Книга по УЧП: глава 2 ‘Гармонические функции’

Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. За прошедшие с момента публикации первой главы год и четыре месяца я не написал и двух сотен страниц моего двухтомника «Уравнения в частных производных». Много раз я задавал оставшийся без ответа вопрос «Зачем нужна ещё одна книга по УЧП, если существует множество замечательных учебников и монографий?». Я не собирался повторять одну из этих книг, но свою собственную представлял и до сих пор представляю мало кому нужной компиляцией… Кстати, два тома превратились за это время в одну большую книгу, примерные названия глав которой можно найти на https://baikov.org/pde.В этом посте содержится вторая глава «Гармонические функции» после удаления из неё обзора литературы и задач для самостоятельного решения. Я просто продолжаю писать эту книгу, отодвинув в сторону какие-либо сверхцели.

С гармоническими функциями, т.е. с решениями уравнения Лапласа, в декартовых координатах имеющего вид $u_{x_1 x_1} + \ldots+u_{x_n n_x}=0$ , сталкиваются ещё студенты младших курсов, изучая физику или теорию функций комплексной переменной. В последней, напомню, объектом интереса являются аналитические функции $w =f(z)$ . Действительная и мнимая части $u = \mathrm{Re}\, f$ , $v = \mathrm{Im}\, f$ любой аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому ТФКП и теория гармонических функций от двух независимых переменных сильно переплетены, и тем, кто уже знает теоремы об аналитических функциях, будет легче, особенно в четвёртом параграфе.

Я начинаю с фундаментального решения оператора Лапласа — так называется избранное решение уравнения $\Delta u = \delta(x)$ , $x \in \mathbb{R}^n$ , где $\delta$ — знаменитая дельта-функция Дирака. Во втором параграфе я привожу формулу интегрального представления и даю элементы теории потенциала. Третий параграф посвящён центральному утверждению о гармонических функциях — принципу максимума, четвёртый параграф — элементам качественной теории гармонических функций, передающей привет ТФКП. Некоторые из утверждений о гармонических функциях (обратная теорема о среднем, теорема Вейерштрасса) перенесены в третью главу «Функция Грина», в параграф о разрешимости задачи Дирихле (ведь говорят, что дорога ложка к обеду).

2.1. Введение в обобщённые функции. Фундаментальное решение оператора Лапласа

Дадим многомерное обобщение хорошо известной формулы интегрирования по частям из математического анализа

$\int \limits_{a}^{b} u v' \, dx = \left. uv \right|_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} u' v \, dx,$

где $u, v \in C^{1}[a,b]$ . Пусть $\Omega$ — ограниченная область с границей класса $C^1$ , $u,v \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , $\vec{\nu}$ — непрерывное поле единичных внешних нормалей к $\partial \Omega$ . Тогда для любого индекса $j=1,\ldots,n$

$\int \limits_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_j} \, dx = \int \limits_{\partial \Omega} u v \nu_{j} \, ds - \int \limits_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_j} v \, dx,\,\, (2.1)$

где $\nu_{j}$ — $j$ -ая координата нормального вектора, $ds$ — элемент гиперплощади. Формула (2.1) легко следует из формулы Гаусса—Остроградского $\int_{\partial \Omega} \vec{a} \cdot \vec{\nu}\, ds = \int_{\Omega} \mathrm{div}\, \vec{a} \, dx$ , где $\vec{a} = a_{1} \vec{e}_{1} + \ldots + a_{n} \vec{e}_{n}$ , $a_{j} \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , $j=1,\ldots,n$ , если последнюю применить к векторному полю $\vec{a} = u v \vec{e}_{j}$ .

Из формулы интегрирования по частям следуют две формулы Грина для оператора Лапласа. Для функций $u,v \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ первая формула Грина

$\int \limits_{\Omega} u \Delta v \, dx = \int \limits_{\partial \Omega} u \frac{\partial v}{\partial \vec{\nu}} \, ds - \int \limits_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx,\,\, (2.2)$

где $\frac{\partial v}{\partial \vec{\nu}} = \frac{\partial v}{\partial x_1} \nu_1 + \ldots + \frac{\partial v}{\partial x_n} \nu_n$ — нормальная производная, получается суммированием по $j=1,\ldots,n$ соотношений

$\int \limits_{\Omega} u \frac{\partial^2 v}{\partial x_j^2} \, dx = \int \limits_{\partial \Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_j} \nu_{j} \, ds - \int \limits_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_j} \frac{\partial v}{\partial x_j} \, dx.$

Если в формуле (2.2) поменять функции $u$ и $v$ местами, а затем вычесть две формулы друг из друга, получится вторая формула Грина для оператора Лапласа:

$\int \limits_{\Omega} u \Delta v \, dx = \int \limits_{\partial \Omega} \left( u \frac{\partial v}{\partial \vec{\nu}} - v \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}\right) ds - \int \limits_{\Omega} u \Delta v \, dx.\,\, (2.3)$

Чтобы идти дальше, строго определить и раскрыть смысл фундаментального решения оператора Лапласа, сделаем краткий обзор основных положений теории обобщённых функций. Систематически обобщённые функции будут изучаться в четвёртой главе. Пусть $\Omega$ — область в $\mathbb{R}^n$ (в частности, $\Omega = \mathbb{R}^{n}$ ).

Определение 2.1. Линейное пространство основных функций в области $\Omega$ состоит из всех финитных бесконечно дифференцируемых функций в этой области. Обозначение: $C_0^{\infty}(\Omega)$ или $\mathcal{D}(\Omega)$ .

Определение 2.2. Последовательность $\{ \varphi_{j} \}_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{D}(\Omega)$ сходится к основной функции $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ , если выполнены два условия:

существует такой компакт $K \subset \Omega$ , что $\mathrm{supp}\, \varphi_j, \mathrm{supp}\, \varphi \subset K$ для всех $j \in \mathbb{N}$ ;
для любого мультииндекса $\alpha \in \mathbb{Z}^n_{+}$ имеет место равномерная сходимость $D^{\alpha}φ_j(x) \rightrightarrows D^{\alpha}φ(x)$ , $x \in K$ , $j \to \infty$ .

Определение 2.3. Линейный непрерывный функционал $f : \mathcal{D}(\Omega) \to \mathbb{R}$ называется обобщённой функцией или распределением. Непрерывность понимается в смысле Гейне: для любой последовательности $\left\{ \varphi_j \right\}_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{D}(\Omega)$ , сходящейся к $\varphi \in \mathcal{D} (\Omega)$ , $f \left( \varphi_{j} \right) \to f \left( \varphi \right)$ , $j \to \infty$ .

При необходимости можно рассматривать обобщённые функции, принимающие комплексные значения (но соответствующий линейный функционал все равно должен быть линейным, но не антилинейным), однако в настоящей главе нам потребуются только вещественнозначные обобщённые функции. Примем традиционное обозначение $(f , \varphi) := f (\varphi)$ . Также обозначим пространство всех обобщённых функций через $\mathcal{D}' (\Omega)$ и определим ∗-слабую сходимость в этом пространстве.

Определение 2.4. Последовательность обобщённых функций $\left\{ f_j \right\}_{j \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{D}'(\Omega)$ сходится к обобщённой функции $f \in \mathcal{D}′(\Omega)$ , если для любой основной функции $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ имеем $(f_j , \varphi) \to (f , \varphi)$ , $j \to \infty$ .

Все обобщённые функции можно разделить на регулярные и сингулярные. Первые получается из обычных (в смысле Ньютона или Лебега) функций и фактически отождествляются с ними, а вторые обычным функциям в таком смысле не соответствуют и с ними не отождествляются. Дадим точные определения.

Определение 2.5. Измеримая функция $f: \Omega \to \mathbb{R}$ называется суммируемой в $\Omega$ , если существует конечный интеграл $\int_{\Omega} |f(x)| dx$ . Пространство суммируемых функций обозначается через $L_{1}(\Omega)$ . Пространство локально суммируемых функций $L_{1,loc} (\Omega)$ состоит из всех измеримых функций $u :\Omega \to \mathbb{R}$ , таких, что для любого открытого и ограниченного подмножества $Q \Subset \Omega$ имеем $\left. u \right|_{Q} \in L_1(Q)$ .

С каждой локально суммируемой функцией $u \in L_{1,loc} (\Omega)$ можно связать обобщённую функцию $U \in \mathcal{D}'(\Omega)$ по формуле: для любой $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$

$\left( U ,\varphi \right) : = \int \limits_{\Omega} u(x) \varphi(x) dx.\,\, (2.4)$

Стандартные теоремы функционального анализа показывают, что формула (2.4) в самом деле задаёт обобщённую функцию, т.е. линейный непрерывных фунционал над $\mathcal{D}(\Omega)$ . Из леммы Дюбуа-Реймона (см. пар. 4.2) следует, что линейное соответствие $L_{1,loc} (\Omega) \to \mathcal{D}'(\Omega)$ инъективно, поэтому, на самом деле, локально суммируемые функции можно отождествить с их представителями в пространстве $\mathcal{D}'(\Omega)$ . Обобщённые функции, которые не получаются таким способом из локально суммируемых, называются сингулярными. Первый пример сингулярной обобщённой функции — дельта-функция Дирака.

Определение 2.6. Пусть $x^{0} \in \mathbb{R}^n$ . Дельта-функцией Дирака с носителем в точке $x^{0}$ называется обобщённая функция $\delta_{x^{0}} \in \mathcal{D}' \left( \mathbb{R}^n \right)$ , действующая на основные функции по формуле $\left( \delta_{x^0}, \varphi \right):= \varphi \left( x^0 \right)$ .

Если $x^0$ — начало координат, то дельта-функция $\delta_{x^0}$ обозначается просто как $\delta$ . Сомнений в том, что $\delta$ (или $\delta_{x^{0}}$ ) — обобщённая функция, нет (убедитесь в этом самостоятельно), но её сингулярный характер требует некоторых пояснений. Предположим, что существует локально суммируемый представитель $d \in L_{1,loc} \left( \mathbb{R}^n \right)$ . Тогда для любой $\varphi \in C^{\infty} \left( \mathbb{R}^n \right)$ $\int_{\mathbb{R}^n} d(x) \varphi(x) dx = \varphi(0)$ и для любой $\psi \in C^{\infty} \left( \mathbb{R}^n \right)$ верно, что $\int_{\mathbb{R}^n} d(x) |x|^2 \psi(x) dx = 0$ , поскольку $\mathbb{R}^n \ni x \mapsto |x|^2 \psi(x)$ — основная функция. По лемме Дюбуа-Реймона должно быть $d(x) |x|^2 = 0$ для почти всех $x \in \mathbb{R}^n$ , откуда $d=0$ как элемент пространства $L_{1,loc} \left( \mathbb{R}^n \right)$ , но дельта-функция не равна нулю.

Над обобщёнными функциями можно производить почти все те же операции, что и над гладкими функциями. Остановимся на тех, которые необходимы для определения фундаментального решения линейного дифференциального оператора, в частности, оператора Лапласа.

Сложение и умножение на число (очевидно, потому что обобщённые функции — линейные непрерывные функционалы).
Сужение $f \in \mathcal{D}' (\Omega)$ на открытое подмножество $Q \subset \Omega$ : $\left( \left. f \right|_{Q}, \varphi \right) := \left( f, \tilde{\varphi} \right)$ для любой $\varphi \in \mathcal{D}(Q)$ , где $\tilde{\varphi}$ — продолжение $\varphi$ нулём в $\Omega \backslash Q$ .
Умножение на гладкую функцию $m \in C^{\infty}(\Omega)$ : $(mf , \varphi) := (f,m \varphi)$ для любой $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ (отметим, что произведение гладкой функции и основой — функция основная).
Дифференцирование: для любого мультииндекса $\alpha \in \mathbb{Z}^{n}_{+}$ и любой функции $\varphi \in \mathcal{D} (\Omega)$

$\left( D^{\alpha} f , \varphi \right) := (-1)^{|\alpha|} \left( f, D^{\alpha} \varphi \right).\,\, (2.5)$

Кроме того, уже в третьей главе для объяснения решения краевых задач методом конформных преобразований нам придётся делать замены переменных в обобщённых функциях. Пусть $\theta: Q \to \Omega$ — $C^{\infty}$ -диффеоморфизм областей $Q$ и $\Omega$ , $f \in \mathcal{D}'(\Omega)$ . Определим обобщённую функцию $f \circ \theta \in \mathcal{D}'(Q)$ , положив $\left( f \circ \theta, \varphi \right) := \left( f, \frac{1}{| \det \theta'|} \varphi \circ \theta^{-1} \right)$ для $\varphi \in \mathcal{D} (Q)$ , где $\det \theta'$ — якобиан отображения $\theta$ .

Объясним определение производной и замены переменных. Если $f \in C^{\infty}(\Omega)$ , $\alpha \in \mathbb{Z}^{n}_{+}$ , $|\alpha|=k$ , то, интегрируя по частям $k$ раз, получим $\int_{\Omega} (D^{\alpha} f) \varphi dx = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} f D^{\alpha} \varphi dx$ для любой основной функции $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ (благодаря финитности $\varphi$ граничные интегралы исчезают). Таким образом, для гладких функций формула (2.5) — простое следствие из формулы интегрирования по частям, поэтому довольно естественно положить эту формулу в основу определения производных обобщённых функций.

Если $f \in L_{1,loc} (\Omega)$ , $\theta: Q \ni x \mapsto y \in \Omega$ — диффеоморфизм, то замена переменных в интеграле Лебега даёт для любой функции $\varphi \in \mathcal{D}(Q)$

$\int \limits_{Q} f \left( \theta(x) \right) \varphi (x) dx = \int \limits_{\Omega} f(y) \varphi \left( \theta^{-1}(y) \right) \frac{1}{|\det \theta'|} dy.$

Таким образом, для регулярных обобщённых функций указанная ранее формулы замены переменных — следствие хорошо известного свойства интеграла.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор (ЛДО) $\mathcal{L}$ , действующий на обобщённые функции $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$ по формуле $\mathcal{L} u = \sum \limits_{|\alpha| \leqslant m} a_{\alpha}(x) D^{\alpha} u$ , где $a_{\alpha} \in C^{\infty}(\Omega)$ . Оператор $\mathcal{L}^{*}: \mathcal{D}'(\Omega) \to \mathcal{D}'(\Omega)$ формально сопряжён к $\mathcal{L}$ , если для всех $u \in \mathcal{D}'(\Omega)$ , $\varphi \in \mathcal{D} (\Omega)$ имеем $\left( \mathcal{L} u, \varphi \right) = \left( u,\mathcal{L}^{*} \varphi \right)$ . Из определений умножения на гладкую функции и дифференцирования обобщённой функции следует, что формально сопряжённый к ЛДО — тоже ЛДО, который выражается формулой

$\mathcal{L} u = \sum \limits_{|\alpha| \leqslant m} (-1)^{|\alpha|} D^{\alpha} \left( a_{\alpha}(x) u \right).$

Например, если взять ЛДО второго порядка

$\mathcal{L} u = -\mathrm{div} \left( A(x) \nabla u \right) + \vec{b}(x) \cdot \nabla u + c(x) u,$

то сопряжённым к нему будет ЛДО

$\mathcal{L}^{*} u = -\mathrm{div} \left( A(x) \nabla u \right) - \mathrm{div} \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla u \right) + \left( c(x) + \mathrm{div} \, \vec{b}(x) \right) u.$

Очевидно, что $\mathcal{L}^{**}$ совпадает с $\mathcal{L}$ . Оператор формально самосопряжён, если $\mathcal{L}^{*} = \mathcal{L}$ . Указанный выше ЛДО второго порядка формально самосопряжён тогда и только тогда, когда $\vec{b}(x) \equiv 0$ . В частности, оператор Лапласа формально самосопряжён.

Определение 2.7. Фундаментальным решением ЛДО $\mathcal{L}$ с гладкими коэффициентами в области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ называется семейство обобщённых функций $E \left( \cdot, x^0 \right) \in \mathcal{D}'(\Omega)$ , $x^0 \in \Omega$ , с тем свойством, что $\mathcal{L} E \left( \cdot, x^0 \right) = \delta_{x^0}$ для любой $x^0 \in \Omega$ . Или, другими словами, для любых $x^0 \in \Omega$ и $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$

$\left( \mathcal{L} E \left( \cdot, x^0 \right), \varphi \right) = \left( E \left( \cdot,x^0 \right), \mathcal{L}^{*} \varphi \right) = \varphi \left( x^0 \right).$

Однако, если $\Omega = \mathbb{R}^n$ и оператор $\mathcal{L}$ имеет постоянные коэффициенты, то семейство можно заменить на одну обобщённому функцию $\tilde{E} \in \mathcal{D}' \left( \mathbb{R}^n \right)$ и получить всё семейство с помощью формулы $E \left( x,x^0 \right) =\tilde{E} \left( x-x^0 \right)$ . В четвёртой главе будет доказано, что всякий ЛДО с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение. Разумеется, фундаментальное решение не единственно (оно определено с точностью до ядра оператора, т.е. с точностью до решений уравнения $\mathcal{L} u = 0$ , а их может быть очень много). Как правило, построение фундаментального решения — сложная задача.

Приступаем к построению фундаментального решения оператора Лапласа. Естественно предположить, что фундаментальное решение $E=E(x)$ существует среди функций с радиальной симметрией. Поскольку $\Delta E =0$ при $x \ne 0$ , так как сужение $\delta$ на $\mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \}$ даёт нуль, найдём все радиально-симметричные решения уравнения Лапласа в проколотом пространстве. Обозначим $r = \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2}$ , $u(x) = v(r)$ , и получим выражение для $\Delta u$ . Имеем

$\frac{\partial u}{\partial x_j} = \frac{d v}{d r} \frac{x_j}{r },\, \frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2} = \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \frac{d v}{d r} \frac{x_j}{r } \right) = \frac{d^2 v}{d r^2} \frac{x_j^2}{r^2} + \frac{d v}{d r} - \frac{d v}{d r} \frac{x_j^2}{r^3},$

откуда $\Delta u= \sum \limits_{j=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_j^2} = \frac{d^2 v}{dr^2} + \frac{n-1}{r} \frac{dv}{dr}$ . Функция $v$ удовлетворяет дифференциальному уравнению вида $\frac{d^2 v}{dr^2} + \frac{n-1}{r} \frac{dv}{dr} = 0$ , его общее решение есть $v=C_1 \ln r + C_2$ при $n=2$ , $v= C_1 r^{2-n} + C_2$ при $n>2$ , где $C_1$ , $C_2$ — произвольные независимые постоянные. Если существует радиально-симметричное фундаментальное решение оператора Лапласа, то оно имеет вид $E(x) = C_1(2) \ln |x| + C_2$ (при $n=2$ ) или $E(x) = C_1(n) |x|^{2-n} + C_2$ (при $n>2$ ). Константу $C_2$ можно положить равной нулю, но константа $C_1=C_1(n)$ должна быть вычислена.

Утверждение 2.1. Функция

$E(x) = \left\{ \begin{aligned} & -\frac{1}{2\pi}\ln \frac{1}{|x|},\, n=2,\\ & - \frac{1}{(n-2) \omega_{n-1}} \frac{1}{|x|^{n-2}},\, n>2,\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.6)$

где $\omega_{n-1}$ — гиперплощадь ( $(n-1)$ -мерный объём) гиперсферы $\mathbb{S}^{n-1} = \left\{ x \in \mathbb{R}^n: |x|=1\right\}$ , есть фундаментальное решение оператора Лапласа в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ .

Вычислим $\omega_{n-1}$ . Интеграл $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ даёт

$\pi^{\frac{n}{2}} = \int \limits_{-\infty}^{\infty} \ldots \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x_1^2-\ldots-x_n^2} dx_1 \ldots dx_n= \omega_{n-1} \int \limits_{0}^{\infty} r^{n-1} e^{-r^2} dr = \frac{1}{2}\omega_{n-1} \Gamma (n/2),$

где $\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$ — гамма-функция Эйлера. Отсюда $\omega_{n-1}= \frac{2 \pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(n/2)}$ : $\omega_1=2 \pi$ , $\omega_2 = 4 \pi$ , $\omega_3=2 \pi^2$ и т.д. Далее вместо ‘гиперсфера’ мы будем писать просто ‘сфера’, а вместо ‘гиперплощадь’ — просто ‘площадь’, предполагая размерность $n$ произвольной.

Перед доказательством утверждения 2.1 отметим некоторые свойства функции (2.6), легко следующие из явной формулы для неё:

$E(x) = \mathcal{E} (|x|)$ , где $\mathcal{E}(r) = -\frac{1}{2\pi} \ln \frac{1}{r}$ , если $n=2$ , $\mathcal{E}(r) = - \frac{1}{(n-2) \omega_{n-1}} \frac{1}{r^{n-2}}$ при $n>2$ ;
$\Delta E = 0$ в $\mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \}$ ;
$E \in C^{\infty} \left( \mathbb{R}^n \backslash {0} \right)$ ;
$E \in L_{1,loc} \left( \mathbb{R}^n \right)$ .

Доказательство утверждения 2.1. Из определения фундаментального решения и формальной самосопряжённости оператора Лапласа явствует: нужно доказать, что для любой $\varphi \in \mathcal{D} \left( \mathbb{R}^n \right)$ $\int_{\mathbb{R}^n} E \Delta \varphi\, dx = \varphi(0)$ . Локальная суммируемость функции $E$ позволяет представить последний интеграл в виде предела

$\int \limits_{\mathbb{R}^n} E \Delta \varphi\, dx = \lim \limits_{\varepsilon \to 0} \int \limits_{\mathbb{R}^n \backslash B_{\varepsilon}} E \Delta \varphi\, dx,$

где $B_{\varepsilon} = \left\{ x \in \mathbb{R}^n: |x| <\varepsilon \right\}$ — шар с центром в начале координат и радиусом $\varepsilon$ . Применим вторую формулу Грина, учитывая финитность функции $\varphi$ :

$\int \limits_{\mathbb{R}^n \backslash B_{\varepsilon}} E \Delta \varphi \, dx = \int \limits_{\mathbb{R}^n \backslash B_{\varepsilon}} \varphi \Delta E \, dx + \int \limits_{S_{\varepsilon}} \left( E \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{\nu}'} - \varphi \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}'} \right) ds.\,\,(2.7)$

Здесь $S_{\varepsilon} = \partial B_{\varepsilon}= \left\{ x \in \mathbb{R}^n: |x| =\varepsilon \right\}$ — сфера с центром в начале координат и радиусом $\varepsilon$ , $\vec{\nu}'$ — единичная внутренняя нормаль к $S_{\varepsilon}$ (но внешняя для перфорированной области).

Интеграл по $\mathbb{R}^n \backslash B_{\varepsilon}$ в правой части (2.7) равен нулю, потому что $E$ — гармоническая функция в $\mathbb{R}^n \backslash \{ 0\}$ . Следовательно,

$\int \limits_{\mathbb{R}^n \backslash B_{\varepsilon}} E \Delta \varphi dx = \int \limits_{S_{\varepsilon}} E \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{\nu}'}\, ds-\int \limits_{S_{\varepsilon}} \varphi \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}'} \, ds.\,\, (2.8)$

Оценим первый интеграл в правой части равенства (2.8):

$\left| \int \limits_{S_{\varepsilon}} E \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{\nu}'}\, ds \right| \leqslant | \mathcal{E}(\varepsilon) | \int \limits_{S_{\varepsilon}} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{\nu}'}\right| ds \leqslant |\mathcal{E}(\varepsilon)| \omega_{n-1} \varepsilon^{n-1}\sup \limits_{S_{\varepsilon}} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{\nu}'}\right| \leqslant C_{\varphi} \varepsilon^{n-1} |\mathcal{E}(\varepsilon)|.$

Мы видим, что $\int_{S_{\varepsilon}} E \frac{\partial \varphi}{\partial \vec{\nu}'}\, ds \to 0$ при $\varepsilon \to 0$ (константа $C_{\varphi}$ зависит от $\varphi$ , но не от $\varepsilon$ ).

Рассмотрим предел от второго интеграла в правой части равенства (2.8):

$\lim \limits_{\varepsilon \to 0} \left(-\int \limits_{S_{\varepsilon}} \varphi \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}'} \, ds \right)= \lim \limits_{\varepsilon \to 0} \frac{\varepsilon^{n-1}}{\omega_{n-1}} \int \limits_{S_{\varepsilon}} \varphi \, ds= \lim \limits_{\varepsilon \to 0} \frac{\varepsilon^{n-1}}{\omega_{n-1}} \varphi\left(\xi_{\varepsilon}\right) \omega_{n-1}\varepsilon^{n-1},$

где $\xi_{\varepsilon} \in S_{\varepsilon}$ (мы применили теорему о среднем для интеграла). Но $\xi_{\varepsilon} \to 0$ , если $\varepsilon \to 0$ , поэтому последний предел равен $\varphi(0)$ . Итак,

$\int \limits_{\mathbb{R}^n} E(x) \Delta \varphi\, dx = \lim \limits_{\varepsilon \to 0} \int \limits_{\mathbb{R}^n \backslash B_{\varepsilon}} E(x) \Delta \varphi\, dx =\varphi(0)$

и утверждение 2.1 доказано $\blacksquare$

2.2. Интегральное представление функций. Потенциалы

Фундаментальное решение оператора Лапласа, построенное в предыдущем параграфе, даёт возможность получить интегральное представление функций в заданной области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ . Под интегральными представлениями понимаются формулы, выражающие функцию через интегралы, содержащие операторы в области и/или операторы на границе от функции.

Итак, пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $\partial \Omega \in C^{1}$ , $u \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ , $B_{\varepsilon} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ . Через $\Omega_{\varepsilon} = \Omega \backslash \overline{B}_{\varepsilon} \left( x^0 \right)$ обозначим $\varepsilon$ -перфорацию области $\Omega$ в точке $x^0$ . Имеем $\partial \Omega_{\varepsilon} = \partial \Omega \sqcup S_{\varepsilon} \left( x^0 \right)$ (рис. 2.1.). Применим вторую формулу Грина (2.3) к функциям $u$ и $v(x)=E \left( x-x^0 \right)$ в $\Omega_{\varepsilon}$ , но сначала заметим, что для любых $x^0 \in \mathbb{R}^n$ и $\varphi \in \mathcal{D} \left( \mathbb{R}^n \right)$ $\int_{\mathbb{R}^n} E\left( x-x^0 \right) \varphi(x)\, dx = \varphi \left( x^0\right)$ .

Рис. 2.1. Перфорированная область.

Имеем $0=\int_{\Omega_{\varepsilon}} u(x) \Delta E\left( x-x^0 \right) \, dx =$

$= \int \limits_{\partial \Omega} \left( u \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}} - E \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}}\right) ds +\int \limits_{S_{\varepsilon}\left( x^0 \right)} \left( u \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}'} - E \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'}\right) ds + \int \limits_{\Omega_{\varepsilon}} E \left( x-x^0 \right) \Delta u(x) \, dx,\,\, (2.9)$

где $\vec{\nu}'$ — внутренняя нормаль к сфере $S_{\varepsilon} \left( x^0 \right)$ (внешняя для области $\Omega_{\varepsilon}$ ). Рассуждая как при доказательстве утверждения 2.1, можно убедиться, что при $\varepsilon \to 0$ интеграл по $S_{\varepsilon} \left( x^0 \right)$ стремится к $-u \left(x^0 \right)$ . Тогда сделаем предельный переход в (2.9), устремив $\varepsilon$ к нулю, и получим формулу интегрального представления.

Утверждение 2.2. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $\partial \Omega \in C^{1}$ , тогда для любой функции $u \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ в любой точке $x^0 \in \Omega$ верна формула интегрального представления

$u \left( x^0 \right) = \int \limits_{\Omega} E \left( x-x^0 \right) \Delta u(x)\, dx + \int \limits_{\partial \Omega}\frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}} u(x) ds - \int \limits_{\partial \Omega} E \left( x-x^0 \right) \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds.\,\, (2.10)$

В частности, если $u \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ — гармоническая функция в $\Omega$ , $\left. u \right|_{\partial \Omega}= \varphi$ , $\left. -\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right|_{\partial \Omega}= \psi$ , то формулу интегрального представления гармонической функции можно переписать в виде

$u \left( x^0 \right) = \int \limits_{\partial \Omega} \varphi(x) \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}} ds + \int \limits_{\partial \Omega}E \left( x- x^0 \right) \psi(x) ds.\,\, (2.11)$

На первый взгляд формула (2.11) даёт общее решение уравнения Лапласа в области $\Omega$ , а именно, описывает все дважды непрерывно дифференцируемые в $\overline{\Omega}$ гармонические функции. На самом деле это не так: функции $\varphi$ и $\psi$ в формуле (2.11) зависят друг от друга. Например, если задать функцию $\varphi$ , т.е. краевое условие Дирихле $\left. u \right|_{\partial \Omega}= \varphi$ , то, как будет показано в следующей главе, соответствующая краевая задача имеет единственное решение. Следовательно, вторая функция $\psi$ однозначно определяется первой функцией $\varphi$ . Если уж записывать общее решение уравнения Лапласа, то делать это нужно с помощью функции Грина задачи Дирихле, что будет сделано в третьей главе книги.

Однако, это не обесценивает формулу интегрального представления функций. Интегралы, из которых она состоит, в размерности $n=3$ физики называют потенциалами Ньютона—Кулона, а в размерности $n=2$ — логарифмическими потенциалами. Дадим соответствующие определения, а также приведём (без доказательств) основные свойства всех потенциалов.

Объёмный потенциал. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^3$ , $\partial \Omega \in C^1$ , $\rho_0 \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ , $Q = \mathbb{R}^3 \backslash \overline{\Omega}$ . Тогда объёмный потенциал $V_0 \left( x^0 \right) = \iiint_{\Omega} \frac{\rho_0(x)}{ \left| x-x^0 \right|} dx$ существует для всех точек $x^0 \in \mathbb{R}^3$ и имеет свойства:

$V_0 \in C^1 \left( \mathbb{R}^3\right) \cap C_{b} \left( \mathbb{R}^3 \right)$ (непрерывная дифференцируемость и ограниченность в пространстве);
$V_0 \left( x^0 \right) = O \left( \frac{1}{|x^0|}\right)$ , если $|x^0| \to \infty$ ;
$\Delta V_0=0$ в $Q$ ;
пусть $\rho_0 \in C \left( \overline{\Omega} \right) \cap C^{1} (\Omega)$ , тогда $V_0 \in C^{2}(\Omega)$ и удовлетворяет в $\Omega$ уравнению Пуассона $\Delta V_0 = - 4 \pi \rho_0(x)$ .

Пример 2.1. Пусть $B_{R} = \left\{ x \in \mathbb{R}^3: |x| < R \right\}$ — шар радиуса $R$ в трёхмерном евклидовом пространстве, $\rho_0(x) = \rho_0 = \mathrm{const}$ . Найти объёмный потенциал с плотностью $\rho_0$ для шара $B_R$ .

Решение. Имеем $V_0 \left( x^0 \right) = \iiint_{B_R} \frac{\rho_0}{ \left| x-x^0 \right|} dx_1 dx_2 dx_3$ , но найти интеграл непосредственно довольно сложно. Заметим, во-первых, что данный потенциал есть радиально-симметричная функция, т.е. его можно представить в виде $V_0 \left( x^0 \right) = v(r)$ , где $r = |x^0|$ — сферический радиус. Действительно, пусть $S$ — матрица, задающая ортогональное преобразование в $\mathbb{R}^n$ , тогда, осуществляя замену $x=S x'$ в интеграле, получим

$V_0 \left( Sx^0 \right)= \int \limits_{B_R} \frac{\rho_0 dx_1 dx_2 dx_3}{ \left| x-S x^0 \right|} = \int \limits_{B_R} \frac{\rho_0 | \mathrm{det}\, S| dx'_1 dx'_2 dx'_3}{ \left| Sx' - S x^0 \right|} = \int \limits_{B_R} \frac{\rho_0 dx'_1 dx'_2 dx'_3}{ \left| x' - x^0 \right|} = V_0 \left( x^0 \right),$

откуда следует, что функция $V_0$ принимает постоянное значение на каждой сфере с центром в начале координат, т.е. $V_0$ имеет радиальную симметрию.

Во-вторых, из третьего и четвёртого свойств объёмного потенциала следует, что $\Delta V_0 = 0$ при $r>R$ и $\Delta V_0 = -4 \pi \rho_0$ для $0<r<R$ . Отсюда

$v(r) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{A}{r} +B,\, r>R,\\ & \frac{C}{r} + D - \frac{2}{3} \pi \rho_0 r^2,\, 0<r<R,\\ \end{aligned} \right.$

где $A$ , $B$ , $C$ и $D$ — четыре неопределённых параметра. Чтобы их найти, обратимся к другим свойствам объёмного потенциала.

Из второго свойства следует, что $B=0$ , иначе мы не получим правильную асимптотику потенциала на бесконечности. Из первого свойства следует, что функция $V_0$ должна быть непрерывно дифференцируемой на граничной сфере $S_R = \partial B_{R}$ :

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{A}{R} = \frac{C}{R} + D - \frac{2}{3} \pi \rho_0 R^2,\\ & -\frac{A}{R^2} = -\frac{C}{R^2} - \frac{4}{3} \pi \rho_0 R.\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.12)$

Прежде чем решать систему (2.12) заметим ещё, что функция $V_0$ не должна иметь особенностей при $r \to 0$ , поэтому $C=0$ . Но тогда $A = \frac{4}{3} \pi \rho_0 R^3$ , $D = 2 \pi \rho_0 R^2$ . Итак,

$V_0 \left( x^0 \right)= \left\{ \begin{aligned} & \frac{4 \pi \rho R^3}{3 | x^0 |},\, |x^0| \geqslant R,\\ & 2 \pi \rho_0 R^2 - \frac{2}{3} \pi \rho_0 |x^0|^2,\, 0 \leqslant |x^0| \leqslant R.\\ \end{aligned} \right.$

Потенциал простого слоя. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^3$ , $\partial \Omega \in C^1$ , $\rho_1 \in C (\partial \Omega)$ , $Q = \mathbb{R}^3 \backslash \partial \Omega$ . Тогда потенциал простого слоя $V_1 \left( x^0 \right) = \iint_{\partial \Omega} \frac{\rho_1(x)}{ \left| x-x^0 \right|} ds$ существует для всех точек $x^0 \in \mathbb{R}^3$ . Отметим его свойства:

$V_1 \in C_{b} \left( \mathbb{R}^3 \right)$ (непрерывность и ограниченность в пространстве);
$V_1 \left( x^0 \right) = O \left( \frac{1}{|x^0|}\right)$ , если $|x^0| \to \infty$ ;
$\Delta V_1=0$ в $Q$ ;
(разрыв нормальной производной потенциала простого слоя) пусть $x^0 \in \partial \Omega$ , тогда существуют нормальная производная извне (из внешней для $\partial \Omega$ области) $\partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{+} \left(x^0 \right)$ , нормальная производная изнутри (относительно $\Omega$ ) $\partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{-} \left(x^0 \right)$ , и они связаны соотношением $\partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{+} \left(x^0 \right) - \partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{-} \left(x^0 \right) = -4 \pi \rho_1 \left( x^0 \right)$ .

Потенциал двойного слоя. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^3$ , $\partial \Omega \in C^1$ , $\rho_2 \in C (\partial \Omega)$ , $Q = \mathbb{R}^3 \backslash \partial \Omega$ . Тогда потенциал двойного слоя $V_2 \left( x^0 \right) = \iint_{\partial \Omega} \rho_2(x) \partial_{\vec{\nu}} \left| x-x^0 \right|^{-1} ds$ существует для всех точек $x^0 \in \mathbb{R}^3$ . Свойства потенциала двойного слоя:

$V_2 \in L_{\infty} \left( \mathbb{R}^3 \right)$ (ограниченность в пространстве);
$V_2 \left( x^0 \right) = O \left( \frac{1}{|x^0|^2}\right)$ , если $|x^0| \to \infty$ (обратите внимание на отличие асимптотики на бесконечности потенциала двойного слоя от соответствующей асимптотики других потенциалов Ньютона—Кулона);
$\Delta V_2=0$ в $Q$ ;
пусть $x^0 \in \partial \Omega$ , $\rho_2 \in C^1 (\partial \Omega)$ , тогда потенциал двойного слоя имеет предел извне $V_{2}^{+} \left(x^0 \right)$ и предел изнутри $V_{2}^{-} \left(x^0 \right)$ , которые связаны формулами

$\left\{ \begin{aligned} & V_{2}^{+} \left(x^0 \right) = 2 \pi \rho_2 \left( x^0 \right)+ V_{2} \left(x^0 \right) ,\\ & V_{2}^{-} \left(x^0 \right) = -2 \pi \rho_2 \left( x^0 \right)+ V_{2} \left(x^0 \right).\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.13)$

Четвёртое свойство потенциала двойного слоя гласит, что он терпит разрыв первого рода на замкнутой поверхности $\partial \Omega$ . Из (2.13) следует, что $V_{2} \left( x^0 \right) = \frac{V_{2}^{+} \left(x^0 \right)+ V_{2}^{-} \left(x^0 \right)}{2}$ . Все потенциалы Ньютона—Кулона имеют электростатическую интерпретацию: например, если электрические заряды распределены на $\partial \Omega$ , то создаваемое ими поле имеет потенциал простого слоя $V_1$ (в системе единиц Гаусса).

Логарифмический потенциал площади. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^2$ , $\partial \Omega \in C^1$ , $\rho_0 \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ , $Q = \mathbb{R}^2 \backslash \overline{\Omega}$ . Тогда логарифмический потенциал площади $V_0 \left( x^0 \right) = \iint_{\Omega} \rho_0(x) \ln \left| x-x^0 \right|^{-1} dx$ существует для всех точек $x^0 \in \mathbb{R}^2$ и имеет свойства:

$V_0 \in C^1 \left( \mathbb{R}^2\right)$ (непрерывная дифференцируемость на плоскости);
$V_0 \left( x^0 \right) = O \left( \ln \frac{1}{|x^0|}\right)$ , если $|x^0| \to \infty$ ;
$\Delta V_0=0$ в $Q$ ;
пусть $\rho_0 \in C \left( \overline{\Omega} \right) \cap C^{1} (\Omega)$ , тогда $V_0 \in C^{2}(\Omega)$ и удовлетворяет в $\Omega$ уравнению Пуассона $\Delta V_0 = - 2 \pi \rho_0(x)$ .

Логарифмический потенциал простой кривой. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^2$ , $\Gamma=\partial \Omega \in C^1$ — дизъюнктное объединение конечного числа замкнутых кривых Жордана, $\rho_1 \in C (\Gamma)$ , $Q = \mathbb{R}^2 \backslash \overline{\Omega}$ . Тогда логарифмический потенциал простой кривой $V_1 \left( x^0 \right) = \oint_{\Gamma} \rho_1(x) \ln \left| x-x^0 \right|^{-1} dx$ существует для всех точек $x^0 \in \mathbb{R}^2$ . Отметим свойства потенциала простой кривой:

$V_1 \in C \left( \mathbb{R}^2\right)$ (непрерывность на плоскости);
$V_1 \left( x^0 \right) = O \left( \ln \frac{1}{ |x^0|}\right)$ , если $|x^0| \to \infty$ ;
$\Delta V_1=0$ в $Q$ ;
разрыв нормальной производной: пусть $x^0 \in \Gamma$ , тогда потенциал простой кривой имеет нормальные производные (по направлению внешней нормали) извне $\partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{+} \left(x^0 \right)$ , изнутри $\partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{-} \left(x^0 \right)$ , связанные равенством $\partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{+} \left(x^0 \right) - \partial_{\vec{\nu}} V_{1}^{-} \left(x^0 \right) = -2 \pi \rho_1 \left( x^0 \right)$ .

Логарифмический потенциал двойной кривой. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^2$ , $\Gamma=\partial \Omega \in C^1$ — дизъюнктное объединение конечного числа замкнутых кривых Жордана, $\rho_2 \in C (\Gamma)$ , $Q = \mathbb{R}^2 \backslash \overline{\Omega}$ . Тогда логарифмический потенциал двойной кривой $V_2 \left( x^0 \right) = \oint_{\Omega} \rho_2(x) \partial_{\vec{\nu}} \ln \left| x-x^0 \right|^{-1} ds$ существует для всех точек $x^0 \in \mathbb{R}^2$ и имеет следующие свойства:

$V_2 \in L_{\infty} \left( \mathbb{R}^2\right)$ (ограниченность на плоскости);
$V_2 \left( x^0 \right) = O \left( \frac{1}{|x^0|}\right)$ , если $|x^0| \to \infty$ (как и потенциал двойного слоя, потенциал двойной кривой имеет отличную от других потенциалов асиптотику на бесконечности; кроме того, потенциалы площади и простой кривой, вообще говоря, не ограничены на плоскости);
$\Delta V_2=0$ в $Q$ ;
разрыв потенциала двойной кривой: пусть $x^0 \in \Gamma$ , тогда потенциал двойной кривой имеет предел извне $V_{2}^{+} \left(x^0 \right)$ , предел изнутри $V_{2}^{-} \left(x^0 \right)$ , связанные формулами Сохоцкого

$\left\{ \begin{aligned} & V_{2}^{+} \left(x^0 \right) = \pi \rho_2 \left( x^0 \right)+ V_{2} \left(x^0 \right) ,\\ & V_{2}^{-} \left(x^0 \right) = -\pi \rho_2 \left( x^0 \right)+ V_{2} \left(x^0 \right).\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.14)$

Таким образом, логарифмический потенциал двойной кривой имеет разрыв второго рода на границе области, а из формул Сохоцкого (2.14) следует, что его значение в граничных точках равно среднему арифметическому внутреннего и внешнего пределов: $V_{2} \left( x^0 \right) = \frac{V_{2}^{+} \left(x^0 \right) + V_{2}^{-} \left(x^0 \right)}{2}$ .

Пример 2.2. Найти логарифмический потенциал двойной кривой для окружности $\Gamma =\left\{ x_1^2 + x_2^2 = R^2 \right\}$ с плотностью $\rho_2(\theta) = \cos \theta$ , где $\theta$ — полярный угол.

Решение. Поскольку нормальная производная для окружности $\Gamma$ есть производная по полярному радиусу $r$ , явная формула для потенциала имеет вид

$\begin{aligned} & V_2 \left( x^0 \right) = -\frac{1}{2} R \int \limits_{0}^{2 \pi} \rho_2 (\theta) \left. \frac{\partial}{\partial r} \ln \left( \left( r \cos \theta - x_1^0 \right)^2 + \left( r \sin \theta - x_2^0 \right)^2\right) \right|_{r=R} d \theta = \\ & = -\frac{1}{2} R \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos \theta \frac{2 \left( R \cos \theta - x_1^0 \right) \cos \theta + 2 \left( R\sin \theta - x_2^0 \right) \sin \theta }{ \left( R \cos \theta - x_1^0 \right)^2 + \left( R \sin \theta - x_2^0 \right)^2 } d \theta. \\ \end{aligned}\,\, (2.15)$

Если искать потенциал двойной кривой по формуле (2.15), то необходимо последовательно рассмотреть три случая: а) $\left|x^0 \right| > R$ (точка находится вне окружности), б) $\left|x^0 \right| = R$ (точка находится на окружности); в) $\left|x^0 \right| < R$ (точка находится внутри окружности). Альтернативное решение использует свойства потенциала двойной кривой. Однако, в этом примере функция $V_2$ не имеет радиальной симметрии, поэтому нужна дополнительная идея о структуре потенциала.

Подсказку даёт оператор Лапласа в полярных координатах

$\Delta V_2 = \frac{\partial^2 V_2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial V_2}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 V_2}{\partial \theta^2}.\,\, (2.16)$

Заметим, что здесь нет смешанной производной $\frac{\partial^2 V_2}{\partial r \partial \theta}$ , и причина в ортогональности полярной системы координат (формула (2.16) и другие, ей подобные, будут получены в шестой главе при изучении оператора Лапласа—Бельтрами на римановых многообразиях). Будем искать потенциал двойной кривой в виде $V_{2}(r,\theta) = Z(r) Y(\theta)$ , где $Z$ , $Y$ — неизвестные функции. Воспользуемся третьим свойством, согласно которому $\Delta V_2=0$ , если $r \ne R$ . Подстановка в уравнение Лапласа даёт

$Z''(r) Y(\theta) + \frac{1}{r} Z'(r) Y(\theta) + \frac{1}{r^2} Z(r) Y''(\theta) = 0.\,\, (2.17)$

Разделим переменные, т.е. преобразуем уравнение (2.17) таким образом, чтобы его левая часть зависела только от переменной $r$ , а правая часть — только от $\theta$ :

$\frac{r^2 Z''(r) + rZ'(r)}{Z(r)}= -\frac{Y''(\theta}{Y(\theta)}.\,\, (2.18)$

Так как $r$ , $\theta$ — независимые переменные, уравнение (2.18) имеет решение только в том случае, когда обе его части равны не зависят от $r$ и $\theta$ , т.е. равны константе — обозначим её $\lambda$ :

$\frac{r^2 Z''(r) + rZ'(r)}{Z(r)}= -\frac{Y''(\theta}{Y(\theta)} = \mathrm{const} = \lambda.\,\, (2.19)$

Из (2.19) следует уравнение $Y'' + \lambda Y = 0$ , и легко видеть, что при $\lambda=1$ оно имеет частное решение, совпадающее с плотностью: $Y(\theta) = \rho_2(\theta) = \cos \theta$ . Общее решение уравнения $r^2 Z'' + r Z' -Z = 0$ имеет вид $Z(r) = \frac{C_1}{r} + C_2 r$ . Таким образом, если предположение о структуре потенциала двойной кривой в области $Q = \mathbb{R}^2 \backslash \Gamma$ справедливо, то он может быть представлен в виде

$V_2 (r,\theta) = \left\{ \begin{aligned} & \left( \frac{A}{r} +B r \right) \cos \theta ,\, r>R,\\ & \left( \frac{C}{r} + D r \right) \cos \theta,\, 0<r<R,\\ \end{aligned} \right.$

где $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — неизвестные параметры. Кроме того, чтобы потенциал удовлетворял формулам Сохоцкого (2.14), на окружности $\Gamma$ он должен быть равен $E \cos \theta$ , где $E$ — ещё один неизвестный параметр.

Из асимптотики потенциала $V_2$ на бесконечности явствует, что $B=0$ . Также $C=0$ , иначе потенциал будет иметь особенность при $r=0$ . Пусть $x^0 \in \Gamma$ , $x_1^0 = R \cos \theta$ , $x_2^0 = R \sin \theta$ . Найдём значение потенциала, его внешний и внутренний пределы в этой точке: $V_{2}^{+} \left( x^0 \right) = \frac{A}{R} \cos \theta$ , $V_{2}^{-} \left( x^0 \right) = DR \cos \theta$ , $V_{2} \left( x^0 \right) = E \cos \theta$ . После сокращения на $\cos \theta$ формулы Сохоцкого принимают вид

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{A}{R} = \pi + E ,\\ & DR = -\pi+ E.\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.20)$

Система (2.20) из двух уравнений не позволяет однозначно определить три параметра $A$ , $E$ и $D$ , но мы уже исчерпали список свойств потенциала двойной кривой. Вычислим параметр $E$ непосредственно, подставив в формулу (2.15) точку $x^0 = (R,0)^T$ : $E = -\frac{1}{2} R \int_{0}^{2 \pi} \cos \theta \frac{2 \left( R \cos \theta - R \right) \cos \theta + 2 R \sin^2 \theta }{ \left( R \cos \theta - R \right)^2 + R^2 \sin^2 \theta } d \theta = - \int_{0}^{2 \pi} \cos \theta \frac{1-\cos \theta}{2 - 2 \cos \theta} d \theta = 0$ . Отсюда $A = \pi R$ , $D = -\frac{\pi}{R}$ , а искомый потенциал двойной кривой имеет вид

$V_2 (r,\theta) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{\pi R}{r} \cos \theta ,\, r>R,\\ & 0 ,\, r=R,\\ & -\frac{\pi}{R} r \cos \theta,\, 0<r<R.\\ \end{aligned} \right.$

Осталось выяснить, почему потенциал двойной кривой непременно должен иметь вид $V_{2}(r,\theta) =Z(r) \cos \theta$ , если $r \ne R$ (утверждать, что функция, удовлетворяющая четырём свойствам, есть потенциал с данной плотностью, мы здесь не берёмся). Во всяком случае он должен допускать разложение в ряд Фурье с зависящими от $r$ коэффициентами:

$V_{2}(r,\theta) = \frac{1}{2}Z_0(r) + \sum \limits_{k=1}^{\infty} Z_{k}^{(1)}(r) \cos k \theta + Z_{k}^{(2)} (r) \sin k \theta.\,\, (2.21)$

Как будет показано в четвёртом параграфе настоящей главы, гармонические функции бесконечно дифференцируемы и даже аналитичны в своей области определения, поэтому ряд (2.21) сходится равномерно со всеми производными при любом $r \ne R$ , а коэффициенты $Z_{0}, Z_{k}^{(1)}, Z_{k}^{(2)} \in C^{\infty} ( r \ne R)$ . Фиксируем точку $x_0 \in \Gamma$ с полярным углом $\theta$ , подставим ряд (2.21) в формулы Сохоцкого (2.14) и приравняем соответствующие коэффициенты Фурье. Получим соотношения

$\left\{ \begin{aligned} & Z_0(R+0)=Z_0(R)=Z_0(R-0),\\ & Z_{k}^{(1)}(R+0)=Z_{k}^{(1)}(R)=Z_{k}^{(1)}(R-0),\, k \ne 1,\\ & Z_{k}^{(2)}(R+0)=Z_{k}^{(2)}(R)=Z_{k}^{(2)}(R-0),\, k \geqslant 1,\\ & Z_{2}^{(1)}(R+0)=2 \pi + Z_{2}^{(1)} (R),\, Z_{2}^{(1)}(R-0)=-2\pi + Z_{2}^{(1)}(R).\end{aligned} \right.$

Также из третьего свойства потенциала двойной кривой следуют уравнения для коэффициентов $Z_0$ , $Z_{k}^{(j)}$ , $k \in \mathbb{N}$ , $j=1,2$ , решения которых имеют вид $Z_0(r) = A_0 \ln r+ B_0$ , $Z_{k}^{(j)}(r) = \frac{A_{k}^{(j)}}{r} + B_{k}^{(j)} r$ при $r>R$ , и $Z_0(r) = C_0 \ln r+ D_0$ , $Z_{k}^{(j)}(r) = \frac{C_{k}^{(j)}}{r} + D_{k}^{(j)} r$ для $0<r<R$ . Покажем, что все коэффициенты Фурье, кроме $Z_2^{(1)}$ , равны нулю. Из условий при $r \to \infty$ и $r \to 0$ вытекает $B_{k}^{(j)} =0$ , $C_{k}^{(j)} = 0$ , $A_0=0$ , $C_0 = 0$ , другими словами,

$Z_{k}^{(j)}(r) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{A_{k}^{(j)}}{r},\, r>R,\\ & D_{k}^{(j)} r,\, 0<r<R;\\ \end{aligned} \right. \,\, Z_{0}(r) = \left\{ \begin{aligned} & 0,\, r>R,\\ & D_{0},\, 0<r<R.\\ \end{aligned} \right.$

Так как $Z_0(R+0)=Z_0(R-0)$ , $D_0 = 0$ и $Z_0(r)=0$ . Непосредственным вычислением можно убедиться (сделайте это самостоятельно), что $V_2 = 0$ , если $r=R$ , поэтому все $Z_{k}^{(j)}(R)=0$ . Но тогда из равенств $Z_{k}^{(j)}(R+0)=0=Z_{k}^{(j)}(R-0)$ следуют соотношения $A_{k}^{(j)} = 0$ , $D_{k}^{(j)} = 0$ . Таким образом, все $Z_{k}^{(j)}(r)=0$ , кроме $Z_{2}^{(1)}$ , что и нужно было показать.

2.3. Принцип максимума и его следствия

Принцип максимума для гармонических функций доказан К.Ф. Гауссом в 1840-м году в знаменитой статье. Следуя классику, мы выведем его из теоремы о среднем по шару, но не только для гармонических функций; для наших целей наряду с уравнением Лапласа $\Delta u =0$ мы будем изучать неравенства $\Delta u \geqslant 0$ и $\Delta u \leqslant 0$ . Дадим определение.

Определение 2.8. Решение уравнения Лапласа $\Delta u =0$ называется гармонической функцией, решение неравенства $\Delta u \geqslant 0$ — субгармонической функцией, решение неравенства $\Delta u \leqslant 0$ — супергармонической функцией.

Сосредоточимся на субгармонических функциях (соответствующие результаты о супергармонических и гармонических функциях будут простыми следствиями утверждений о первых). Отметим, что если $u \in C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ — субгармоническая в области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ с границей класса $C^{1}$ , то из второй формулы Грина вытекает неравенство $\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds \geqslant 0$ .

Теорема 2.1 (теорема о среднем по сфере). Пусть $B_{R} = \left\{ x \in \mathbb{R}^n: \left| x - x^0 \right|<R \right\}$ , $S_{R} = \partial B_{R}$ , $u \in C^{2} \left( B_{R}\right) \cap C \left( \overline{B}_{R} \right)$ — субгармоническая в $B_{R}$ функция. Тогда

$u \left(x^0 \right) \leqslant \frac{1}{\omega_{n-1} R^{n-1}}\int \limits_{S_{R}}u(x) ds.\,\, (2.22)$

Доказательство. Пусть $0<\rho<R$ . Фундаментальное решение можно модифицировать, положив $\tilde{E} \left( x-x^0 \right) = E \left( x-x^0 \right) + C$ , так, чтобы $\tilde{E} < 0$ для всех $x \in B_{\rho}$ и $\tilde{E} = 0$ , если $x \in S_{\rho}$ (упражнение: найдите выражение для константы $C$ ). Для модифицированного фундаментального решения верна формула интегрального представления. Действительно,

$u \left( x^0 \right) = \int \limits_{S_{\rho} } \left( u \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}} - E \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right) ds + \int \limits_{B_{\rho}} E \Delta u dx + \int \limits_{B_{R}} C \Delta u dx - \int \limits_{S_{\rho}} C \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds = \int \limits_{S_{\rho} } \left( u \frac{\partial \tilde{E}}{\partial \vec{\nu}} - \tilde{E} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right) ds + \int \limits_{B_{\rho}} \tilde{E} \Delta u dx.$

Поскольку $\frac{\partial \tilde{E}}{\partial \vec{\nu}}= \frac{\rho^{1-n}}{\omega_{n-1}}$ на $S_{\rho}$ , из новой формулы интегрирования по частям имеем неравенство

$u \left(x^0 \right) \leqslant \frac{1}{\omega_{n-1} \rho^{n-1}}\int \limits_{S_{\rho}}u(x) ds.\,\, (2.23)$

Так как $u \in C \left( \overline{B}_{R} \right)$ , предельный переход $\rho \to R-0$ в неравенстве (2.23) даёт неравенство (2.22) $\blacksquare$

Теорема 2.2 (теорема о среднем по шару). Пусть $B_{R} = \left\{ x \in \mathbb{R}^n: \left| x - x^0 \right|<R\right\}$ , $u \in C^{2} \left( B_{R}\right) \cap C \left( \overline{B}_{R} \right)$ — субгармоническая в $B_{R}$ функция. Тогда

$u \left(x^0 \right) \leqslant \frac{1}{\kappa_n R^{n}}\int \limits_{B_{R}}u(x) dx,\,\, (2.24)$

где $\kappa_n = \frac{\omega_{n-1}}{n}$ — объём шара единичного радиуса.

Доказательство. Умножим неравенство (2.23) на $\omega_{n-1} \rho^{n-1}$ и проинтегрируем по $\rho$ от $0$ до $R$ : $u \left( x^0 \right) \int_{0}^{R} \omega_{n-1} \rho^{n-1} d \rho \leqslant \int_{0}^{R} d \rho \int_{S_{\rho}} u(x) ds$ или $u \left( x^0 \right) \kappa_{n}R^{n} \leqslant \int_{B_{R}} u(x) dx$ , что и требовалось $\blacksquare$

Замечание 2.1. Если $u \in C^{2} \left( B_{R}\right) \cap C \left( \overline{B}_{R} \right)$ — супергармоническая функция в шаре $B_{R}$ с центром в точке $x^0$ , то $-u$ есть субгармоническая функция, и для $u$ справедливы неравенства, противоположные (2.22) и (2.24). Гармонические функции одновременно суб- и супергармонические, поэтому для них справедливы теоремы о среднем в форме равенств: если $u \in C^{2} \left( B_{R}\right) \cap C \left( \overline{B}_{R} \right)$ — гармоническая в $B_{R}$ функция, то

$u \left(x^0 \right) =\frac{1}{\omega_{n-1} \rho^{n-1}}\int \limits_{S_{R}}u(x) ds,\,\, u \left(x^0 \right) = \frac{1}{\kappa_n R^{n}}\int \limits_{B_{R}}u(x) dx.\,\, (2.25)$

Теорема 2.3 (принцип максимума субгармонических функций). Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — область, $u \in C^{2} (\Omega)$ — субгармоническая функция, достигающая максимального значения $M$ в $\Omega$ . Тогда $u \equiv M$ в $\Omega$ .

Теорема 2.3 утверждает, что непостоянная субгармоническая функция в области $\Omega$ не может иметь внутреннего глобального максимума. Принцип максимума занимает центральное место в теории гармонических функций (а его обобщения — в теории эллиптических уравнений второго порядка). Он, как многие ключевые утверждения в теории УЧП, имеет физическое воплощение. Рассмотрим трёхмерную область $\Omega$ , заполненную сплошной средой со стационарным (не зависящим от времени) распределением температуры. Предположим, что внутренних источников тепла нет. Тогда либо температура во всех точках области $\Omega$ одна и та же, либо она не имеет внутреннего максимума, так как в противном случае начнётся эволюция температуры.

Доказательство. Рассмотрим множество уровня $S_{M} = \{ x \in \Omega: u(x) = M \}$ . По условию теоремы $S_M \ne \emptyset$ , кроме того, $S_{M}$ — замкнутое множество в топологии $\Omega$ , потому что $u \in C(\Omega)$ . Возьмём точку $x^0 \in S_{M}$ , шар $B_{R} = B_{R} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ и применим неравенство со средним по шару для субгармонической функции $u -M$ :

$0 = u \left( x^0 \right) - M \leqslant \frac{1}{\kappa_n R^{n}} \int \limits_{B_{R}} \left( u - M\right) dx.$

С другой стороны, подынтегральная функция $u-M \leqslant 0$ , поэтому $u \equiv M$ в $B_{R}$ , $B_{R} \subset S_{M}$ , множество $S_{M}$ открыто. Но область $\Omega$ топологически связна, единственное непустое открыто-замкнутое множество в $\Omega$ — это сама область $\Omega$ , т.е. $S_{M} = \Omega$ , что и нужно было доказать $\blacksquare$

Замечание 2.2. Для супергармонических функций справедлив принцип минимума: если функция $u \in C^{2} (\Omega)$ , $\Delta u \leqslant 0$ , достигает минимум $m$ в $\Omega$ , то $u \equiv m$ в $\Omega$ . Гармонические функции удовлетворяют принципу максимума и минимума.

Следствие 2.1. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , тогда: 1) непостоянная в $\Omega$ субгармоническая функция $u \in C^{2} (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega}\right)$ удовлетворяет в любой точке $x \in \Omega$ неравенству $u(x) < \max \limits_{\partial \Omega} u$ ; 2) непостоянная в $\Omega$ супергармоническая функция $u \in C^{2} (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega}\right)$ удовлетворяет в любой точке $x \in \Omega$ неравенству $u(x) > \min \limits_{\partial \Omega} u$ ; 3) непостоянная в $\Omega$ гармоническая функция $u \in C^{2} (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega}\right)$ удовлетворяет в любой точке $x \in \Omega$ двойному неравенству

$\min \limits_{\partial \Omega} u < u(x) < \max \limits_{\partial \Omega} u.\,\, (2.26)$

Доказательство. Так как $\overline{\Omega}$ — компакт, непрерывная на нём субгармоническая функция $u$ достигает максимального значения. Если точка максимума $x^0$ принадлежит $\Omega$ , то по теореме 2.3 $u \equiv u \left( x^0 \right)$ , что противоречит условию. Следовательно, максимум достигается только на границе, а во внутренних точках $u(x) < \max_{\partial \Omega} u$ . Аналогично для супергармонической функции $u$ в каждой $x \in \Omega$ имеем $u(x) > \min_{\partial \Omega} u$ . Третий пункт следует из первых двух $\blacksquare$

Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — область, $\varphi: \partial \Omega \to \mathbb{R}$ — известная функция на границе (граничная функция). Задача Дирихле для уравнения Лапласа в области $\Omega$ имеет вид

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta u =0, \, x \in \Omega,\\ & \left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi,\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.27)$

где $\left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ означает, что $u(x) = \varphi(x)$ для всех $x \in \partial \Omega$ . Задача (2.27) называется внутренней, если $\Omega$ — ограниченная область.

Определение 2.9. Классическим решением задачи Дирихле (2.27) называется функция $u \in C^{2} (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ , которая при подстановке в задачу обращает уравнение Лапласа и условие Дирихле в тождества.

Очевидно, необходимое условие существования классического решения — это принадлежность $\varphi$ пространству $C (\partial \Omega)$ , так как $u$ не только должна совпадать с $\varphi$ на границе, но и быть непрерывной в $\overline{\Omega}$ . В функциональной теории УЧП в первую очередь исследуется корректность поставленных (краевых, начальных, начально-краевых и других) задач. Мы дадим определение корректно поставленных по Адамару линейных задач (определение в нелинейном случае аналогичное, но будет приведено отдельно для каждой задачи), проходящее красной нитью через всю книгу. В качестве примера будем рассматривать внутреннюю задачу (2.27).

Итак, пусть $\mathcal{U}$ — пространство (под ‘пространством’ обычно понимается функциональное пространство, замкнутое относительно естественных линейных операций) решений (в том или другом смысле), $\mathcal{F}$ — пространство правых частей (данных) линейной задачи. В пространствах $\mathcal{U}$ , $\mathcal{F}$ задана топология или хотя бы фиксирован класс сходящихся последовательностей. Например, $\mathcal{U} = C^{2} (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ — пространство классических решений, $\mathcal{F} = C (\partial \Omega)$ — пространство данных внутренней задачи Дирихле (2.27). Сходимость последовательности $\{ \varphi_{k} \}_{k=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$ — это сходимость относительно равномерной нормы $\| \varphi \| = \max_{\partial \Omega} |\varphi|$ . Последовательность $\{ u_{k} \}_{k=1}^{\infty} \subset \mathcal{U}$ сходится, если она сходится в $C \left( \overline{\Omega} \right)$ и равномерно сходится вместе со всеми производными до второго порядка включительно на любом компакте из $\Omega$ .

Определение 2.10. Линейная задача называется корректно поставленной по Адамару (или, просто, корректной) в классе пространств $\mathcal{U}$ , $\mathcal{F}$ , если выполнены три положения:

решение существует в $\mathcal{U}$ для любых данных из $\mathcal{F}$ (существование);
решение единственно в пространстве $\mathcal{U}$ (единственность);
разрешающий оператор $R: \mathcal{F} \to \mathcal{U}$ , сопоставляющий правым частям из $\mathcal{F}$ единственное решение из $\mathcal{U}$ , непрерывен (устойчивость).

Начав со второго пункта определения 2.10, мы докажем корректность задачи Дирихле (2.27) для ограниченных областях с так называемыми регулярными границами, причём пространство решений будет сужено до $C^{\infty}(\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ . Заметим, что единственность решения линейной краевой задачи эквивалентна единственности тривиального решения задачи с нулевыми данными. Для внутренней задачи Дирихле (2.27) она имеет вид

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta u =0 \, \mbox{в}\,\Omega \Subset \mathbb{R}^n,\\ & \left. u \right|_{\partial \Omega} = 0.\\ \end{aligned} \right. \,\, (2.28)$

Следствие 2.2. Классическое решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа единственно.

Доказательство. Пусть $u_1, u_2 \in C^2 (\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega}\right)$ — два классических решения задачи (2.27). Тогда их разность $u=u_1-u_2$ удовлетворяет задаче (2.28). Если $u$ не равна нулю тождественно, то в любой $x \in \Omega$ по следствию 2.1 имеем $0 =\min_{\partial \Omega} u < u(x) < \max_{\partial \Omega} u =0$ — противоречие. Отсюда $u_1 \equiv u_2$ в $\Omega$ $\blacksquare$

Пусть снова $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — область, $\varphi: \partial \Omega \to \mathbb{R}$ — известная граничная функция, $\partial \Omega \in C^1$ . Задача Неймана для уравнения Лапласа в области $\Omega$ имеет вид

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta u =0, \, x \in \Omega,\\ & \left. \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right|_{\partial \Omega} = \varphi,\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.29)$

Определение 2.11. Классическим решением задачи Неймана (2.29) называется функция $u \in C^2 (\Omega) \cap C^1 \left( \overline{\Omega} \right)$ , которая при подстановке в задачу обращает уравнение Лапласа и условие Неймана в тождества.

Отметим, во-первых, что решение задачи (2.29) не может быть единственным: если $u$ — какое-нибудь решение задачи Неймана, то $u+C$ — тоже решение ( $C = \mathrm{const}$ ). Уже поэтому нельзя говорить о корректности задачи Неймана: п. 2 определения 2.10 нарушен. Во-вторых, для существования классического решения необходимо, чтобы среднее значение граничной функции равно нулю: $\int_{\partial \Omega} \varphi(x) ds = 0$ . Это условие легко получается из второй формулы Грина, применённой для самого решения $u$ и тождественной единицы, если предположить принадлежность $u$ пространству $C^2 \left( \overline{\Omega} \right)$ .

Покажем, что при определённых условиях на границу области (сверх её принадлежности классу $C^1$ ), решения задачи Неймана (2.29) определены с точностью до аддитивной постоянной, иначе говоря, все решения задачи

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta u =0, \, x \in \Omega,\\ & \left. \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right|_{\partial \Omega} = 0\\ \end{aligned} \right.\,\, (2.30)$

суть константы.

Определение 2.12. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ . Граничная точка $x^0 \in \partial \Omega$ удовлетворяет условию внутренней сферы, если её можно коснуться изнутри некоторой сферой: существует $B_{\rho} \left( x' \right) \subset \Omega$ и $S_{\rho} \left( x' \right) \cap \partial \Omega =\left\{ x^0 \right\}$ .

Нужный нам результат о задаче (2.30) вытекает из леммы о нормальной производной, известной также как лемма Хопфа-Олейник (см. обзор Д.Е. Апушкинской и А.И. Назарова об истории вопроса и обобщениях).

Лемма 2.1. Пусть $u$ — непостоянная гармоническая функция в области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $\partial \Omega \in C^1$ , $u \in C^1 \left( \overline{\Omega} \right)$ . Предположим, что точка максимума $x^0 \in \partial \Omega$ функции $u$ удовлетворяет условию внутренней сферы. Тогда $\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \left( x^0 \right) > 0$ .

Доказательство. Будем считать, что $\max \limits_{\partial \Omega} u = u \left( x^0 \right) =0$ (в противном случае функцию $u$ исправить на константу, которая не влияет на производную); тогда $u(x)<0$ для всех $x \in \Omega$ . Пусть $B_{\rho} \left( x' \right)$ — тот самый шар из определения 2.12. Рассмотрим шаровой слой $Q = B_{\rho} \left( x'\right) \backslash \overline{B_{\rho/2} \left( x' \right)}$ (рис. 2.2) и модифицируем фундаментальное решение $\tilde{E}=\tilde{E}\left( x-x' \right)$ таким образом, чтобы $\tilde{E} = 0$ при $\left| x-x' \right|=\rho$ (как в доказательстве теоремы 2.1). При малом $\varepsilon > 0$ $u(x) \leqslant \varepsilon \tilde{E} \left( x-x' \right)$ , если $\left| x-x'\right| = \rho/2$ , так как $\max_{S_{\rho/2} (x')} u <0$ , $\left. \varepsilon \tilde{E} \right|_{S_{\rho/2} (x')} =\mathrm{const} <0$ .

Таким образом, $u \leqslant \varepsilon \tilde{E} \leqslant 0$ на $\partial Q$ , и по принципу максимума $u \leqslant \varepsilon \tilde{E} \leqslant 0$ в $Q$ . Но $u \left( x^0 \right) = \varepsilon E \left( x^0-x' \right) =0$ , поэтому $\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \left( x^0 \right) \geqslant \varepsilon \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}} \left( x^0-x' \right) >0$ $\blacksquare$

Рис. 2.2. Условие внутренней сферы.

Утверждение 2.3. Пусть каждая точка границы области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ удовлетворяет условию внутренней сферы. Тогда любое классическое решение задачи (2.30) — постоянная функция.

Доказательство. Предположим, что функция $u \in C^{2} \left( \Omega \right) \cap C^{1} \left( \overline{\Omega}\right)$ — непостоянное решение задачи (2.30). Тогда по лемме 2.1 $\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \left( x^0 \right) > 0$ в точке максимума $x^0 \in \partial \Omega$ , что противоречит условию Неймана $\left. \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right|_{\partial \Omega} = 0$ $\blacksquare$

Стало быть, если 1) выполнено условию внутренней сферы; 2) пространство классических решений сужено до $C^{2} \left( \overline{\Omega} \right)$ , то число условий разрешимости задачи Неймана (2.29) совпадает с числом линейно независимых решений соответствующей однородной задачи (2.30) — оба равны единице. Это совпадение не случайно: как будет показано в шестой главе, задача Неймана, а вмести с ней большой класс внутренних краевых задач для равномерно эллиптических уравнений разрешимы по Фредгольму, что означает равенство между размерностью пространства решений и числом интегральных равенств — необходимых и достаточных условий разрешимости. Доказательство существования решения задачи (2.29) будет дано в третьей главе.

2.4. Качественная теория гармонических функций

Если функциональная теория уравнений в частных производных изучает разрешимость задач, то качественная теория занимается исследованием тонких свойств решений, зачастую не представляя само решение в каком-либо в виде, т.е. не обращаясь к тому или иному методу построения решения. Доказанные в предыдущем параграфе принцип максимума (одно из главных свойств гармонических функций) и лемма о нормальной производной уже относятся к качественной теории. Изучение дифференциальных свойств решений также к ней относится. Речь идёт о существовании непрерывных производных высших порядков (третьего и большего, если рассматриваются уравнения второго порядка). Удивительным образом гармонические функции, которые по определению 2.8 должны быть всего лишь дважды непрерывно дифференцируемы, всегда бесконечно дифференцируемы.

Для доказательства бесконечной дифференцируемости гармонических функций мы разовьём технику усреднения, хотя, отметим, её область применения значительно шире. Суть усреднения — это сглаживание функций, удовлетворяющее ряду замечательных свойств. Речь идёт об операторе $J_{h}: L_{1,loc} \left( \mathbb{R}^n \right) \to C^{\infty} \left( \mathbb{R}^n \right)$ , и чем меньше положительный параметр $h$ , называемым радиусом усреднения, тем ближе (в некотором смысле) функция к своему усреднению. Для определения оператора $J_{h}$ нам потребуется одна основная функция.

Определение 2.11. Пусть $h>0$ . Ядром усреднения радиуса $h$ называется функция $\zeta_{h} \in \mathcal{D} \left( \mathbb{R}^n \right)$ , удовлетворяющая условиям: 1) $\zeta_{h} \geqslant 0$ ; 2) $\zeta_{h}$ — радиально-симметричная функция; 3) $\mathrm{supp}\, \zeta_{h} = \overline{B}_{h}(0)$ ; 4) $\int_{B_{h}(0)} \zeta_{h}(x) dx =1$ .

Примером ядра усреднения может служить функция

$\zeta_{h}(x) = \left\{ \begin{aligned} & \frac{C_{n}}{h^n} \exp \left( \frac{-h^2}{h^2 - |x|^2} \right),\, |x|<h,\\ & 0,\, |x| \geqslant h,\\ \end{aligned} \right.$

где положительная константа $C_{n}$ , зависящая только от размерности, подобрана так, чтобы указанная функция удовлетворяла четвёртому пункту в определении 2.11 (первым трём, как нетрудно убедиться, она уже удовлетворяет). Пусть $\zeta_{h}$ — любое ядро усреднения радиуса $h$ , $u \in L_{1,loc} \left( \mathbb{R}^n \right)$ , тогда результатом усреднения будем функция

$\left( J_{h} u \right) (x) = \int \limits_{B_{h} (x)} \zeta_{h} (x-y) u(y) dy,\,\,(2.31)$

определённая для всех $x \in \mathbb{R}^n$ . Интеграл в формуле (2.31) называется свёрткой и обозначается $\zeta_{h} * u$ . Как будет показано в четвёртой главе «Обобщённые функции», свёртка любой обобщённой функции с основной (финитной бесконечно дифференцируемой) функцией существует, бесконечно дифференцируема и для любого $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ $D^{\alpha} \left( \zeta_{h} * u \right) = \left( D^{\alpha} \zeta_{h} \right) * u$ . Поэтому функция, заданная формулой (2.31), бесконечно дифференцируема, мы получили оператор усреднения $J_{h}: L_{1,loc} \left( \mathbb{R}^n \right) \to C^{\infty} \left( \mathbb{R}^n \right)$ . Его можно рассматривать и в других функциональных пространствах, например, в $L_{p}(\Omega)$ , где $\Omega$ — ограниченная область. Договоримся продолжать функции, определённые в $\Omega$ , нулём в $\mathbb{R}^n \backslash \Omega$ . Основное свойство оператора усреднения состоит в том, что для любых $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $u \in L_{p}(\Omega)$ $\| J_{h} u\|_{L_{p}(\Omega)} \leqslant \| u \|_{L_{p}(\Omega)}$ и $\| u-J_{h} u \|_{L_{p}(\Omega)} \to 0$ при $h \to 0$ . Это утверждение будет доказано в следующих главах книги, а сейчас покажем, что гармоническая функция в $\Omega$ принадлежит $C^{\infty}(\Omega)$ .

Утверждение 2.4. Функция $u \in C^{2}(\Omega)$ , гармоническая в области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ , бесконечно дифференцируема в $\Omega$ .

Доказательство. Фиксируем $\varepsilon >0$ , рассмотрим открытое подмножество $Q_{\varepsilon} = \left\{ x \in \Omega: \mathrm{dist} (x, \partial \Omega) > \varepsilon \right\}$ (считаем $\varepsilon$ достаточно малым, что $Q_{\varepsilon}$ непусто), и пусть $\rho < \varepsilon$ . Так как $u$ — гармоническая функция, её значение в любой точке $x \in Q_{\varepsilon}$ равно среднему по сфере $S_{\rho}(x)$ :

$u (x) = \frac{1}{\omega_{n-1} \rho^{n-1}}\int \limits_{S_{\rho} (x)}u(y) ds.\,\,(2.32)$

Выберем радиус усреднения $h<\varepsilon$ , умножим (2.32) на $\omega_{n-1} \rho^{n-1} \zeta_{h} (\rho)$ и проинтегрируем по $\rho$ от $0$ до $h$ :

$u(x)=u (x) \int \limits_{0}^{h} \omega_{n-1} \rho^{n-1} \zeta_{h} (\rho) d \rho = \int \limits_{0}^{h} \zeta_{h}(\rho) d \rho \int \limits_{S_{\rho} (x) } u(y) ds = \int \limits_{B_{h}(x)} \zeta_{h} (x-y) u(y) dy = \left( J_{h} u \right) (x).$

Таким образом, функция $u$ совпадает со своим усреднением радиуса $h<\varepsilon$ в области $Q_{\varepsilon}$ . А так как $J_{h} u$ — гладкая функция в этой области, $u \in C^{\infty} \left( Q_{\varepsilon}\right)$ при любом $\varepsilon>0$ . Устремляя $\varepsilon$ к нулю, имеем $u \in C^{\infty}(\Omega)$ $\blacksquare$

Из-за того, что $\Delta D^{\alpha} = D^{\alpha} \Delta$ , все производные гармонических функций — тоже гармонические функции. Предположим, что некоторая бесконечно дифференцируемая функция ограничена, т.е. существует константа $C$ и $|u(x)| \leqslant C$ для всех $x$ из области $\Omega$ . Что можно сказать о производных функции $u$ ? Ровным счётом ничего: оценка значений функции не даёт какой-либо оценки её производных (оценка производных тем не менее даёт некоторую информацию о самой функции, например, в теореме Лагранжа о конечных приращениях или в неравенстве Фридрихса). Ситуация резко меняется, когда рассматриваемая функция суть решение уравнения в частных производных: теперь оценить производные становится возможным. Соответствующие оценки называют в качественной теории УЧП априорными. Априорные оценки позволяют оценить решение уравнения и/или его производные без предъявления какой-либо явной формулы для этого решения. Они бывают разных видов (точечные, интегральные, внутренние, глобальные), и первой в этой книге будет получена внутренняя точечная априорная оценка производных гармонических функций.

Теорема 2.4. Пусть $u \in C^{2}(\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega}\right)$ — гармоническая функция в области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , подобласть $Q \Subset \Omega$ . Тогда для любого $k \in \mathbb{N}$ и любой точки $x^0 \in \overline{Q}$ выполнено неравенство

$\left| D^{\alpha} u \left( x^0 \right) \right| \leqslant \left( \frac{nk}{d}\right)^{k} \max \limits_{ \partial \Omega}|u|,\,\,(2.33)$

где $\alpha \in \mathbb{Z}{+}^{n}$ , $|\alpha| = k$ , $d = \mathrm{dist}(Q, \partial \Omega)$ (это кратчайшее растояние, а не расстояние Хаусдорфа, $\mathrm{dist}(Q, \partial \Omega)=\inf \limits_{x \in Q} \mathrm{dist}(x,\partial \Omega)$ ).

Доказательство. Пусть $B_{R} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ , тогда по теореме о среднем по шару и формуле интегрирования по частям имеем

$u_{x_j} \left( x^0 \right) = \frac{1}{\kappa_n R^n}\int \limits_{B_{R}\left( x^0 \right)} \frac{\partial u}{\partial x_j} dx=\frac{1}{\kappa_n R^n} \int \limits_{S_{R}\left( x^0 \right)} u \nu_{j} ds.$

Отсюда получаем оценку:

$\left| u_{x_j} \left( x^0 \right) \right| \leqslant \frac{\omega_{n-1} R^{n-1}}{\kappa_n R^n } \max \limits_{S_{R} \left( x^0 \right)}|u| = \frac{n}{R} \max \limits_{S_{R} \left( x^0 \right)}|u|.$

Пусть теперь $\alpha \in \mathbb{Z}{+}^{n}$ , $|\alpha| = k \geqslant 1$ . Построим семейство подобластей $Q = \Omega_1 \Subset \Omega_2 \Subset \ldots \Subset \Omega_{k+1} = \Omega$ , где $\Omega_{j+1} = \left\{ x \in \Omega: \mathrm{dist} \left(x, \Omega_j \right) < \frac{d}{k}\right \}$ , $j=1,\ldots,k-1$ . Для любой точки $x^0 \in \Omega_j$ шар $B_{\frac{d}{k}} \left( x^0 \right)\Subset \Omega_{j+1}$ . Рассмотрим $x^0 \in \overline{Q}$ и запишем, используя первую часть доказательства, цепочку неравенств

$\left| D^{\alpha} u \left( x^0 \right) \right| \leqslant \frac{nk}{d} \max \limits_{\overline{\Omega}_2} \left| D^{\alpha^1} u \right| \leqslant \ldots \leqslant \left( \frac{nk}{d}\right)^k \max \limits_{\overline{\Omega}} |u| = \left( \frac{nk}{d}\right)^k \max \limits_{\partial \Omega} |u| ,$

где $\left| \alpha^{j+1}\right| = \left| \alpha^{j}\right| - 1$ , $\alpha^{j+1}$ отличается от $\alpha^j$ одним индексом. Неравенство (2.33) доказано $\blacksquare$

Априорная оценка производных гармонических функций имеет ряд замечательных следствий, но в первую очередь мы получим результат об устойчивости внутренней задачи Дирихле (2.27). Вспомним, что норма в пространстве $C^{k} \left( \overline{Q} \right)$ задаётся формулой $\| u \|_{k, \overline{Q}} = \sum \limits_{|\alpha| \leqslant k} \max \limits_{\overline{Q}} \left| D^{\alpha} u \right|$ , и относительно этой нормы пространство $C^{k} \left( \overline{Q} \right)$ банахово. В следующем определении фиксируется класс сходящихся последовательностей в пространстве решений $\mathcal{U} = C^{\infty}(\Omega) \cap C \left( \overline{\Omega} \right)$ .

Определение 2.12. Пусть $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — область (не обязательно ограниченная). Последовательность $\left\{ u_{j} \right\}_{j=1}^{\infty} \subset C^{\infty}(\Omega)$ сходится к $u \in C^{\infty}(\Omega)$ , если для любой $Q \Subset \Omega$ и любого $k \in \mathbb{N}_0$ $\left\| u_{j} - u \right\|_{k,\overline{Q}} \to 0$ при $j \to \infty$ . Для ограниченной области $\Omega$ последовательность $\left\{ u_{j} \right\}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{U}$ сходится к $u \in \mathcal{U}$ , если она сходится к этой функции в пространствах $C \left( \overline{\Omega} \right)$ и $C^{\infty}(\Omega)$ .

Утверждение 2.5. Предположим, что последовательность граничных функций $\left\{ \varphi_j \right\}_{j=1}^{\infty} \subset C(\partial \Omega)$ сходится к функции $\varphi \in C(\partial \Omega)$ и для каждой $\varphi_j$ существует решение задачи (2.27) $u_{j} \in \mathcal{U}$ ; кроме того, существует решение $u \in \mathcal{U}$ для предельной функции $\varphi$ . Тогда $u_j \to u$ при $j \to \infty$ в $\mathcal{U}$ .

Доказательство. Сходимость последовательности $\left\{ u_{j} \right\}_{j=1}^{\infty}$ в $C \left( \overline{\Omega} \right)$ следует непосредственно из принципа максимума:

$\left\| u_j - u \right\|_{C \left( \overline{\Omega} \right)} = \max \limits_{\overline{\Omega}} \left| u_j - u \right| = \max \limits_{\partial \Omega} \left| \varphi_j - \varphi \right| = \left\| \varphi_j - \varphi \right\| \to 0, \, j \to \infty.$

Фиксируем подобласть $Q \Subset \Omega$ , число $k \in \mathbb{N}$ , получим оценку нормы $\left\| u_j - u \right\|_{k,\overline{Q}}$ (здесь $d = \mathrm{dist}(Q, \partial \Omega)$ ):

$\left\| u_j - u \right\|_{k,\overline{Q}} = \sum \limits_{|\alpha| \leqslant k} \left\| u_j - u \right\|_{C \left( \overline{Q} \right)} \leqslant \sum \limits_{|\alpha| \leqslant k} \left( \frac{n |\alpha|}{d} \right)^{|\alpha|} \max \limits_{\partial \Omega} \left| \varphi_j - \varphi \right| \to 0,$

$j \to \infty$ . Следовательно, $\left\{ u_{j} \right\}_{j=1}^{\infty}$ сходится в $C^{k} \left( \overline{Q} \right)$ , а так как $Q$ и $k$ произвольны, эта последовательность сходится в $\mathcal{U}$ $\blacksquare$

Таким образом, чтобы утверждать корректность по Адамару внутренней задачи Дирихле (2.27), нам осталось доказать существование решения (первый пункт в определении 2.10), что составляет наибольшую сложность и будет сделано в следующей главе. Здесь продолжим изучение основных и тонких свойств гармонических функций. Оказывается, всякая гармоническая в области $\Omega$ функция $u$ допускает представление в окрестности любой точки $x^0 \in \Omega$ в виде ряда по степеням $x_1-x_1^0,\ldots,x_n-x_n^0$ , т.е. $u$ — аналитическая в $\Omega$ функция.

Теорема 2.5. Гармонические функции аналитичны в своей области определения.

Доказательство. Пусть $u$ — гармоническая в $\Omega$ функция, тогда она бесконечно дифференцируема в $\Omega$ (по утверждению 2.3). Рассмотрим $x^0 \in \Omega$ , и пусть положительный радиус $\rho$ таков, что $B_{2 \rho} \left( x^0 \right) \subset \Omega$ . Для $x \in B_{\rho} \left( x^0 \right)$ запишем формулу Тейлора:

$u(x) = \sum \limits_{|\alpha| < m} \frac{1}{\alpha!} D^{\alpha} u \left( x^0 \right) \left( x-x^0 \right)^{\alpha} + R_{m} \left( x; x^0 \right)$

( $R_{m}$ — остаточный член). Функция $u$ представляется рядом Тейлора $\sum_{\alpha} \frac{1}{\alpha!} D^{\alpha} u \left( x^0 \right) \left( x-x^0 \right)^{\alpha}$ в окрестности $x^0$ , если и только если существует $\varepsilon>0$ и $R_{m} \to 0$ при $m \to \infty$ равномерно по $x \in \overline{B}_{\varepsilon} \left( x^0 \right)$ . Представим остаточный член в форме Лагранжа:

$R_{m} \left( x;x^0 \right) = \sum \limits_{|\alpha|=m} \frac{1}{\alpha!} D^{\alpha} u \left( x' \right) \left( x-x^0 \right)^{\alpha}.\,\, (2.34)$

Здесь $x' = (1-t) x^0 + t x$ , $t \in (0,1)$ . Из теоремы 2.4 явствует неравенство $\left| D^{\alpha} u \left( x' \right) \right| \leqslant \left( \frac{nm}{\rho} \right)^{m} \max \limits_{\overline{B}_{2 \rho} \left( x^0 \right)} |u|$ . Кроме этого неравенства, для оценки остаточного члена (2.34) нам потребуется тождество с мультиномиальными коэффициентами $\sum_{|\alpha|=m} \frac{m!}{\alpha! }= n^m$ и неравенство Стирлинга $m! \geqslant \left( \frac{m}{e} \right)^{m}$ ; вместе они дают неравенство $\sum_{|\alpha|=m} \frac{1}{\alpha!} \leqslant \left( \frac{ne}{m} \right)^{m}$ . Имеем

$\left| R_{m} \left( x;x^0 \right) \right| \leqslant \left( \frac{nm}{\rho} \right)^{m} \max \limits_{\overline{B}_{2 \rho} \left( x^0 \right)} |u| \left| x-x^0 \right|^{m} \sum \limits_{|\alpha|=m} \frac{1}{\alpha!} \leqslant \left( n^2 \left| x-x^0 \right| e \rho^{-1} \right)^{m} \max \limits_{\overline{B}_{2 \rho} \left( x^0 \right)} |u|.$

Тогда возьмём $\varepsilon < \frac{\rho}{n^2 e}$ и получим: $R_m \left( x,x^0 \right) \to 0$ при $m \to \infty$ , равномерно по $x \in \overline{B}_{\varepsilon} \left( x^0 \right)$ , что и требовалось для аналитичности функции $u$ $\blacksquare$

Качественная теория гармонических функций отчасти повторяет теорию голоморфных функций одной комплексной переменной, но если в последней основным инструментом доказательства бесконечной дифференцируемости и разложимости в степенные ряды Тейлора и Лорана служил интеграл Коши $\frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0} dz$ вдоль замкнутой кривой Жордана $\Gamma$ , то его роль в теории гармонических функций выполняют теоремы о среднем 2.1 и 2.2 в сочетании с принципом максимума (в ТФКП, впрочем, есть принцип максимума модуля аргумента: если модуль голоморфной функции $f$ достигает максимум в области $\Omega$ , то $f = \mathrm{const}$ в $\Omega$ ). Следующая теорема также обобщает соответствующее утверждение из ТФКП.

Теорема 2.6 (теорема Лиувилля для гармонических функций). Пусть $u$ — гармоническая функция в $\mathbb{R}^n$ , существуют такие константы $m \geqslant 0$ , $C \geqslant 0$ , что для любой $x \in \mathbb{R}^n$ выполнено неравенство

$|u(x)| \leqslant C \left( 1+ |x|^m \right).\,\,\, (2.35)$

Тогда $u$ — многочлен от $x_1,\ldots,x_n$ со степенью $\deg u \leqslant [m]$ . В частности, если гармоническая в евклидовом пространстве функция ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Рассмотрим шары $B_{R+\rho}$ , $B_{R}$ с центром в начале координат, где $R, \rho>0$ . Пусть $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ , $|\alpha| = k = [m]+1$ . Априорная оценка и неравенстве (2.35) дают $\max_{\overline{B}_{R}} \left| D^{\alpha} u\right| \leqslant \left( \frac{nk}{\rho}\right)^k \max_{\overline{B}_{R+\rho}} |u| \leqslant (nk)^k \rho^{-k} C \left( 1+ |R+\rho|^m\right)$ . Так как $k>m$ , то при $\rho \to +\infty$ и фиксированном $R$ правая часть последнего неравенства стремится к нулю. Следовательно, при любом $R>0$ и любом $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ , $|\alpha|=[m]+1$ , $\max_{\overline{B}_{R}}\left| D^{\alpha} u\right| = 0$ , т.е. $D^{\alpha} u =0$ в $\mathbb{R}^n$ . Отсюда следует, что $u$ — многочлен степени не больше, чем $[m]$ $\blacksquare$

В ТФКП досконально изучаются изолированные особые точки аналитических функций, вводится классификация (устранимые особые точки, полюса, существенно особые точки), исследуется поведение аналитических функций в окрестностях особенностей. Мы не будем создавать столь продвинутой теории изолированных особых точек гармонических функций, но укажем одно замечательное обобщение теоремы об устранимой особенности из комплексного анализа.

Теорема 2.7. Пусть $u$ — гармоническая функция в $\Omega \backslash \left\{ x^0 \right\}$ , где $x^0 \in \Omega$ , $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ — область. Рассмотрим функцию $m(\rho)=\max_{S_{\rho}\left( x^0 \right)}|u|$ и предположим, что

$m(\rho) \leqslant | \mathcal{E}(\rho)| a (\rho),\,\, (2.36)$

причём $a(\rho) \to 0$ при $\rho \to +0$ . Тогда особенность в точке $x^0$ устранима, т.е. существует гармоническое продолжение функции $u$ в точку $x^0$ .

Доказательство. Пусть $B_{R} \left( x^0 \right) \Subset \Omega$ , $\rho \in (0,R)$ . Применим формулу интегрального представления для функции $u$ в области $B_{R} \left( x^0 \right) \backslash \overline{B}_{\rho} \left( x^0 \right)$ : для любой точки $\tilde{x} \in B_{R} \left( x^0 \right) \backslash \overline{B}_{\rho} \left( x^0 \right)$ имеем ( $E = E \left( \tilde{x} - x\right)$ )

$u \left( \tilde{x}\right) = \int \limits_{S_{R} \left( x^0\right)} \left( u \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}} - E \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right) ds + \int \limits_{S_{\rho} \left( x^0\right)} \left( u \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}'} - E \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} \right) ds,\,\, (2.37)$

где $\vec{\nu}$ — внешняя нормаль к $S_{R} \left( x^0 \right)$ , $\vec{\nu}'$ — внутренняя нормаль по отношению к $S_{\rho} \left( x^0 \right)$ . Мы покажем, что второй интеграл в равенстве (2.37) стремится к нулю при $\rho \to +0$ . Тогда функцию $u$ можно продолжить до гармонической функции в $\Omega$ , определив её в точке $x^0$ значением первого интеграла в (2.37) при $\tilde{x} = x^0$ .

Имеем $\left| \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}'} \right| \leqslant C_1$ при $x \in S_{\rho} \left( x^0 \right)$ , фиксированной $\tilde{x}$ и достаточно малых $\rho$ . Отсюда получаем

$\left| \int \limits_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} u \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}'} ds \right| \leqslant C_1 \omega_{n-1} |\mathcal{E}(\rho) | \rho^{n-1} a(\rho) \to 0,\, \rho \to +0.$

Рассмотрим теперь интеграл $I = -\int_{S_{\rho} \left( x^0\right)} E \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} ds$ . Заметим, что $\int_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} ds = -\int_{S_{\rho'} \left( x^0 \right)} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds$ для любого $\rho' \in (\rho,R)$ , поэтому $\int_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} ds = C_2$ , где $C_2$ не зависит от $\rho$ . Представим интеграл $I$ в виде

$I = - \int \limits_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} E \left( x^0 - \tilde{x} \right) \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} ds - \int \limits_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} \left[ E \left( x - \tilde{x} \right) - E \left( x^0 -\tilde{x} \right) \right]\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} ds.\,\, (2.38)$

Покажем, что второй интеграл в правой части равенства (2.38) стремится к нулю при $\rho \to +0$ . Априорная оценка даёт $\max_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} \left| \frac{\partial u}{\partial x_j} \right| \leqslant \frac{2 n}{\rho} m \left( \frac{\rho}{2} \right)$ . По теореме Лагранжа $\left| E \left( x - \tilde{x} \right) - E \left( x^0 -\tilde{x} \right) \right| \leqslant C_3 \left| x-x^0 \right|$ , где $C_3 = \mathrm{const}$ , $\tilde{x}$ фиксирована, а $\left| x-x^0 \right| = \rho$ достаточно мал. Поэтому второй интеграл можно оценить так:

$\begin{aligned} & \left| \int \limits_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} \left[ E \left( x - \tilde{x} \right) - E \left( x^0 -\tilde{x} \right) \right]\frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} ds \right| \leqslant C_3 \rho \cdot 2 n^2 \rho^{-1} m \left( \frac{\rho}{2} \right) \omega_{n-1} \rho^{n-1} \leqslant \\ & \leqslant C_4 |\mathcal{E} (\rho) | \rho^{n-1} a \left( \frac{\rho}{2} \right) \to 0,\, \rho \to +0\\ \end{aligned}$

( $C_4$ от $\rho$ не зависит).

Первый интеграл в правой части равенства (2.38) от $\rho$ не зависит:

$-\int \limits_{S_{\rho} \left( x^0 \right)} E \left( x^0 - \tilde{x} \right) \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}'} ds = E \left( x^0-\tilde{x} \right) \int \limits_{S_{R} \left( x^0 \right)} \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} ds = C_0 E \left( x^0-\tilde{x} \right).$

Отсюда получаем, что при $\rho \to +0$ интеграл $I$ стремится к $C_0 E \left( x^0-\tilde{x} \right)$ , а формула интегрального представления принимает предельный вид

$u \left( \tilde{x}\right) = \int \limits_{S_{R} \left( x^0\right)} \left( u \frac{\partial E}{\partial \vec{\nu}} - E \frac{\partial u}{\partial \vec{\nu}} \right) ds + C_0 E \left( x^0-\tilde{x} \right).\,\, (2.39)$

Но $C_0 = 0$ , иначе условие (2.36) нарушается, ведь интеграл в равенстве (2.39) ограничен при $\left| \tilde{x}-x^0 \right|<\frac{\rho}{2}$ $\blacksquare$

Книга по УЧП: глава 2 ‘Гармонические функции’

2.1. Введение в обобщённые функции. Фундаментальное решение оператора Лапласа

2.2. Интегральное представление функций. Потенциалы

2.3. Принцип максимума и его следствия

2.4. Качественная теория гармонических функций

Опубликовано Alexander Baikov

Добавить комментарий Отменить ответ

Июль 2026
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31