Dисконтиннум

Dисконтинуум — уже третья инкарнация научного семинара А.Е. Байкова, призванного объединить разные, зачастую разрозненные области математики в каждом своём выпуске. Темы первого сезона происходят из большого множества областей математической науки: классическая и квантовая механика, дифференциальные уравнения, динамические системы, уравнения в частных производных, функциональный анализ… Ниже приведены названия некоторых тем первого сезона.

Автором всех эпизодов станет, по всей вероятности, А.Е. Байков. Эпизоды выходят в разные дни недели на YouTube-канале. В некоторых случаях они сопровождаются постами в исследовательском блоге.

S1E2 «О некоторых пространственных движениях в круговой ограниченной задаче четырёх тел: часть 1»

(представление новой статьи)

Дата: 24 июля 2026 г. Презентация эпизода.

Аннотация. Рассматривается пространственная круговая ограниченная задача четырёх тел в следующей постановке: основные тела (звёзды) одной массы m_0   движутся по круговой орбите с центром O , малые тела (астероиды) одной массы m испытывают взаимное притяжение, но не влияют на основные тела. Получены и классифицированы такие движения малых тел, что их центр масс постоянно принадлежит прямой Oz , перпендикулярной плоскости орбиты звёзд. Изучаются движения первого типа или центральные движения, когда центры масс основных и малых тел всё время совпадают, а также движения типа “гравитационный пропеллер”. Во втором случае центр масс астероидов движется вдоль Oz , а линия, соединяющая астероиды, перпендикулярна этой оси. В обоих случаях предполагается, что астероиды находятся в гравитационной сцепке, образуя двойной астероид. Центральные движения исследованы методом двукратного усреднения возмущающей функции в системе кеплеровых оскулирующих элементов, после которого последняя оказывается интегрируемой. Исследованы бифуркации редуцированной системы для первого приближения двукратно усреднённой возмущающей функции. Уравнения, описывающие движения типа “гравитационный пропеллер”, приведены к безразмерному виду и заменены укороченной системой, в которой центр масс астероидов движется независимо, как точка в круговой задаче Ситникова.

Пререквизиты. Задача Кеплера, её решение, кеплеровы элементы, задающие эллиптические орбиты, используются в работе, но рассказывать о них я не буду. Знание об усреднении возмущённой пространственной задачи Кеплера упростит понимание материала, однако этот метод в эпизоде разбирается.

S1E3 «О некоторых пространственных движениях в круговой ограниченной задаче четырёх тел: часть 2»

Дата: 31 июля 2026 г. Презентация эпизода.

Аннотация. Во второй части темы «О некоторых пространственных движениях…» мы продолжим исследование центральных движений и движений типа «гравитационный пропеллер» в рамках упрощённой модели, когда движение центра масс C астероидов вдоль ось Oz не зависит от их относительных движений. В предыдущем эпизоде был сделан только первый шаг в исследовании центральных движений методом двукратного усреднения системы кеплеровых оскулирующих элементов. А именно, был рассмотрен всего лишь ведущий член разложения возмущающей функции. Рассмотрение следующих приближений сопряжено со значительными аналитическими трудностями: непосредственное исследование редуцированной системы оказывается весьма трудоёмким даже для второго приближения. Однако, механикам хорошо известен способ топологического анализа систем с интегралами — диаграммы Смейла. Вместо непосредственного изучения редуцированной системы в зависимости от значений констант интегралов предлагается исследовать бифуркации слоения на совместные уровни интегралов. В случае интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы каждая компактная связная компонента совместного уровня полного набора интегралов — инвариантный тор. Так будет и в случае двукратно усреднённой системы, хотя последняя не представлена в канонических переменных. Построенная диаграмма позволит выявить все топологические типы редуцированной системы. В завершение этой части мы дадим оценку точности метода двойного усреднения, причём для второго приближения возмущающей функции.

Двойное усреднение имеет воплощение в гамильтоновых системах. Чтобы всё хорошо сработало, гамильтониан должен иметь вид

H = H_0 \left( I_1 \right) + \delta H_1 \left( I_2 \right) + \delta^2 H_2 \left( I_1,I_2,I_3,\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3 \right) + O \left( \delta^3 \right),\,\,\, (1)

где H_2 зависит от \varphi_1, \varphi_2 периодически. К такому виду можно привести гамильтониан относительных движений астероидов в упрощённой модели гравитационного пропеллера (само приведение довольно увлекательно, использует, в частности, переменные действие-угол). Мы строим каноническое преобразование, усредняющее член O \left( \delta^2 \right) в гамильтониане по переменным \varphi_1 , \varphi_2 . Если после этого отбросить остаточный член O \left( \delta^3 \right) , то получится интегрируемая по Лиувиллю система. Мы снова обращаемся к технике диаграмм Смейла: строим бифуркационную диаграмму в трёхмерном пространстве констант первых интегралов, определяем топологические типы редуцированной системы (последняя получается, если зафиксировать константы циклических интегралов). В завершение эпизода связь двукратно усреднённой системы со строгой системой (1) рассматривается с позиции теории усреднения и КАМ-теории.

Пререквизиты. Здесь, кроме задачи Кеплера и кеплеровых элементов, желательно знать гамильтонову механику, хотя основные конструкции в эпизоде будут изложены.

S1E4 «Об устойчивости нижнего положения двойного маятника, нагруженного следящей силой»

Дата: 7 августа 2026 г. Презентация эпизода.

Аннотация. скоро.

Пререквизиты. скоро.

S1E1 «Гипотеза об усреднении blow-up. Уравнение Бернулли»

по теме «Гипотеза об усреднении blow-up дифференциальных уравнений и гипотеза Пенлеве»

Дата: 19 апреля 2026 г. Презентация эпизода.

Аннотация. Рассматриваются системы дифференциальных уравнений в стандартной форме Крылова-Боголюбова с периодической по времени правой частью. Пусть известно семейство blow-up, т.е. неограниченных при t \to T^*-0 решений усреднённой системы (см. статью с описанием метода усреднения). Существуют ли тогда blow-up точной системы, и если существуют, то как они связаны с blow-up усреднённой системы? Мы формулируем гипотезу об усреднении blow-up (хотя лучше назвать её гипотезой об усреднённых blow-up), а затем подтверждаем её для уравнения Бернулли, которое, как хорошо известно, интегрируется в квадратурах. Результаты выпуска изложены в посте «Исследование blow-up ОДУ методом усреднения I: основная гипотеза».

Тема «Гипотеза об усреднении blow-up дифференциальных уравнений и гипотеза Пенлеве»

Эпизоды по теме: S1E1.

Аннотация. Метод усреднения был создан классиками небесной механики на рубеже XVIII-го и XIX-го столетий, но строгое обоснование он получил в работах Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова в 30-х годах ХХ-го века. Рассмотрим систему тел (материальных точек), взаимодействующих по закону Ньютона всемирного тяготения, и пусть масса одного из тел на порядки превосходит массы остальных (этому сеттингу удовлетворяет Солнечная система). Мы можем считать, что на большое тело силы не действуют, а каждое малое движется под действием центральной гравитационной силы по орбитам, близким к эллиптическим, испытывая возмущение со стороны остальных малых тел. Например, на движение Марса по орбите вокруг Солнца влияет Юпитер: из-за газового гиганта орбита красной планеты испытывает разного рода пертурбации или отклонения от кеплерой эллитической траектории, имеющие как характер осцилляций, так и тренда. Система элементов, задающих оскулирующую орбиту планеты, можно привести к виду стандартной системы, т.е. системы ДУ в нормальной форме Коши с малыми правыми частями, которые можно усреднить по явно входящему времени.

Ясно, что описанная ситуация не является единственной в небесной механике: в начале формирования Солнечной системы преобладающими были столкновения небесных тел. Снова рассмотрим систему гравитирующих тел с одним большими (чтобы остальные не разлетались). Частное решение уравнений движения называется сингулярным, когда некоторые правые части стремятся к бесконечности при t \to t^*- ( t^* < \infty ). Если положения всех тел имеют конечные пределы, то сингулярное решение называется стокновением. Пол Пенлеве доказал в «Лекциях по аналитической теории дифференциальных уравнениях», что все сингулярные решения задачи трёх тел — столкновения, но не смог обобщить этот результат на систему 4-х и более тел. Он предположил существование особых сингулярностей (особых решений Пенлеве, как я их называю) с тем свойством, что положение по крайней мере одного тела не имеет конечного предела при t \to t^*- . Эту гипотезу доказал для n=5 Джефф Ся в 1988-м, работая над докторской диссертацией, а затем в 2014-м году Цзиньсинь Сюэ (см. его домашнюю страничку) выпустил препринт, ставший после доработки статьёй в Acta Mathematica, с доказательством для случая четырёх тел (см. также статью с историей проблемы).

Я хочу существенно упростить их рассуждения, заменив тонкий анализ динамики гамильтоновых систем более грубым, классическим инструментом — усреднением. В посте я выдвинул гипотезу об усреднении blow-up: если решения усреднённых уравнений взрываются за конечное время решение, то и решения строгих уравнений с соответствующими начальными условиями суть blow-up. Для успешного применения этого утверждения (конечно, уже после его доказательства) нужно учесть следующий факт: для почти всех в смысле меры Лебега начальных условий решения задачи 2, 3 и 4-х тел не сингулярны, т.е. продолжаются на всю ось времени. Поэтому сначала нужно выделить класс движений, содержащий положительную меру начальных условий особых решений Пенлеве, иначе метод усреднения не сможет их выявить.

Пререквизиты. Слушателям желательно немного знать гамильтонову механику и основы теории дифференциальных уравнений (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши, теорема о непродолжаемом решении, теорема о непрерывной зависимости от начальных условий), но я постараюсь дать формулировки, а иногда и доказательства всех необходимых для нарратива утверждений.

Тема «КАМ-теория обратимых систем»

Первый эпизод по теме в августе 2026 г.

Аннотация скоро.

Пререквизиты скоро.

Тема «Теория обобщённых функций»

Первый эпизод по теме выйдет в августе 2026 г.

Аннотация. Теория обобщённых функций (или распределений) была независимо создана в 1930-х годах С.Л. Соболевым и Лораном Шварцем, хотя сильно раньше, ещё до крушения Российской империи, петроградский математик Н.М. Гюнтер придумал функции от областей — предтечи обобщённых функций. Об этом, в частности, рассказывал в своём историческом докладе В.И. Арнольд и упоминал в одном сообщении В.С. Владимиров. В наши дни обобщённые функции изучают студенты математических специальностей: в курсе «Функциональный анализ» или в курсе «Уравнения в частных производных» (они же «Уравнения математической физики»).

В своё время меня поразила следующая теорема о свёртке о.ф. Пусть L: \mathcal{D}'_{0}\left( \mathbb{R}^n \right) \to \mathcal{D}' \left( \mathbb{R}^n \right) — линейный непрерывный трансляционно-инвариантный оператор. Тогда он свёрточный, то есть существует единственная о.ф. a \in \mathcal{D}'\left( \mathbb{R}^n \right), что для любой u \in \mathcal{D}'_{0} \left(\mathbb{R}^n \right) имеем Lu = a*u. Как хорошо известно, через свёртку можно выразить производную любой о.ф., а также интеграл от регулярной функции. Поэтому идея построения инвертированной теории обобщённых функций может быть сумасшедшей, но не абсурдной.

В инвертированной теории мы не начинаем с пространств основных функций, как это делает Шварц, но кончаем ими. Чтобы сделать наши рассуждения более общими, рассмотрим локально компактную коммутативную группу G. На сигма-алгебре борелевских подмножеств G существует единственная (с точностью до постоянного коэффициента) счётно-аддитивная, конечная на любом компакте и трансляционно-инвариантная нетривиальная мера — мера Хаара на G. Эти основные конструкции абстрактного гармонического анализа нужны для изучение самой группы G, но мы используем их иначе. Зададим на группе некоторый пучок локально выпуклых пространств. В случае G=\mathbb{R}^n он должен напоминать пучок обобщённых функций медленного роста. Какие именно пучки задавать — главная проблема инвертированной теории. Кроме того, если вспомнить об умножении о.ф. медленного роста на мультипликаторы, следует тогда уж задавать пучки модулей над полинормированными алгебрами. Но преодолев все трудности, можно достаточно быстро выйти на свёртку. Пучок называется финитным, если все его глобальные сечения имеют компактные носители. Морфизм финитного пучка в некоторый общий пучок л.в.п. или модулей, инвариантный относительно групповой операции (упомянутый выше оператор L: \mathcal{D}'_{0}\left( \mathbb{R}^n \right) \to \mathcal{D}' \left( \mathbb{R}^n \right) именно такой морфизм порождает), должен соответствовать свёртке глобальных сечений. Так можно определить оператор свёртки глобальных сечений финитного пучка и общего. Не забудем мы о двойственной группе, преобразовании Фурье и других замечательных инструментах абстрактного гармонического анализа, исследуем их взаимодействие с введённым выше функциональными пучками.

Пререквизиты. Я подробно расскажу обо всех упомянутых в аннотации вещах: элементах абстрактного гармонического анализа, основных конструкциях теории пучков, структурах регулярности М. Хайрера, гиперфункциях и т.д. От слушателей потребуется лишь основательные знания в области функционального анализа в пределах, например, замечательной книги А.Я. Хелемского.

Достаточно развитая инвертированная теория о.ф. предлагает интересную альтернативу структурам регулярности Мартина Хайрера, созданным для изучения нелинейных стохастических уравнений в частных производных. Мимо ‘слона в комнате’ мы тоже не пройдём: в одном из первых эпизодов будет изложена теория гиперфункций, а затем мы сравним её с инвертированной теорией.

Тема «Blow-up усреднённых уравнений Навье—Стокса в трёхмерном евклидовом пространстве»

(разбор легендарной статьи Теренса Тао)

Первый эпизод по теме выйдет осенью 2026 г.

Аннотация. Третьего февраля 2014 г. гениальный математик Теренс Тао выложил в Архив препринт ‘Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation’, ставший через несколько месяцев статьёй в Journal of the AMS. На мой дилетантский взгляд эта работа изменила дискурс в математической гидродинамике. Многие специалисты, даже такие гранды как Жан Лере и О.А. Ладыженская, предполагали, что 3D уравнения Навье—Стокса допускают blow-up в классе гладких начальных данных. Это до сих пор не известно, как не доказана гипотеза о регулярности, утверждающая существование и единственность глобального (во времени и в пространстве) решения задачи Коши.

Тао начинает с диадической модели гидродинамических уравнений Эйлера, предложенной Кацем и Павлович, значительно её развивает и формулирует следующий сногсшибательный результат. Пусть H_{\mathrm{df}}^{10}\left( \mathbb{R}^3 \right) — пространство Соболева десятого порядка соленоидальных векторных полей в \mathbb{R}^3. Существует усреднённый симметрический билинейный оператор Эйлера \tilde{B}: H_{\mathrm{df}}^{10} \left( \mathbb{R}^{3} \right) \times H_{\mathrm{df}}^{10} \left( \mathbb{R}^{3} \right) \to H_{\mathrm{df}}^{10} \left( \mathbb{R}^{3} \right)^*, удовлетворяющий для всех u \in H_{\mathrm{df}}^{10} \left( \mathbb{R}^3 \right) соотношению \langle \tilde B(u,u), u \rangle = 0, и соленоидальное векторное поле u_0 класса Шварца, такие, что не существует глобального во времени слабого решения u: [0,+\infty) \to H_{\mathrm{df}}^{10} \left( \mathbb{R}^{3} \right) проекции Лере усреднённых уравнений Навье—Стокса: \partial_t u = \Delta u + \tilde B(u,u), u(0,\cdot) = u_0. Хорошо известно, что отсутствие слабого решения проекции Лере эквивалентно отсутствию гладкого решения самих усреднённых уравнений Навье—Стокса. Построение усреднённого оператора Эйлера \tilde B и начального векторного поля u_0 довольно сложно: оно занимает большую часть статьи Тао. Зато приведённый результат хоронит многие стратегии доказательства гипотезы о регулярности. Особенно стратегии слишком глобального характера, не учитывающие специфику нелинейного члена (конвективной производной) в уравнениях Навье—Стокса.

Мы также обсудим положение дел с истинными уравнениями Навье—Стокса. Т. Тао верит в существование blow-up последних, но предлагает весьма сложную стратегию их получения (п. 1.3 статьи). Альтернативой может быть следующий подход. Рассмотрим какое-нибудь нелинейное эволюционное уравнение в \mathbb{R}^n (n не обязательно равно трём), такое, что можно говорить об энергии решения. Пусть blow-up с конечной энергией можно установить относительно просто и непосредственно. Тогда можно сравнить семейство blow-up точного уравнения с blow-up его усреднённой версии и сделать естественное предположение об их связи.

Пререквизиты. Слушателям вовсе не обязательно знать теорию уравнений в частных производных, в частности, уравнений Навье—Стокса, но желательно хорошо разбираться в функциональном анализе. Кроме того, в теме не будет экскурса в мир пространств Соболева и обобщённых функций. А факты из качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которые используются в конструировании blow-up, я напомню.