Для её решения есть явная формула (интеграл Пуассона) (3.7). Пусть $B_{R} = \left\{ x \in \mathbb{R}^n: |x|<R \right\}$ — шар радиуса $R$ , $S_{R} = \partial B_{R}$ ; изменим обозначения в формуле (3.7): $x^0$ на $x$ , $x$ на $y$ .

Теорема 3.1. Пусть $\varphi \in C \left( S_R \right)$ , тогда функция

$u(x) = \frac{R^2 - | x |^2}{ \omega_{n-1} R} \int \limits_{S_{R}} \frac{\varphi(y) ds}{ \left| x - y \right|^{n}}\,\,\, (3.8)$

суть гармоническая в $B_{R}$ , принадлежит $C \left( \overline{B}_{R} \right)$ , и для любой точки $x^0 \in S_{R}$ $\lim \limits_{B_{R} \ni x \to x^0}u(x) = \varphi \left( x^0\right)$ . Другими словами, функция (3.8) — классическое решение задачи (3.6).

Доказательство. Заметим, что для любой точки $x \in B_{R}$ интеграл (3.8) собственный, поэтому из бесконечной дифференцируемости интегрального ядра следует $u \in C^{\infty} \left( B_R \right)$ . Проверим, что $u$ — гармоническая функция в шаре. Обозначим $x = y+\xi$ и представим ядро Пуассона в виде $K = \frac{1}{\omega_{n-1}R} \left( R^2 - |y+\xi|^2 \right) \rho^{-n}$ , где $\rho = |\xi|$ . Используем выражение для оператора Лапласа от радиально-симметричных функций $\Delta v(\rho) = v''(\rho) + \frac{n-1}{\rho} v'(\rho)$ и формулу для оператора Лапласа от произведения функций $\Delta (uv) = u \Delta v + 2 \nabla u \cdot \nabla v + v \Delta u$ . Кроме того, $|y+\xi|^2 = R^2 + 2 \vec{y} \cdot \vec{\xi} + \rho^2$ . Имеем

$\begin{aligned} & \Delta K = -\frac{2 n}{\omega_{n-1} R } \rho^{-n} +\frac{4n}{\omega_{n-1}R} \rho^{-n-2} \sum_{j=1}^{n} \left( y_j + \xi_j \right) \xi_j +\frac{R^2 - |y+\xi|^2}{\omega_{n-1}R} 2 n \rho^{-n-2} = \\ & = \frac{2n}{\omega_{n-1} R} \rho^{-n-2} \left( -\rho^2 + 2 \vec{y} \cdot \vec{\xi} + 2 \rho^2 + R^2 - R^2 - 2 \vec{y} \cdot \vec{\xi} - \rho^2\right) = 0.\ \end{aligned}$

Отсюда $\Delta u = \int_{S_R} \varphi(y) \Delta K ds =0$ для любой $x \in B_{R}$ .

Пусть $\varphi \equiv 1$ , тогда задача (3.6) имеет очевидное решение $u \equiv 1$ , оно единственно по следствию 2.2. Так как (3.5) — функция Грина, то в силу утверждения 3.1 формула Пуассона (3.8) даёт решение задачи Дирихле в шаре с постоянной граничной функцией.

Пусть теперь $\varphi \in C \left( S_{R} \right)$ , покажем, что для любой точки $x^0 \in S_{R}$ и любого $\varepsilon >0$ найдётся $\delta >0$ со свойством: если $x \in B_{R} \cap B_{\delta} \left(x^0 \right)$ , то $\left| u(x) - \varphi \left(x^0 \right) \right| < \varepsilon$ . Поскольку $\varphi$ — непрерывная функция на $S_R$ , существует $\delta' >0$ , что для всех $y \in S_{R} \cap B_{\delta'} \left(x^0 \right)$ справедливо неравенство $\left| \varphi \left( x^0 \right) - \varphi(y) \right| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Обозначим через $\sigma_{\delta'}$ пересечение сферы $S_{R}$ с шаром $B_{\delta'}\left( x^0 \right)$ и рассмотрим оценку:

$\begin{aligned} & \left| u(x) - \varphi \left( x^0 \right) \right| = \left| \int \limits_{S_{R}} K \left( y,x \right) \left( \varphi(y) - \varphi \left( x^0 \right) \right) ds\right| \leqslant \int \limits_{\sigma_{\delta'}} K \left( y,x \right) \left| \varphi(y) - \varphi \left( x^0 \right) \right| ds + \\ & + \int \limits_{S_{R} \backslash \sigma_{\delta'}} K \left( y,x \right) \left| \varphi(y) - \varphi \left( x^0 \right) \right| ds < \frac{\varepsilon}{2} + \sup \limits_{y \in S_{R} \backslash \sigma_{\delta'}} \left| \varphi(y) - \varphi \left( x^0 \right) \right| \int \limits_{S_{R} \backslash \sigma_{\delta'}} K(x,y) ds.\\ \end{aligned}$

Если $M = \max_{S_{R}} | \varphi|$ , то $\sup_{y \in S_{R} \backslash \sigma_{\delta'}} \left| \varphi(y) - \varphi \left( x^0 \right) \right| \leqslant 2 M$ . Осталось оценить интеграл $\int_{S_{R} \backslash \sigma_{\delta'}} K(x,y) ds$ :

$\int \limits_{S_{R} \backslash \sigma_{\delta'}} K(x,y) ds = \frac{R^2 - |x|^2}{\omega_{n-1}R} \omega_{n-1} R^{n-1} \frac{1}{\left| \delta' - \mu \right|^n} \leqslant \frac{2 R^{n-1} \left( R - |x| \right)}{\left| \delta' - \mu \right|^n}$

при $\left| x - x^0 \right| < \mu < \delta'$ . Если, кроме того, $\delta''=R-\varepsilon \frac{\left| \delta' - \mu \right|^n}{ 8M R^{n-1}}<|x|<R$ (см. рис. 3.2), то оценку можно продолжить и получить $\int_{S_{R} \backslash \sigma_{\delta'}} K(x,y) ds\leqslant \frac{\varepsilon}{4 M}$ . Следовательно, положив, к примеру, $\mu = \frac{1}{2} \delta'$ , для $\delta = \frac{\varepsilon \left( \delta' \right)^n}{2^{n+3} M R^{n-1}}$ и любой $x \in B_{R} \cap B_{\delta'} \left( x^0 \right)$ будем иметь $\left| u(x) - \varphi \left( x^0 \right) \right| < \frac{\varepsilon}{2} +2 M \frac{\varepsilon}{4M} < \varepsilon$ , что и требовалось $\blacksquare$

Рис. 3.2. Четыре шара в доказательстве теоремы 3.1.

Теорема 3.2 (обратная теорема о среднем). Пусть $\Omega$ — область в $\mathbb{R}^n$ , $u \in C(\Omega)$ и для любой сферы $S_{R} \left( x^0 \right) \subset \Omega$ выполнено соотношение

$u \left(x^0 \right) = \frac{1}{\omega_{n-1} R^{n-1}}\int \limits_{S_{R} \left( x^0 \right)}u(x) ds,\,\,\, (3.9)$

т.е. значение функции $u$ в точке $x^0$ равно среднему по любой сфере с центром в этой точке. Тогда $u$ — гармоническая функция в $\Omega$ .

Доказательство. Обозначим $\varphi = \left. u \right|_{S_{R} \left( x^0 \right)}$ , применим к этой функции внутри сферы $S_{R} \left( x^0 \right)$ формулу Пуассона (со сдвинутым в точку $x^0$ центром):

$v(x) = \frac{R^2 - \left| x-x^0\right|^2}{\omega_{n-1} R} \int \limits_{S_{R} \left( x^0 \right)} \frac{\varphi(y) ds}{\left| x-x^0 -y \right|^n}.\,\,\, (3.10)$

Формула (3.10) даёт гармоническую в шаре $B_{R} \left( x^0 \right)$ функцию $v$ , удовлетворяющую условию Дирихле $\left. v \right|_{S_{R} \left( x^0 \right)} = \varphi$ . Заметим, что функция $w = u-v$ также удовлетворяет условию среднего вида (3.9), но уже в шаре $B_{R} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ . Из свойства среднего по сфере легко следует свойство среднего по шару (как в доказательстве теоремы 2.2).

Бросим взгляд на доказательство принципа максимума (теорема 2.3). Оно использует только то обстоятельство, что субгармонические функции удовлетворяют неравенству со средним по шару. И больше ничего! Поэтому принцип максимума (и аналогичный ему принцип минимума) распространяются на все функции, удовлетворяющие условию среднего по шару. Отсюда следует, что функция $w \in C \left( \overline{B}_{R} \left( x^0 \right) \right)$ достигает свой максимум и минимум на граничной сфере $S_{R} \left( x^0 \right)$ , где она равна нулю. Поэтому $w=0$ , т.е. $u=v$ в $B_{R} \left( x^0\right)$ . В силу произвольности шара $u$ — гармоническая функция в $\Omega$ $\blacksquare$

Из теоремы 3.2 немедленно следует теорема о сходимости последовательности гармонических функций, аналогичная теореме К. Вейерштрасса из ТФКП об аналитичности равномерного предела последовательности аналитических функций.

Утверждение 3.3 (теорема Вейерштрасса для гармонических функций). Если последовательность гармонических в области $\Omega$ функций $\left\{ u_j \right\}_{j=1}^{\infty}$ равномерно сходится на любой компакте $K \subset \Omega$ , то её предел — гармоническая функция в $\Omega$ .

Действительно, гармонические функции удовлетворяют для любой сферы $S_{R} \left( x^0 \right) \subset \Omega$ условию среднего (3.9), а в силу равномерной сходимости возможен предельный переход в этой формуле. Предел также будет удовлетворять условию среднего, по теореме 3.2 он будет гармонической функцией.

Во второй главе мы определи субгармонические и супергармонические функции как, соответственно, решения неравенств $\Delta u \geqslant 0$ и $\Delta u \leqslant 0$ . Было показано, что субгармонические функции удовлетворяют неравенствам со средним по сфере и со средним по шару (2.22), (2.24) (супергармонические функции удовлетворяют противоположным неравенствам). Можно забыть об операторе Лапласа и определить непрерывные суб- и супергармонические функции, положив в основу неравенства со средним значением.

Определение 3.3. Функция $u \in C(\Omega)$ ( $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — область) называется субгармонической (супергармонической) в $\Omega$ , если для любой сферы $S_{R} \left( x^0 \right) \subset \Omega$ она удовлетворяет неравенству со средним по сфере

$u \left( x^0 \right) \leqslant (\geqslant) \frac{1}{\omega_{n-1} R^{n-1}} \int \limits_{S_{R} \left( x^0 \right)} u(x) ds.\,\,\, (3.11)$

Ещё раз отметим, что из неравенства (3.11) следует неравенство со среднем по шару. Легко видеть, что непрерывные субгармонические функции удовлетворяют принципу максимума, а непрерывные супергармонические функции — принципу минимума.

Непрерывные субгармонические функции связаны с гармоническими функциями следующим образом. Пусть $u \in C(\Omega)$ — субгармоническая функция, $B \Subset \Omega$ — шар, $h \in C\left( \overline{B} \right)$ — гармоническая функция в шаре $B$ , такая, что $u \leqslant h$ на $\partial B$ . Тогда $u \leqslant h$ в $B$ , потому что функция $u - h$ удовлетворяет неравенству со средним по сфере, и следовательно, для неё верен принцип максимума. Справедливо и обратное утверждение: если функция $u \in C(\Omega)$ такова, что для любого шара $B \Subset \Omega$ и любой гармонической в этом шаре функции $h \in C \left( \overline{B} \right)$ из неравенства $u \leqslant h$ на $\partial B$ следует неравенство $u \leqslant h$ в $B$ , то $u$ удовлетворяет неравенству со среднем по сфере (3.11). В самом деле, в центре $x^0$ шара $B_{R} \left( x^0 \right)$ имеем $u \left( x^0 \right) \leqslant h \left( x^0 \right) = \frac{1}{\omega_{n-1} R} \int_{S_{R} \left( x^0 \right)} u(x) ds$ . Связь непрерывных супергармонических функций с гармоническими функциями аналогичная (сформулируйте соответствующие утверждения).

Опишем гармоническую срезку — важную конструкцию с субгармоническими функциями. Пусть $u \in C(\Omega)$ — субгармоническая функция, $B \Subset \Omega$ — некоторый шар. Рассмотрим гармоническую в этом шаре функцию $p$ , задаваемую интегралом Пуассона с граничной функцией $\varphi = \left. u \right|_{\partial B}$ . Определим гармоническую срезку функции $u$ относительно шара $B$ по формуле

$U(x) = \left\{ \begin{aligned} & p(x),\, x \in B,\\ & u(x),\, x \in \Omega \backslash B. \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (3.12)$

Легко видеть, что функция $U$ тоже субгармоническая. Действительно, в шаре $B$ субгармоническая функция $u \leqslant p$ , а для произвольных шара $B' \Subset \Omega$ и гармонической в этом шаре $h \in C \left( \overline{B}' \right)$ , удовлетворяющей неравенству $U \leqslant h$ на $\partial B'$ , $u \leqslant h$ в $B' \backslash B$ , поскольку $u$ сначала была субгармонической функцией, а $p \leqslant h$ в $B \cap B'$ из-за того, что на границе этого пересечения $p \leqslant h$ . Гармоническая срезка супергармонической функции определяется аналогично и супергармонична.

Изложим метод Перрона, впервые предложенный А.Пуанкаре, построения решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа (2.27). Его основная идея — приближение к решению задачи непрерывными субгармоническими функциями, которые принадлежат пространству $C \left( \overline{\Omega} \right)$ и не превосходят функции $\varphi$ на $\partial \Omega$ .

Определение 3.4. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $\varphi: \partial \Omega \to \mathbb{R}$ — заданная функция. Непрерывная в $\overline{\Omega}$ и субгармоническая в $\Omega$ функция называется субрешением внутренней задачи Дирихе (2.27) с граничной функцией $\varphi$ , если она удовлетворяет неравенству $u \leqslant \varphi$ на $\partial \Omega$ . Далее, пусть $S_{\varphi}$ — множество всех субрешений задачи (2.27). Тогда функция

$u(x) = \sup \limits_{v \in S_{\varphi}} v(x),\, x \in \Omega,\,\,\, (3.13)$

называется решением Перрона внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области $\Omega$ с граничной функцией $\varphi$ .

Отметим два простых факта о решении Перрона. Первый: множество $S_{\varphi}$ непусто, если функция $\varphi$ ограничена снизу, так как в этом случае существует по крайней мере одно субрешение $v \equiv \inf_{\partial \Omega} \varphi$ . Второй: если к тому же функция $\varphi$ ограничена сверху, то по принципу максимума любое субрешение $v \in S_{\varphi}$ также ограничено сверху величиной $\sup_{\partial \Omega} \varphi$ . Таким образом, если $\varphi$ — ограниченная на $\partial \Omega$ функция, то решение Перрона определено в любой точке $x \in \Omega$ .

Но удивительным образом ограниченности функции $\varphi$ оказывается достаточно для того, чтобы решение Перрона было гармонической функцией в $\Omega$ . При этом ничего не требуется от границы области, не нужна даже непрерывность функции $\varphi$ . Сейчас речь идёт только о том, что функция (3.13) — решение уравнения Лапласа в области $\Omega$ ; говорить, что она удовлетворяет краевому условию $\left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ или служит классическим решением задачи Дирихле (2.27), ещё рано.

Теорема 3.3. Пусть $\Omega$ — ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ , $\varphi: \partial \Omega \to \mathbb{R}$ — ограниченная функция. Тогда решение Перрона (3.13) внутренней задачи Дирихле (2.27) c функцией $\varphi$ в краевом условии суть гармоническая функция в $\Omega$ .

Как это частно бывает с теоремами существования (например, с теоремой существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с непрерывной правой частью, когда применяется метод ломаных Эйлера), основной инструмент доказательства теоремы 3.3 — теорема Арцела́. Напомним её формулировку, тем более в этой книге к теореме Арцела мы ни один раз обратимся.

Пусть $K$ — компактное метрическое пространство с функцией расстояния $d$ , $C(K)$ — векторное пространство всех непрерывных функций, принимающих вещественные (или комплексные) значения. Вспомним, что $C(K)$ есть банахово пространство с равномерной нормой $\| u \|_{K} = \max_{K} |u|$ (даже банахова алгебра, но сейчас это не важно). Семейство функций $\mathcal{U} \subset C(K)$ называется предкомпактным, если его замыкание компактно.

Следует помнить два определения компактности — топологическое и секвенциальное. Семейство $\overline{\mathcal{U}}$ называется: 1) топологически компактным (или просто компактным), если всякое покрытие $\mathcal{U}$ открытыми множествами допускает конечное подпокрытие; 2) секвенциально компактным, если из любой последовательности его элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу, принадлежащему $\overline{\mathcal{U}}$ . К счастью, для метрических пространств, в частности, для семейств $\overline{\mathcal{U}} \subset C(K)$ эти определения эквивалентны; далее, в основном, мы будем пользоваться вторым.

Определение 3.5. Семейство $\mathcal{U} \subset C(K)$ называется: а) равномерно ограниченным, если существует константа $C \geqslant 0$ и для любой $u \in \mathcal{U}$ $\| u\|_{K} \leqslant C$ ; б) равностепенно непрерывным, если для любого $\varepsilon >0$ существует такое $\delta > 0$ , что для всех $u \in \mathcal{U}$ , $x,x' \in K$ из неравенства $d \left( x,x' \right)< \delta$ следует неравенство $\left| u(x) - u(x') \right| < \varepsilon$ .

Всякая функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывно на нём, поэтому конечное семейство функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема Арцела. Семейство $\mathcal{U} \subset C(K)$ предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство теоремы можно посмотреть, например, в книге А.Н. Колмогорова, С.В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа». Следующая лемма обобщает теорему Монтеля из ТФКП о предкомпактности семейства голоморфных функций.

Лемма 3.1. Пусть $\mathcal{U} \subset C^{\infty}(\Omega)$ — бесконечное семейство гармонических функций в $\Omega$ , равномерно ограниченное на любом компакте $K \subset \Omega$ . Тогда для любой последовательности $\{ u_{k} \}_{k=1}^{\infty} \subset \mathcal{U}$ существует подпоследовательность $\left\{ u_{k_j} \right\}_{j=1}^{\infty}$ , равномерно сходящаяся на любом компакте $K \subset \Omega$ к гармонической функции $u \in C^{\infty}(\Omega)$ .

Доказательство. Предположим, что $\partial \Omega \ne \emptyset$ (случай $\Omega = \mathbb{R}^n$ исследуется ещё проще — сделайте это самостоятельно). Покажем, что из равномерной ограниченности семейства $\mathcal{U}$ следует его равностепенная непрерывность на каждом компакте. Рассмотрим точку $x \in \Omega$ , пусть $d = \mathrm{dist} \left( x , \partial \Omega \right)$ , $C = \max_{u \in \mathcal{U}} \| u \|_{\overline{B}_{\frac{2}{3} d} \left( x \right) } >0$ (если $C=0$ , то всё очевидно). Запишем априорную оценку первых производных функций $u \in \mathcal{U}$ : для любых $\xi \in \overline{B}_{\frac{1}{3} d} \left( x \right)$ , $j=1,\ldots,n$ ,

$\left| u_{x_j} (\xi) \right| \leqslant \frac{3 n}{d} C.\,\,\, (3.14)$

Тогда для $\delta < \frac{1}{3} d$ и точки $x' \in \overline{B}_{\delta} (x)$ по теореме Лагранжа

$u(x) - u(x') = \nabla u (\xi) \cdot \left( x- x' \right),$

где $\xi$ лежит на интервале, соединяющем $x$ и $x'$ . Отсюда $\left| u(x) - u(x') \right| \leqslant \frac{3 n}{d} C \delta < \varepsilon$ , когда $\delta < \frac{1}{3} d \min \left\{ 1, \frac{\varepsilon}{n C} \right\}$ .

Фиксируем теперь компакт $K \subset \Omega$ , число $\varepsilon>0$ , найдём $d = \mathrm{dist}( K, \partial \Omega)$ (кратчайшее расстояние от компакта до границы области), положим $C = \sup_{u \in \mathcal{U}} \| u \|_{\overline{Q} } >0$ , где $Q$ — $\frac{2}{3}d$ -окрестность компакта $K$ , т.е. объединение шаров с радиусом $\frac{2}{3}d$ и центрами в точках компакта. Тогда для числа $\delta < \frac{1}{3} d \min \left\{ 1, \frac{\varepsilon}{n C} \right\}$ , любых точек $x,x' \in K$ , удовлетворяющих неравенству $\left| x-x' \right|<\delta$ , получим $\left| u(x) - u(x') \right| < \varepsilon$ . Итак, семейство $\mathcal{U}$ равностепенно непрерывно на любом компакте $K \subset \Omega$ .

По теореме Арцела из любой последовательности $\{ u_{k} \}_{k=1}^{\infty} \subset \mathcal{U}$ можно извлечь подпоследовательность $\left\{ u_{k_j} \right\}_{j=1}^{\infty}$ , которая равномерно сходится на любом компакте $K$ . Из утверждения 3.3 следует, что пределом этой подпоследовательности будет гармоническая функция $\blacksquare$

Теперь всё готово для доказательства теоремы 3.3. Фиксируем точку $x^0 \in \Omega$ и докажем, что в окрестности этой точки решение Перрона — гармоническая функция. Тогда благодаря произвольности точки $x^0 \in \Omega$ функция $u$ будет гармонической во всей области $\Omega$ .

По определению решения Перрона существует такая последовательность $\left\{ v_{k}\right\}_{k=1}^{\infty} \subset S_{\varphi}$ , что $v_{k} \left( x^0 \right) \to u \left( x^0 \right)$ , $k \to \infty$ . Если положить $\tilde{v}_{k} = \max \left\{ v_{k}, \inf_{\partial \Omega} \varphi\right\}$ , то мы опять получим последовательность субрешений задачи Дирихле, стремящуюся в точке $x^0$ к $u \left( x^0 \right)$ , однако $\{ \tilde{v}_{k} \}_{k=1}^{\infty}$ будет равномерно ограниченной как сверху, так и снизу.

Выберем шар $B_{R} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ и рассмотрим $V_k$ — гармоническую срезку $\tilde{v}_{k}$ относительно $B_{R} \left( x^0 \right)$ . Имеем $\left\{ V_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset S_{\varphi}$ , последовательность $\left\{ V_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ равномерно ограничена (по принципу максимума $\left\| V_{k} \right\|_{\overline{B}_{R} \left( x^0 \right)} = \left\| \tilde{v}_{k} \right\|_{\overline{B}_{R} \left( x^0 \right)}$ ) и $V_{k} \left( x^0 \right) \to u \left( x^0 \right)$ при $k \to \infty$ , потому что

$u \left( x^0 \right) \geqslant V_{k} \left( x^0 \right) = \frac{1}{\omega_{n-1} R^{n-1}} \int \limits_{S_{R} \left( x^0 \right)} \tilde{v}_{k} (x) ds \geqslant \tilde{v} \left( x^0 \right) \to u \left( x^0 \right),\, k \to \infty.$

По лемме 3.1 последовательность $\left\{ V_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ содержит подпоследовательность $\{ V_{k_j} \}_{j=1}^{\infty}$ , равномерно сходящуюся в любом замкнутом шаре $\overline{B}_{\rho} \left( x^0 \right)$ ( $\rho < R$ ) к гармонической функции $V$ . Очевидно, что $V \leqslant u$ в $B_{R} \left( x^0\right)$ и $V \left( x^0 \right) = u \left( x^0 \right)$ . Покажем, что на самом деле $V= u$ в $B_{R} \left( x^0\right)$ .

Предположим, что $V \left( \tilde{x}\right) < u \left( \tilde{x}\right)$ в некоторой точке $\tilde{x} \in B_{R} \left( x^0\right)$ . Тогда существует такая функция $w \in S_{\varphi}$ , что $V \left( \tilde{x}\right) < w \left( \tilde{x}\right)$ . Положим $w_{j} = \max \left\{ w, V_{k_j}\right\}$ и возьмём гармоническую срезку $W_{j}$ функции $w_j$ относительно шара $B_{R} \left( x^0 \right)$ . Лемма 3.1 даёт подпоследовательность $\left\{ W_{{j}_{i}} \right\}_{i=1}^{\infty}$ , равномерно сходящуюся к гармонической функции $W$ на любом компакте внутри шара $B_{R} \left( x^0 \right)$ . Но тогда $V \leqslant W \leqslant u$ в $B_{R} \left( x^0\right)$ , $V \left( x^0 \right) = W \left( x^0 \right) = u \left( x^0 \right)$ , и в силу принципа максимума должно выполняться равенство $V=W$ , что противоречит выбору $w \in S_{\varphi}$ . Следовательно, $V=u$ в шаре $B_{R} \left( x^0\right)$ и теорема 3.3 доказана.

Метод Перрона соотносит граничной функции $\varphi$ некоторую гармоническую в области $\Omega$ функцию $u$ , но будет ли последняя классическим решением задачи Дирихле (2.27)? По крайней мере, в одну сторону это верно: если $\varphi \in C(\partial \Omega)$ , $u$ — классическое решение задачи (2.27), то оно же будет решением Перрона относительной граничной функции $\varphi$ , так как $u \in S_{\varphi}$ и для любой $v \in S_{\varphi}$ по принципу максимума $v \leqslant u$ . Справедливость обратного утверждения существенно зависит от границы области $\Omega$ : существуют «плохие» границы и непрерывные функции на них, относительно которых решение Перрона классическим не будет, следовательно, классического решения задачи Дирихле с такими граничными функциями не существует вовсе. Рассмотрим, к примеру, проколотый шар $\Omega = B_{R} \backslash \{ 0 \}$ , функцию $\varphi \in C (\partial \Omega)$ , $\varphi(0)=\varphi_0$ . С одной стороны, решение Перрона существует при любом $\varphi_0$ , с другой, оно будет классическим тогда и только тогда, когда $\varphi_0 = \frac{1}{\omega_{n-1} R^{n-1}} \int_{S_R} \varphi(x) ds$ (по теореме об устранимой особенности и теорема о среднем по сфере).

Получим класс «хороших» границ (будем называть их регулярными) со следующим замечательным свойством: при любой непрерывной функции $\varphi$ решение Перрона есть классическое решение задачи Дирихле (2.27).

Определение 3.6. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $\xi \in \partial \Omega$ . Функция $w \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ называется барьером в граничной точке $\xi$ , если: 1) $w$ — супергармоническая функция в $\Omega$ ; 2) $w>0$ в $\overline{\Omega} \backslash \{ \xi \}$ и $w(\xi)=0$ . Локальным барьером в точке $\xi$ называется барьер относительно $Q=N (\xi) \cap \Omega$ , где $N(\xi)$ — окрестность точки $\xi$ .

Любой локальный барьер можно достроить до глобального. В самом деле, пусть $w \in C \left( \overline{Q}\right)$ — локальный барьер в точке $\xi \in \partial \Omega$ , $Q=N (\xi) \cap \Omega$ . Рассмотрим шар $B_{R} (\xi) \Subset N (\xi)$ , тогда функция

$W(x) = \left\{ \begin{aligned} & \min \left\{ m, w(x) \right\},\, x \in \overline{\Omega} \cap B_{R} (\xi),\\ & m,\, x \in \overline{\Omega} \backslash B_{R} (\xi),\\ \end{aligned} \right.$

где $m = \inf \limits_{N(\xi) \backslash B_{R} (\xi)} w>0$ , будут глобальным барьером в граничной точке $\xi$ . Теперь определим класс регулярных границ и докажем лемму о регулярности.

Определение 3.7. Граничная точка называется регулярной, если она допускает барьер. Граница $\partial \Omega$ области $\Omega$ регулярна, если все её точки регулярны.

Лемма 3.2. Пусть $u$ — решение Перрона внутренней задачи Дирихле (2.27) в области $\Omega$ с ограниченной граничной функцией $\varphi$ . Если $\xi \in \partial \Omega$ — регулярная точка, $\varphi$ непрерывна в $\xi$ , то $u(x) \to \varphi (\xi)$ при $\Omega \ni x \to \xi$ .

Доказательство. Пусть $w$ — барьер для точки $\xi \in \partial \Omega$ . Фиксируем произвольное $\varepsilon>0$ и найдём такое $\delta >0$ , что для любой $x \in B_{\delta}(\xi)$ $| \varphi(x)-\varphi(\xi) | < \varepsilon$ . Рассмотрим функцию $\underline{u}(x)=\varphi(\xi)-\varepsilon - k w(x)$ , где положительное $k$ столь велико, что $k w(x) \geqslant 2 \sup_{\partial \Omega} |\varphi|$ для всех $x \in \partial \Omega \backslash B_{\delta} (\xi)$ . Очевидно: $\underline{u}$ — субгармоническая в $\Omega$ функция; покажем, что $\underline{u} \in S_{\varphi}$ . Действительно, если $x \in \partial \Omega \cap B_{\delta}(\xi)$ , то

$\underline{u}(x)< \varphi(x)-k w(x) \leqslant \varphi(x),$

а если $x \in \partial \Omega \backslash B_{\delta}(\xi)$ , то

$\underline{u}(x)< \varphi(\xi)-2 \sup \limits_{\partial \Omega} |\varphi| \leqslant \varphi (x).$

Тогда по определению решения Перрона для всех $x \in \Omega$ справедливо $u(x) \geqslant \underline{u}(x)$ . Принимая во внимание, что $\underline{u}$ — непрерывная функция в граничной точке $\xi$ , т.е. $\underline{u} (x) \to u(\xi)=\varphi(\xi)-\varepsilon$ при $\Omega \ni x \to \xi$ , получим $\underline{\lim}_{\Omega \ni x \to \xi} u(x) \geqslant \varphi(\xi)-\varepsilon$ .

Аналогично $\overline{u}(x) = \varphi(\xi)+\varepsilon + k w(x)$ — супергармоническая функция (число $k$ выбирается как в предыдущем случае), превосходящая $\varphi$ на границе: при $x \in \partial \Omega \cap B_{\delta}(\xi)$ $\overline{u}(x) > \varphi(x)+k w(x) \geqslant \varphi(x)$ , а при $x \in \partial \Omega \backslash B_{\delta}(\xi)$ $\overline{u}(x) > \varphi(\xi)+2 \sup \limits_{\partial \Omega} |\varphi| \geqslant \varphi (x)$ . Из принципа максимума (минимума), справедливого для непрерывных субгармонических (супергармонических) функций, следует $\underline{u}(x) \leqslant u(x) \leqslant \overline{u}(x)$ для всех $x \in \Omega$ . Так как $\overline{u}(x) \to \overline{u}(\xi)=\varphi(\xi)+\varepsilon$ при $\Omega \ni x \to \xi$ , $\overline{\lim}_{\Omega \ni x \to \xi} u(x) \leqslant \varphi(\xi) + \varepsilon$ .

Итак, имеем $\varphi(\xi)-\varepsilon \leqslant \underline{\lim}_{\Omega \ni x \to \xi} u(x) \leqslant \overline{\lim}_{\Omega \ni x \to \xi} u(x) \leqslant \varphi(\xi) + \varepsilon$ , но $\varepsilon$ произвольно, поэтому $u(x) \to \varphi(\xi)$ , $\Omega \ni x \to \xi$ $\blacksquare$

Теорема 3.4. Внутренняя задача Дирихле (2.27) для уравнения Лапласа разрешима при любой непрерывной граничной функции тогда и только тогда, когда граница области регулярна.

Доказательство. Если $\partial \Omega$ регулярна, $\varphi \in C(\partial \Omega)$ , то по теореме 3.3 и лемме 3.2 существует классическое решение $u \in C^{\infty}(\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ . Оно будет решением Перрона задачи (2.27) с граничной функцией $\varphi$ , непрерывной и, следовательно, ограниченной на $\partial \Omega$ .

Наоборот, пусть задача Дирихле (2.27) разрешима при любой $\varphi \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ . Для $\varphi(x)=|x-\xi|$ , $x \in \partial \Omega$ , $\xi$ — произвольно выбранная и фиксированная граничная точка, соответствующее решение $w \in C^{\infty}(\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ будет супергармонической в $\Omega$ функцией, положительной в $\overline{\Omega} \backslash \{ \xi \}$ по следствию 2.1 из принципа максимума, $w(\xi)=\varphi(\xi)=0$ ; другими словами, $w$ — барьер в точке $\xi$ $\blacksquare$

Таким образом, если $\partial \Omega$ регулярна в смысле определения 3.7 (регулярная относительно оператора Лапласа граница), то внутренняя задача Дирихле (2.27) корректна в классе пространств $\mathcal{U} = C^{\infty}(\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ , $\mathcal{F} = C (\partial \Omega)$ (следствие 2.2, утверждение 2.5 и теорема 3.4). Отсюда следует, что задача Дирихле в области с регулярной границей допускает функцию Грина $G \left( x,x^0 \right) = E \left( x-x^0 \right)+ g \left( x,x^0 \right)$ , потому что функция $g$ — решение задачи (2.27) с граничной функцией $\varphi(x) = -E \left( x-x^0 \right)$ . Правда, пока пространство решение не сужено хотя бы до $C^{\infty} (\Omega) \cap C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , функция Грина бесполезна; даже формула (3.3) не имеет смысла, так как содержит $\frac{\partial G}{\partial \vec{\nu}}$ . Гладкость решений задачи (2.27) и задачи (3.1) в замыкании области будет исследована в пар. 3.4; там же будут показаны условиям применимости формулы интегрального представления (3.3).

Определение 3.7 регулярности граничной точки даётся в терминах существования функции с определёнными свойствами, оно имеет аналитический, но не геометрический характер. Мы дадим несколько геометрических достаточных условий регулярности, а в конце параграфе сформулируем критерий Н. Винера, дав заодно ключевое во многих вопросах эллиптической теории понятие ёмкости.

Из теоремы 2.7 следует, что если $\xi$ изолирована как точка $\partial \Omega$ , то она не может быть регулярной. В 1900-м году В.Ф. Осгуд доказал, что если $\xi$ содержится в связной компоненте $\mathbb{R}^2 \backslash \Omega$ , имеющей по крайней мере одну, отличную от $\xi$ , точку, то $\xi$ — регулярная точка границы области $\Omega$ . Таким образом, единственная ситуация, остающаяся в размерности $n=2$ нерешённой — это когда точка $\xi$ не связана с остальной частью $\mathbb{R}^2 \backslash \Omega$ , но является предельной для дополнения.

Утверждение 3.4. Пусть точка $\xi \in \partial \Omega$ , не изолированная для $\partial \Omega$ , содержится в топологически связной компоненте $\mathbb{R}^2 \backslash \Omega$ . Тогда $\xi$ регулярна.

Доказательство. Отождествим $\mathbb{R}^2$ с комплексной плоскостью $\mathbb{C}$ и обратимся к ТКФП. Пусть $\eta \in \mathbb{C} \backslash \Omega$ — другая точка, лежащая в одной компоненте связности с $\xi$ . Линейным преобразованием $z \mapsto k (z-\xi)$ можно добиться того, чтобы граничная точка отобразилась $0$ , а точка $\eta$ — в точку $\zeta$ , лежащую вне замкнутого стандартного диска $\overline{\mathbb{D}}=\{ z \in \mathbb{C}: |z| \leqslant 1 \}$ (укажите условие на коэффициент $k$ ). Поскольку регулярность — локальное свойство, достаточно построить барьер для пересечения $\Omega'=\Omega \cap \mathbb{D}$ (затем его можно продолжить до глобального барьера).

Рассмотрим ветвь $w = \mathrm{ln}\, z$ комплексного логарифма $w=\mathrm{Ln} \, z$ в окрестности точки $z_0 \in \Omega$ . Её можно (однозначно) аналитически продолжить на $\Omega'$ . Действительно, в противном случае нуль можно было бы окружить замкнутой кривой Жордана $\Gamma \subset \Omega'$ , что невозможно, так как существует связная компонента $\mathbb{C} \backslash \Omega'$ , содержащая нуль и точку $\zeta$ . Функция $w(z)=-\Re \frac{1}{\mathrm{ln}\, z} = -\frac{\mathrm{ln}\, r}{\mathrm{ln}^2 r + \theta^2}$ ( $r$ , $\theta$ — модуль и аргумент $z$ ) будет барьером в граничной точке $0$ : она гармоническая в $\Omega'$ как вещественная часть аналитической функции, $w(z)>0$ для всех $z \in \Omega'$ , $w(z) \to 0$ при $\Omega' \ni z \to 0$ $\blacksquare$

В многомерном случае, когда $n >2$ , столь мощных, близких к критерию, геометрических достаточных условий регулярности нет. Однако, есть очень простое, указанное А. Пуанкаре в 1887-м году, достаточное условие внешней сферы, справедливое в любой размерности.

Утверждение 3.5 (условие внешней сферы). Пусть точка $\xi \in \partial \Omega$ такова, что существует шар $B_{R} \left( x^0 \right)$ со свойствами: $B_{R} \left( x^0 \right) \cap \Omega = \emptyset$ , $\overline{B}_{R} \left( x^0 \right) \cap \partial \Omega = \{ \xi \}$ (оба свойства эквивалентны условию $\overline{B}_{R} \left( x^0 \right) \cap \overline{\Omega} = \{ \xi \}$ ). Тогда $\xi$ регулярна.

Доказательство. Действительно, при $n=2$ можно положить $w(x)=\mathrm{ln} \frac{\left| x-x^0 \right|}{R}$ ; если же $n>2$ , то $w(x) = \frac{1}{R^{n-2}} -\frac{1}{\left| x-x^0 \right|^{n-2}}$ . В обоих случаях $w$ — гармоническая функция в $\mathbb{R}^n \backslash \left\{ x^0 \right\}$ , $w>0$ вне $B_{R} \left( x^0 \right)$ , в частности, в $\Omega$ . И поскольку $w(\xi)=0$ , $w$ — барьер в точке $\xi$ $\blacksquare$

Из утверждения 3.5 следует, что если граница $\partial \Omega \in C^2$ , то она регулярна. В самом деле, пусть $\xi \in \partial \Omega$ — фиксированная произвольная точка. Сделаем такую линейную замену координат, чтобы $\xi$ отобразилась в нуль, а орт $\vec{e}_{n}$ служил внешней нормалью в этой точке. Область локально описывается подграфиком некоторой дважды непрерывно дифференцируемой функции: $\Omega \cap B_{R}(0) = \left\{ x_n < \psi \left(x_1,\ldots,x_{n-1} \right) \right\} \cap B_{R}(0)$ . Имеем $\psi(0)=0$ , $d \psi(0)=0$ (рис. 3.3).

По теореме Тейлора существует $M > 0$ и $\left| \psi \left( x' \right) \right| \leqslant M \left| x' \right|^2$ для всех $x' = \left( x_1,\ldots,x_{n-1} \right)$ из некоторой окрестности $0 \in \mathbb{R}^{n-1}$ (не ограничивая общности, считаем, что этому неравенству удовлетворяет всё пересечение области с шаром $B_{R} (0)$ ).

Рис. 3.3. Построение внешней сферы для границы класса $C^2$ .

Тогда шар $B_{\delta} \left( x^0 \right)$ с центром $x^0 = \left( 0, \ldots, 0,\delta \right)$ при радиусе $\delta<\min \left\{ \frac{1}{2M}, R \right\}$ удовлетворяет условиям утверждения 3.5: из неравенства $x_n < \psi \left( x' \right) \leqslant M \left| x' \right|^2$ следует неравенство $\left| x' \right|^2-2 \delta x_n + x_n^2 >0$ , т.е $\Omega \cap B_{R}(0)$ — подмножество $\mathbb{R}^n \backslash \overline{B}_{\delta} \left( x^0 \right)$ , а $\overline{B}_{\delta} \left( x^0 \right) \cap \partial \Omega = \{ 0 \}$ , потому что единственное решение системы

$\left| x' \right|^2-2 \delta x_n + x_n^2 \leqslant 0,\, x_n=\psi \left( x' \right) \leqslant M \left| x' \right|^2$

есть $x'=0, x_n=0$ .

Отметим, что граница $\partial \Omega \in C^1$ может не удовлетворять условию внешней сферы во всех точках (упражнение: приведите пример области $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ с границей $\partial \Omega \in C^1$ , одна точка которой не удовлетворяет условию внешней сферы). Таким образом, класс гладкости $C^2$ оказывается оптимальным для классической теории краевых задач с оператором Лапласа: внутренняя задача Дирихле (2.27) разрешима, внутренняя задача Неймана разрешима с точностью до константы (утверждение 2.3). В пар. 3.5 мы увидим, что $\partial \Omega \in C^2$ гарантирует существование решение задачи Неймана (2.29), если $\int_{\partial \Omega} \varphi(x) ds=0$ , и разрешимость третьей краевой задачи с положительным граничным коэффициентом.

Условие внешней сферы можно ослабить, заменив шар в условии утверждения 3.5 на телесный угол. Выпуклый конус $Q_{0} \subset \mathbb{R}^n$ с вершиной в нуле имеет то определяющее свойство, что для всех $x,y \in Q$ и $\lambda>0$ , $x+y \in Q$ и $\lambda x \in Q$ . Непустой открытый конус $Q_0$ называется острым, если существует такая гиперплоскость $\Pi \subset \mathbb{R}^n$ , что $Q_0$ лежит в одном из полупространств. Конус $Q_{x^0}$ с вершиной в точке $x^0$ получается из конуса с вершиной в нуле сдвигом в эту точку: $Q_{x^0} = Q_{0} + \left\{ x^0 \right\}$ (сумма по Минковскому). Телесный угол мы будем получать как пересечение конуса $Q_{x^0}$ и шара с центром в $x^0$ .

Утверждение 3.6 (условие внешнего конуса). Пусть точка $\xi \in \partial \Omega$ такова, что существуют шар $B_{R} (\xi)$ и непустой открытый острый конус $Q_{\xi}$ , такие, что образуемый ими телесный угол $A_{\xi} = B_{R} (\xi) \cap Q_{\xi}$ имеет свойства: $A_{\xi} \cap \Omega = \emptyset$ , $\overline{A}_{\xi} \cap \partial \Omega = \{ \xi \}$ . Тогда $\xi$ регулярна.

Построение барьера для точки $\xi$ , удовлетворяющей условию внешнего конуса, не столь элементарно, как для точки, удовлетворяющей условию внешней сферы. Вместе с тем, утверждение 3.6 несложно получить из критерия Винера. Последний использует конструкцию ёмкости компактных подмножеств пространства $\mathbb{R}^n$ . Перед общим определением вспомним, что электроёмкость — характеристика проводника, определяемая как отношение электрического заряда, нанесённого на проводник, к его потенциалу (при этом потенциал поля на бесконечности обращается в нуль). Электроёмкость численно равна заряду проводника, имеющего единичный потенциал.

Опираясь на физический смысл, дадим математическое определение ёмкости области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , полагая её односвязной (далее это условие будет снято). Так как $\partial \Omega$ может не принадлежать классу $C^1$ , окружим область $\Omega$ аппроксимирующей связной гиперповерхностью $\Sigma \in C^1$ . Она служит границей ограниченной области $Q$ , строго содержащей $\Omega$ : $\partial Q = \Sigma$ , $\Omega \Subset Q$ . Если $u \in C^{\infty} \left( \mathbb{R}^n \backslash \overline{\Omega} \right)$ — гармоническая функция во внешней по отношению к $\Omega$ области, то для любых аппроксимирующих $\partial \Omega$ поверхностей $\Sigma_1$ , $\Sigma_2$ по второй формуле Грина (применённой для $u$ и тождественной единицы) $\int_{\Sigma_1} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds = \int_{\Sigma_2} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds$ (упражнение: докажите это равенство, сообразив, для какой(каких) областей нужно применять вторую формулу Грина).

Определим ёмкость области $Q$ . Для этого рассмотрим внешнюю задачу Дирихле в дополнительной области $Q'= \mathbb{R}^n \backslash \overline{Q}$ :

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta u =0,\, x \in \mathbb{R}^n \backslash \overline{Q},\\ & \left. u \right|_{\Sigma}=1,\, u \to 0,\, |x| \to \infty. \end{aligned} \right. \,\,\, (3.15)$

Чтобы решение внешней задачи было единственным, краевое условие необходимо дополнить асимптотическим условием на бесконечности. Для задачи (3.15) таким условием будет стремление решения к нулю при $|x| \to \infty$ . Предположим, что задача (3.15) имеет единственное решение $u \in C^{2} \left( \overline{Q}' \right)$ (или хотя бы из пространства $C^{\infty} \left( Q' \right) \cap C^{1} \left( \overline{Q}' \right)$ ). Тогда, исходя из физических предпосылок, величину $\mathrm{cap} (Q) = - \int_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds$ можно назвать ёмкостью области $Q$ ( $\vec{\nu}$ — нормаль к $\Sigma$ , внешняя по отношению к $Q$ ).

Рассмотрим большой шар $B \Supset Q$ и применим первую формулу Грина для функций $u=v$ ( $u$ — по-прежнему решение задачи (3.15) из пространства $C^{2} \left( \overline{Q}' \right)$ ) в области $B \backslash \overline{Q}$ :

$0= \int \limits_{S} u \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds - \int \limits_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds - \int \limits_{B \backslash \overline{Q}} | \nabla u|^2 dx.\,\,\, (3.16)$

Здесь $S = \partial B$ — граничная сфера. Устремим радиус шара $B$ и сферы $S$ к бесконечности. Из асимптотического условия задачи (3.15) вытекает, что интеграл по $S$ в равенстве (3.16) после предельного перехода исчезнет. Отсюда $-\int_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds = \int_{\mathbb{R}^n \backslash \overline{Q}} | \nabla u|^2 dx$ и ёмкость области $Q$ может быть определена как значение функционала энергии на решении задачи (3.15): $\mathrm{cap}(Q)=E(u)=\int_{\mathbb{R}^n \backslash \overline{Q}} | \nabla u|^2 dx$ .

Функционал энергии (он же функционал Дирихле) играет огромную роль при исследовании задачи Дирихле (и не только: аналогичные функционалы есть для других краевых задач; см. пар. 3.5). Вернёмся к внутренней задаче (2.27), считая, что $\partial \Omega \in C^1$ . Функционал энергии задачи (2.27) имеет вид $E(u) = \int_{\Omega} \left| \nabla u \right|^2 dx$ . Рассмотрим следующую вариационную проблему

$E(u) \to \min,\, u \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right),\, \left. u \right|_{\partial \Omega}=\varphi,\,\,\, (3.17)$

где $\varphi \in C^1(\partial \Omega)$ — заданная граничная функция. Решение задачи (3.17) называется экстремалью. Её связь с задачей Дирихле (2.27) раскрывается в следующем утверждении.

Утверждение 3.7. Пусть $u^{\star} \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ — решение вариационной проблемы (3.17), т.е. экстремаль функционала энергии на множестве $\left\{ u \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right): \left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi \right\}$ . Тогда $u$ — решение задачи Дирихле.

Доказательство. Фиксируем произвольную $v \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , $\left. v \right|_{\partial \Omega}=0$ , и рассмотрим приращение функционала энергии:

$0 \leqslant E \left( u^{\star}+tv \right)-E \left( u^{\star} \right) = t^2 E(v) +2 t \int \limits_{\Omega} \nabla u^{\star} \cdot \nabla v dx.\,\,\, (3.18)$

Так как неравенство (3.18) выполнено для всех вещественных $t$ , должно быть $\int_{\Omega} \nabla u^{\star} \cdot \nabla v dx =0$ или, если применить первую формулу Грина, $\int_{\Omega} v \Delta u^{\star} dx=0$ (последнее легально, так как по условию $u^{\star} \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ ). Поскольку $v$ — произвольная функция из указанного пространства, должно быть $\Delta u^{\star} = 0$ . В самом деле, если предположить существование точки $x^0 \in \Omega$ , в которой $\Delta u^{\star} \left( x^0 \right) >(<)0$ , то найдётся целый шар $B_{r} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ , где $\Delta u^{\star}>(<)0$ , поэтому можно взять функцию $v \in \mathcal{D} (\Omega)$ , $v \geqslant (\leqslant ) 0$ , $\mathrm{supp}\, v =B_{r} \left( x^0 \right)$ , и $\int_{\Omega} v \Delta u^{\star} dx = \int_{B_{r} \left( x^0 \right)} v \Delta u^{\star} dx > (<) 0$ $\blacksquare$

Вариационная проблема (3.17) и утверждение 3.7 выглядят многообещающе: если доказать существование экстремали и проверить её принадлежность пространству $C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ (добавив, если надо, некоторые дополнительные условия на $\partial \Omega$ и граничную функцию), то мы получим альтернативный способ построения решения задачи Дирихле (2.27), пусть и не такой мощный, как метод Перрона. Существование экстремали зависит от нескольких факторов, но главное, критическое условие полноты пространства функций $H=\left\{ v \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right): \left. v \right|_{\partial \Omega} = 0 \right\}$ относительно нормы $\| v \| = \sqrt{E(v)} = \left( \int_{\Omega} \left| \nabla v \right|^2 dx \right)^{1/2}$ как раз нарушено.

С обескураживающей неполнотой пространства $H$ поступают радикально: от классических пространств и решений отказываются в пользу обобщённых, принадлежащим пополнению пространства $H$ , а затем исследуют, при каких условиях экстремаль функционала энергии, т.е. обобщённое решение краевой задачи, представляет классическое решение. В первый раз эта схема будет реализована в пар. 3.5 при изучении задачи Неймана и третьей краевой задачи для уравнения Пуассона.

Вернёмся к определению ёмкости области $\Omega$ . Конечно, если $\partial \Omega \notin C^1$ , то можно рассмотреть аппроксимирующие $\partial \Omega$ , вложенные друг в друга гиперповерхности $\Sigma_{k}$ и определить ёмкость $\Omega$ как предел ёмкостей областей $Q_{k}$ : $\mathrm{cap}(\Omega) = \lim_{k \to \infty} \mathrm{cap}\left( Q_k \right)$ . Но тогда не очень понятно, что делать с неодносвязными $\partial \Omega$ (брать не одну аппроксимирующую связную гиперповерхность, а дизъюнктное объединение таких гиперповерхностей?); кроме того, нужно ещё доказать, что задача (3.15) имеет единственное решение из пространства $C^1 \left( \overline{Q}' \right)$ . Вариационная точка зрения на задачу Дирихле (2.27), сосредоточенная в проблеме (3.17), подсказывает правильное определение ёмкости произвольного ограниченного подмножества, не обязательно даже области.

Определение 3.8. Ёмкостью ограниченного подмножества $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ называется инфинум глобально определённого функционала энергии Дирихле на множестве функций $\left\{ v \in C^{1}_{0} \left( \mathbb{R}^n \right): \left. v \right|_{\Omega} =1 \right\}$ :

$\mathrm{cap}(\Omega) = \inf \left\{ \int_{\mathbb{R}^n} \left| \nabla v \right|^2 dx: v \in C^{1}_{0} \left( \mathbb{R}^n \right),\, \left. v \right|_{\Omega} =1 \right\}.\,\,\, (3.19)$

Разумеется, интеграл в формуле (3.19), представляющий функционал энергии, берётся не по всему евклидовому пространству, но по носителю (либо ограниченной области, содержащий носитель) функции $v$ . Очевидно, что определённая таким образом ёмкость монотонна: если $\Omega \subset \Omega'$ , то $\mathrm{cap}(\Omega) \leqslant \mathrm{cap} \left( \Omega' \right)$ .

Для формулировки критерия регулярности точки $\xi \in \partial \Omega$ введём емкости

$c_j= \mathrm{cap}\left\{ x \in \mathbb{R}^n \backslash \Omega: \frac{1}{2^j} \leqslant |x-\xi| \leqslant \frac{1}{2^{j-1}} \right\}$

пересечений дополнения области $\Omega$ с замкнутыми шаровыми слоями, радиусы которых образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $1/2$ .

Теорема 3.5 (критерий Винера). Точки $\xi \in \partial \Omega$ регулярна тогда и только тогда, когда ряд

$\sum \limits_{j=1}^{\infty} c_j 2^{(n-2)j}\,\,\,(3.20)$

расходится.

Доказательство критерия Винера, требующее продвинутой теории ёмкости, можно найти в следующих книгах.

Н.С. Ландкоф. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1976.
И.А. Шишмарёв. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.

В заключение этого параграфа получим условие внешнего конуса (утверждение 3.6), опираясь на теорему 3.5. Достаточно ряд (3.20) оценить снизу другим расходящимся рядом. Из монотонности следует, что $c_j \geqslant C_j$ при $j \geqslant j_0$ , где $C_j$ — ёмкость пересечения (обозначим его $S_j$ ) шарового слоя $\left\{ \frac{1}{2^j} \leqslant |x-\xi| \leqslant \frac{1}{2^{j-1}} \right\}$ с конусом $Q_{\xi}$ . Из определения 3.8 легко усмотреть одно свойство ёмкости: если множество $S'$ получается из множества $S$ растяжением в $k$ раз, то $\mathrm{cap}\left( S' \right) = k^{n-2} \mathrm{cap} (S)$ . Осталось заметить, что $S_j$ — растяжение $S_{j_0}$ в $2^{j_0-j}$ раз и $\mathrm{cap} \left( S_{j_0} \rigt) > 0$ .