Динамика разрывных систем I: двухзвенная стержневая система на шероховатой плоскости, ящики на ленте конвейера

by Опубликовано

Задачи о движении механических систем с сухим трением в настоящее время популярны среди исследователей и находят множество приложений, в частности, в создании новых систем передвижения. Разрывность правых частей уравнений движения систем с сухим трением значительно затрудняет анализ динамики, даже если в областях непрерывности уравнения допускают явное и простое общее решение. Полный анализ движений может быть очень трудоёмким, но именно это делает задачи механики систем с сухим трением столь интересными.

Мы начинаем цикл «Динамика разрывных систем», он будет состоять из трёх частей. В первой части мы рассмотрим двухзвенную стержневую систему (т.е. состоящую из двух стержней) на шероховатой плоскости, нагруженную следящей силой, т.е. постоянной по модулю силой, которая составляет постоянный угол со вторым стержнем. Мы получим уравнения движения Лагранжа стержневой системы в двух постановках (вторая отличается от первой наличием дополнительных сил) и зададим структуру на множестве разрыва правых частей уравнений Лагранжа. Во втором параграфе первой части мы рассмотрим динамику пары ящиков, соединённых пружинами, на неподвижной ленте конвейера. Точнее говоря, мы построим зону залипания ящиков на ленте и немного поговорим о том, какой может быть их динамика.

Во второй части цикла мы развёрнуто представим математический аппарат систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями — теорию А.Ф. Филиппова. Здесь же мы рассмотрим пару ящиков, соединённых пружинами, на движущейся с постоянной скоростью ленте конвейера. Было несколько попыток решить эту задачу, но полного понимания динамики нет до сих пор. Последний штурм должен окончательно снять все вопросы, в частности, ответить на главный: есть ли хаос в этой системе или каждая траектория за конечное время оказывается на одном из предельных торов? Третья часть цикла будет закрытой (защищённой паролем), пока в одном журнале не выйдет статья о зоне залипания и динамике двухзвенной стержневой системы на шероховатой плоскости.

Рис. 1. Двухзвенная стержневая система на шероховатой плоскости

Итак, рассмотрим двухзвенную систему, находящуюся на неподвижной горизонтальной шероховатой плоскости. Система состоит из стержней AB и BC. Стержни имеют длину l и массу m . Стержни соединены идеальным шарниром B, стержень AB соединен идеальным шарниром A с неподвижной точкой (риc. 1). Стержни контактируют с плоскостью в точках B и С, в точках контакта действуют силы сухого трения Кулона с коэффициентом \mu . На конец стержня BC действует постоянная по модулю следящая сила \mathbf{F} , составляющая постоянный во времени угол \alpha со стержнем BC. Масса стрежней AB и ВС сосредоточена в точках B и С соответственно. Мы остановимся на следующих двух постановках.

  1. Других активных сил в системе нет: стержни соединены между собой идеальным шарниром, стержень AB соединён шарниром с неподвижной точкой A (постановка (i}).
  2. Кроме идеального шарнира, стержни в точке B соединены спиральной пружиной с коэффициентом жёсткости c и коэффициентом демпфирования b ; стержень AB по-прежнему соединён идеальным шарниром с неподвижной точкой A (постановка (ii)).

Спиральная пружина, соединяющая стержни AB и BC в постановке (ii), находится в недеформированном состоянии, если векторы \mathbf{AB} и \mathbf{BC} равны. Пружина удовлетворяют закону Р. Гука (для моментов). Движение системы в обеих постановках зависит от пяти  параметров: 1) массы стержней m ; 2) длины стержней l ; 3) коэффициента трения \mu ; 4) модуля следящей силы F и 5) угла \alpha . Движение системы в постановке (ii) зависит ещё от двух параметров: 6) жёсткости пружины c ; 7) коэффициента демпфирования пружины b . После приведения к безразмерному виду уравнений движения системы количество безразмерных параметров в постановке (i) равно трём, а в постановке (ii) — четырём (см. первый параграф).

1. Вывод и структура уравнений движения

Закон Кулона для силы сухого трения скольжения, действующей на точку контакта, которая движется относительно шероховатой плоскости со скоростью \mathbf{v} , имеет вид

\mathbf{F} = -\mu N \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|},

где \mu — коэффициент трения,  N — модуль силы реакции, действующей на точку со стороны плоскости. Поскольку массы стержней AB, BC сосредоточены в точках B, C, то сила реакции в этих точках постоянна и равна по модулю mg , где g — ускорение свободного падения. Тогда в точке контакта B приложена сила трения \mathbf{F}_B = -\mu mg \frac{\mathbf{v}_B}{|\mathbf{v}_B|} , действующая на первый стержень AB, где \mathbf{v}_B — скорость точки B относительно плоскости; в точке контакта C приложена сила \mathbf{F}_C = -\mu mg \frac{\mathbf{v}_C}{|\mathbf{v}_C|} , действующая на второй стержень BC, где \mathbf{v}_C — скорость точки C относительно плоскости.  Если точка B (точка C) покоится, то к ней приложены сила трения покоя, не превышающая по модулю силу трения скольжения: | \mathbf{F}_B^0| \leq \mu mg , | \mathbf{F}_C^0| \leq \mu mg . Однако, априорной информации о точных значениях модулей и направлениях сил трения покоя нет.

Получим уравнения движения системы при том условии, что в точках контакта приложены силы трения скольжения. Связи в системе геометрические, идеальные и стационарные, число степеней свободы равно двум, поэтому наиболее простой путь к уравнениям движения лежит через лагранжев формализм.

Введём обобщённые координаты: \varphi_1 — угол, который составляет \mathbf{AB} с неподвижной осью Ax , \varphi_2 — угол, который составляет \mathbf{BC} с неподвижной осью Ax . Кинетическая энергия системы T = \frac{1}{2} m v_B^2 + \frac{1}{2} m v_C^2 . Очевидно, V_B^2 = l^2 \dot{\varphi}_1^2 . Чтобы найти выражение для V_C^2 через обобщённые координаты и скорости, разложим \mathbf{V}_C в сумму относительной и переносной скоростей: \mathbf{v}_C= \mathbf{v}_B + \mathbf{v}_{C|B} . Имеем

v_C^2= v_B^2+ v_{C|B}^2 + 2 \mathbf{v}_{B} \cdot\mathbf{v}_{C|B} = l^2 \dot{\varphi}_1^2 + l^2 \dot{\varphi}_2^2+2 l^2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_1 \cos (\varphi_2-\varphi_1).

Тогда кинетическая энергия системы имеет вид

T = m l^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}_2^2+m l^2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_1 \cos (\varphi_2-\varphi_1).

В постановке (ii) в системе действуют моменты сил упругости и сил демпфирования в спиральной пружине. Соответствующие обобщённые силы в уравнениях Лагранжа проще всего найти через потенциальную энергии сил упругости \Pi = \Pi (\varphi_1,\varphi_2) и диссипативную функцию Релея сил демпфирования \Phi = \Phi (\dot{\varphi}_1,\dot{\varphi}_2) по формулам Q_j^{(e)} = -\frac{\partial \Pi}{\partial \varphi_j} , Q_j^{(d)} = -\frac{\partial \Phi}{\partial \dot{\varphi}_j} , j = 1,2 . В постановке (ii) потенциальная энергия и функция Релея имеют, соответственно, вид \Pi_{2} = \frac{1}{2} c (\varphi_2-\varphi_1)^2 , \Phi_{2} = \frac{1}{2} b (\dot{\varphi}_2-\dot{\varphi}_1)^2 . Для постановки (i) имеем \Pi_{1} = 0 , \Phi_{1} = 0 .

Найдём виртуальную работу следящей силы для независимых вариаций \delta \varphi_1 и \delta \varphi_2 обобщённых координат. Принимая во внимание, что \delta x_C = -l \sin \varphi_1 \cdot \delta \varphi_1-l \sin \varphi_2 \cdot \delta \varphi_2 , \delta y_C = l \cos \varphi_1 \cdot \delta \varphi_1 + l \cos \varphi_2 \cdot \delta \varphi_2 , имеем

\begin{aligned} & \delta A (\mathbf{F}) = F_x \delta x_C + F_y \delta y_C= -Fl ( \cos \alpha \cos \varphi_2 + \sin \alpha \sin \varphi_2 ) \\ & (-\sin \varphi_1 \cdot \delta \varphi_1-\sin \varphi_2 \cdot \delta \varphi_2)-Fl ( \cos \alpha \sin \varphi_2-\sin \alpha \cos \varphi_2 ) \\ & ( \cos \varphi_1 \cdot \delta \varphi_1 + \cos \varphi_2 \cdot \delta \varphi_2) = -Fl \sin (\varphi_2-\varphi_1-\alpha) \delta \varphi_1 + F l \sin \alpha \cdot \delta \varphi_2.\\ \end{aligned}

Тогда обобщённые силы, соответствующие следящей силе \mathbf{F} , имеют вид

Q_1^{(t)} = -Fl \sin(\varphi_2-\varphi_1-\alpha) , Q_2^{(t)} = Fl \sin \alpha .

Получим выражения для обобщённых сил трения скольжения, действующих в системе. Для силы \mathbf{F}_B всё просто: из выражения для виртуальной работы \delta A (\mathbf{F}_B) = \mathbf{F}_B \cdot \delta \mathbf{r}_B = -\delta \varphi_1 \mathrm{sign}(\dot{\varphi}_1) \mu mgl следует, что Q_{1B} = -\mu mgl \mathrm{sign}(\dot{\varphi}_1) , Q_{2B} = 0 . Цепочка преобразований даёт выражение для виртуальной работы силы \mathbf{F}_C :

\begin{aligned} & \delta A (\mathbf{F}_C) = -\mu mg \frac{\mathbf{v}_C \cdot \delta \mathbf{r}_C}{|\mathbf{v}_C|}= -\mu mg \frac{v_{Cx} \delta x_C +v_{Cy} \delta y_C }{\sqrt{l^2 \dot{\varphi}_1^2 + l^2 \dot{\varphi}_2^2+2 l^2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_1 \cos (\varphi_2-\varphi_1)}} =\\ & -\mu mgl \frac{\left( \dot{\varphi}_1 + \dot{\varphi}_2 \cos(\varphi_2-\varphi_1) \right) \delta \varphi_1+\left( \dot{\varphi}_2 + \dot{\varphi}_1 \cos(\varphi_2-\varphi_1) \right) \delta \varphi_2}{\sqrt{ \dot{\varphi}_1^2 + \dot{\varphi}_2^2+2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_1 \cos (\varphi_2-\varphi_1)}}. \end{aligned}

Отсюда обобщённые силы, соответствующие силе трения \mathbf{F}_C , имеют вид Q_{1C}= -\mu mgl \frac{ \dot{\varphi}_1 + \dot{\varphi}_2 \cos(\varphi_2-\varphi_1)}{\nu_C} , Q_{2C}= -\mu mgl \frac{ \dot{\varphi}_2 + \dot{\varphi}_1 \cos(\varphi_2-\varphi_1)}{\nu_C} , где \nu_C = \sqrt{ \dot{\varphi}_1^2 + \dot{\varphi}_2^2+2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_1 \cos (\varphi_2-\varphi_1)} . Итак, уравнения Лагранжа второго рода, описывающие такие движения системы, что в точках В и C приложены силы трения скольжения, имеют общий вид

\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot {\varphi}_j}\right)-\frac{\partial T}{\partial \varphi_j}= Q_{j}^{(t)} + Q_{jB} + Q_{jC}-\frac{\partial \Pi_k}{\partial \varphi_j}-\frac{\partial \Phi_k}{\partial \dot {\varphi}_j}, \quad j=1,2,\qquad (1.1)

где k=1,2 (постановка (i), (ii) соответственно).

Запишем развернуто уравнения Лагранжа (1.1). Пусть \psi = \varphi_2-\varphi_1 , \nu_C = \sqrt{ \dot{\varphi}_1^2 + \dot{\varphi}_2^2+2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_1 \cos \psi} . В первой постановке уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движения стержневой системы, имеют вид

\left\{ \begin{aligned} & 2 ml^2 \ddot{\varphi}_1 + ml^2 \ddot{\varphi}_2 \cos \psi-ml^2 \dot{\varphi}_2^2 \sin \psi =-Fl \sin(\psi-\alpha)-\\ & -\mu mgl \mathrm{sign}(\dot{\varphi}_1)-\mu mgl \frac{ \dot{\varphi}_1 + \dot{\varphi}_2 \cos \psi}{\nu_C} ,\\ & ml^2 \ddot{\varphi}_1 \cos \psi + ml^2 \ddot{\varphi}_2 + ml^2 \dot{\varphi}_1^2 \sin \psi =Fl \sin \alpha-\mu mgl \frac{ \dot{\varphi}_2 + \dot{\varphi}_1 \cos\psi }{\nu_C}.\\ \end{aligned} \right.\qquad (1.2)

В постановке (ii) уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движения стержневой системы, есть

\left\{ \begin{aligned} & 2 ml^2 \ddot{\varphi}_1 + ml^2 \ddot{\varphi}_2 \cos \psi-ml^2 \dot{\varphi}_2^2 \sin \psi =-Fl \sin(\psi-\alpha)-\\ & -\mu mgl \mathrm{sign}(\dot{\varphi}_1)-\mu mgl \frac{ \dot{\varphi}_1 + \dot{\varphi}_2 \cos \psi}{\nu_C}+ c \psi+ b \dot{\psi},\\ & ml^2 \ddot{\varphi}_1 \cos \psi + ml^2 \ddot{\varphi}_2 + ml^2 \dot{\varphi}_1^2 \sin \psi =Fl \sin \alpha-\\ & -\mu mgl \frac{ \dot{\varphi}_2 + \dot{\varphi}_1 \cos \psi}{\nu_C}-c \psi-b \dot{\psi}.\\ \end{aligned} \right.\qquad (1.3)

Приведём уравнения движения, соответствующие постановке (i), к безразмерному виду. Сначала разделим уравнения (1.2) на ml^2 . Следующий шаг зависит от того, равны нулю или не равны следящая сила \mathbf{F} и/или коэффициент трения \mu . Рассмотрим четыре случая с краткой характеристикой каждого из них. Напомним, что \psi = \varphi_2-\varphi_1 .

  1. F=0 и \mu = 0 . Имеем свободное движение двухзвенное стержневой системы. Фазовый поток суть геодезический поток на двумерном торе \mathbb{T}^2 относительно метрики, задаваемой кинетической энергией. Кроме того, система интегрируема по Лиувиллю (дополнительный интеграл в инволюции с кинетической энергией — кинетический момент системы).
  2. F \ne 0 и \mu = 0 . Вводим характерный масштаб времени T_2 = \sqrt{ml F^{-1}} . Тогда безразмерные уравнения движения имеют вид

\left\{ \begin{aligned} & 2 \varphi''_1 + \varphi''_2 \cos \psi - (\varphi'_2)^2 \sin \psi =-\sin(\psi - \alpha),\\ & \varphi''_1 \cos \psi + \varphi''_2 + (\varphi'_1)^2 \sin \psi = \sin \alpha,\\ \end{aligned} \right.

где штрихом (двумя штрихами) обозначена первая (вторая) производная по безразмерному времени \tau = \frac{t}{T_2} . Мы не будем изучать движение системы в этом случае. Отметим только, что система допускает положения равновесия тогда и только тогда, когда \sin \alpha= 0 , то есть \alpha= 0 или \alpha= \pi (следящая сила действует вдоль стержня BC). На конфигурационном торе линии положений равновесия описывается уравнениями \varphi_1-\varphi_2 \equiv 0\, (\mathrm{mod}\, 2 \pi) , \varphi_1-\varphi_2 \equiv \pi \, (\mathrm{mod}\, 2 \pi) . Геометрически они представляют собой замкнутые кривые на торе, принадлежащим разным гомотопическим (и гомологическим) классам.

  1. F = 0 и \mu \ne 0 . Вводим характерное время T_{3} = \sqrt{l \mu^{-1} g^{-1}} . Тогда безразмерные уравнения движения есть

\left\{ \begin{aligned} & 2 \varphi''_1 + \varphi''_2 \cos \psi - (\varphi'_2)^2 \sin \psi = - \mathrm{sign}(\varphi'_1)- \frac{ \varphi'_1 + \varphi'_2 \cos \psi}{\nu},\\ & \varphi''_1 \cos \psi + \varphi''_2 + (\varphi'_1)^2 \sin \psi = -\frac{ \varphi'_2 + \varphi'_1 \cos\psi }{\nu}.\\ \end{aligned} \right. \qquad (1.4)

Штрихом (двойным штрихом) обозначена первая (вторая) производная по безразмерному времени \tau = \frac{t}{T_3} , \nu = \sqrt{ (\varphi'_1)^2 + (\varphi'_2)^2+2 \varphi'_1 \varphi'_2 \cos \psi} . В этом случае единственные активные горизонтальные силы, действующие на стержни — силы трения. Можно предположить, что за конечное время, зависящее от начальных условий, система останавливается, иначе говоря, «сваливается» в так называемую зону залипания, что и будет доказано в третьей части цикла. Движения стержневой системы в этом случае будут исследованы досконально.

  1. F \ne 0 и \mu \ne 0 . Можно было взять за характерный масштаб времени T_2 = \sqrt{ml F^{-1}} или T_{3} = \sqrt{l \mu^{-1} g^{-1}} , однако однозначный выбор одного из этих масштабов ограничивает асимптотические методы. Например, выбор масштаба T_2 (следящая сила есть величина порядка 1) влечёт необходимость считать коэффициент трения малым. Мы поступим более гибким образом, взяв независимый масштаб времени T_0. Введём два безразмерных параметра \gamma= \frac {F T_0^2}{ml} (параметр следящей силы) и \delta = \frac {\mu g T_0^2}{l} (параметр трения). Тогда безразмерные уравнения движения имеют вид

\left\{ \begin{aligned} & 2 \varphi''_1 + \varphi''_2 \cos \psi - (\varphi'_2)^2 \sin \psi =-\gamma \sin(\psi - \alpha) -\delta \mathrm{sign}(\varphi'_1 )-\delta \frac{ \varphi'_1 + \varphi'_2 \cos \psi}{\nu} ,\\ & \varphi''_1 \cos \psi + \varphi''_2 + (\varphi'_1)^2 \sin \psi = \gamma\sin \alpha-\delta \frac{ \varphi'_2 + \varphi'_1 \cos \psi }{\nu},\\ \end{aligned} \right. \, (1.5)

где штрихом (двойным штрихом) обозначена первая (вторая) производная по безразмерному времени \tau = \frac{t}{T_0} , \nu =\sqrt{ (\varphi'_1)^2 + (\varphi'_2)^2+2 \varphi'_1 \varphi'_2 \cos \psi} .  Отметим, что система (1.4) есть частный случай системы (1.5) при \gamma= 0 , \delta= 1 , T_0=T_2 . Хотя приведение к безразмерному виду уравнений (1.2) принципиально приводит к двум безразмерным параметрам, по вышеуказанным причинам в системе (1.5) мы имеем три безразмерных параметра: \gamma , \alpha и \delta . Дополнительные технические сложности, как мы увидим в следующих постах цикла, это не создаёт.

Для системы уравнений (1.3) процедура приведения к безразмерному виду следующая. Рассмотрим характерный масштаб времени T_* = \sqrt{ml^2 c^{-1}} , безразмерное время \tau = \frac{t}{T_*} и введём три безразмерных параметра: \gamma= \frac {F l}{c} (параметр следящей силы), \delta= \frac {\mu m g l}{c} (параметр трения), \beta = \frac{b}{l \sqrt{mc}} (параметр демпфирования). Тогда безразмерная форма уравнений (1.3) есть

\left\{ \begin{aligned} & 2 \varphi''_1 + \varphi''_2 \cos \psi - (\varphi'_2)^2 \sin \psi =-\gamma \sin(\psi - \alpha) -\delta \, \mathrm{sign}(\varphi'_1)- \delta \frac{ \varphi'_1 + \varphi'_2 \cos \psi}{\nu}+ \psi+ \beta \psi',\\ & \varphi''_1 \cos \psi + \varphi''_2 + (\varphi'_1)^2 \sin \psi=\gamma \sin \alpha - \delta \frac{ \varphi'_2 + \varphi'_1 \cos \psi}{\nu}- \psi - \beta \psi';\\ \end{aligned} \right. \, (1.6)

штрихом (двойным) штрихом обозначена первая (вторая) производная по введённому безразмерному времени.

Системы уравнений движения (1.4)—(1.6) имеют разрывные правые части из-за присутствия сил сухого трения Кулона в системе. Очевидно, множества разрыва в фазовом пространстве уравнений (1.4) и (1.5) совпадают. Построим множество разрыва, отвечающее постановке (i), снабдив его структурой стратифицированного многообразия.

Определение. Пусть X — топологическое пространство. Задать на M \subset X структуру стратифицированного многообразия — это указать такое представление M = M_0 \sqcup M_1 \sqcup \ldots \sqcup M_d , где M_k — гладкие многообразия размерности k (не обязательно связные, некоторые из них могут быть пустыми), такие, что для всех k = 0,\ldots,d \overline{M}_k = M_0 \sqcup \ldots \sqcup M_k (замыкание в пространстве X ).

Очевидно, множество в фазовом пространстве, представляющем собой пространство касательного расслоения двумерного тора \mathbb{T}^2 , где правые части уравнений (1.4) или (1.5) терпят разрыв первого рода, определяются соотношениями \left\{ \varphi'_1=0 \right\} , \left\{ \cos \psi=-1,\, \varphi'_1=\varphi'_2 \right\} или \left\{ \cos \psi=1,\, \varphi'_1=-\varphi'_2 \right\} . Имеем M_1 = \left\{ \varphi'_1=0,\, \varphi'_2=0,\, \cos \psi = 1 \right\} \sqcup \left\{ \varphi'_1=0,\, \varphi'_2=0,\, \cos \psi = -1 \right\} — одномерная страта,

\begin{aligned} & M_2 = \left\{ \varphi'_1=0,\, \varphi'_2=0,\, -1<\cos \psi <1 \right\}\sqcup \\ & \sqcup \left\{ \varphi'_1=\varphi'_2 \ne 0,\, \cos \psi =-1\right\} \sqcup \left\{ \varphi'_1=\varphi'_2 \ne 0,\, \cos \psi=1\right\} \\ \end{aligned}

— двумерная страта, M_3 = \left\{ \varphi'_1 =0,\, \varphi'_2 \ne 0 \right\} \sqcup \left\{ \varphi'_1=\varphi'_2 \ne 0,\, -1<\cos \psi < 1\right\} — трёхмерная страта. Заметим, что на связной компоненте \left\{ \varphi'_1=\varphi'_2 \ne 0,\, -1<\cos \psi < 1\right\} страты M_3 уравнения (1.4) и (1.5) не имеют разрыва, но без этой компоненты \overline{M}_3 \ne M_1 \sqcup M_2 . Зона залипания стержневой системы принадлежит страте M_1 и компоненте \left\{ \varphi'_1=0,\, \varphi'_2=0,\, -1<\cos \psi <1 \right\} страты M_2 . Компоненте \left\{ \varphi'_1 =0,\, \varphi'_2 \ne 0 \right\} страты M_3 принадлежит зона залипания первого стержня — режим движения, когда стержень AB покоится, в точке B приложена сила трения покоя, а стержень BC движется.

Страты многообразия разрыва уравнений (1.6), описывающих движение стержневой системы в постановке (ii), задаются аналогичными соотношениями, однако фазовое пространство у системы (1.6) другое — пространство касательного расслоения цилиндра \mathbb{T} \times \mathbb{R} , поскольку стержни AB и BC соединены спиральной пружиной и больше нет инвариантных преобразований \varphi_1 \mapsto \varphi_1+2\pi , \varphi_2 \mapsto \varphi_2+2\pi , как в постановке (i).

2. Ящики на неподвижной ленте конвейера

Отложим разбор зоны залипания двухзвенной стержневой системы на шероховатой плоскости до третьей части цикла (которая, однако, будет некоторое время под замком, пока не выйдет статья в научном журнале), а эту часть завершим анализом динамики системы более простой, но ничуть не скучной — ящикам на ленте остановившегося конвейера.  Мы полностью опишем зону залипания двух ящиков (здесь это будет сделать гораздо проще) и попробуем представить будущее нашей системы при любых начальных условиях (динамика в прошлом в системах с сухим трением не определена).

Два алюминиевых ящика одинаковой массы m находятся на покоящейся стальной ленте конвейера. Между ящиками и лентой действуют силы сухого трения Кулона с коэффициентом \mu .

Будем считать ящики практически  материальными точками, чтобы не учитывать эпюры напряжений между ними и лентой. Кроме того, ящики соединены пружинами длинами   l_1 (левая) и   l_2 (правая), с одинаковой жесткостью c на сжатие и расширение, но не будем позволять им сжиматься или растягиваться слишком сильно, чтобы не нарушался закон Гука. Другими словами, у нас будет некоторая допустимая область в конфигурационной пространстве, включающая зону залипания.

Задача имеет очевидное усложнение (лента конвейера движется с постоянной скоростью, например, вправо) и два очевидных упрощения: 1) \mu=0 , т.е. сухое трение отсутствует; 2) сухое трение есть, но нет второго (правого) ящика. Первое упрощение — это стандартная студенческая задача по теме «Линейные колебания».

Пусть x_1 — координата левого ящика, x_2 — координата правого ящика, T = \frac{m}{2} \left( \dot{x}_1^2 + \dot{x}_2^2 \right) — кинетическая энергия,

\Pi = \frac{c}{2} \left( l_1 - x_1 \right)^2 + \frac{c}{2} \left( l_2 - x_2 + x_1 \right)^2 — потенциальная энергия.

Уравнения Лагранжа имеют вид

\left\{ \begin{aligned} & m \ddot{x}_1 + c (l_1 - x_1) - c (l_2 - x_2 +x_1) =0, \\ & m \ddot{x}_2 + c (l_2 - x_2 + x_1) =0.\\ \end{aligned} \right. \,\,\, (2.1)

Единственное положение равновесия системы (2.1) есть  x_1^{*} =l_1 , x_2^{*} = l_1 + l_2. Рассмотрим возмущения x_1 = x_1^{*} + \xi_1, x_2 = x_2^{*} + \xi_2 и запишем уравнения возмущённого движения

\left\{ \begin{aligned} & m \ddot{\xi}_1 + 2c \xi_1 - c_2 \xi_2 =0, \\ & m \ddot{\xi}_2 -c \xi_1 + c \xi_2. \\ \end{aligned} \right. \,\,\, (2.2)

Имеем M = \left( \begin{matrix} m & 0 \\ 0 & m \\ \end{matrix} \right) — кинетическая матрица, C = \left( \begin{matrix} 2c & -c \\ -c & c \\ \end{matrix} \right) — матрица жёсткости. Уравнение частот \det \left( -\omega^2 M + C \right) = 0 или m^2 \omega^4 - 3 m c \omega^2 +c^2=0 имеет два корня

\omega_1 = \left( \frac{3c - \sqrt{5} c}{m} \right)^{1/2} , \omega_2 = \left( \frac{3c + \sqrt{5} c}{m} \right)^{1/2} .

Легко видеть, что резонанс (целочисленное соотношение между \omega_1 и \omega_2 ) невозможен. Почти всё фазовое пространство системы (2.2) расслоено на двумерные инвариантные торы. Движение на каждом торе условно периодическое: каждая траектория всюду плотно обматывает тор и верна теорема Германа Вейля (она же следствие теоремы Биркгофа—Хинчина). Лаконично она формулируется так: пространственное среднее равно временному среднему. А именно, пусть \mathbb{T} — соответствующий инвариантный тор, f \in L_{1}(\mathbb{T}) — интегрируемая функция, тогда

\lim \limits_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f\left( \varphi_1(t), \varphi_2(t) \right)dt = \frac{1}{|\mathbb{T}|} \int_{\mathbb{T}} f(\varphi) d \varphi.\,\,\, (2.3)

Здесь слева стоит временное среднее, справа — пространственное среднее, \varphi_1 , \varphi_2 — фазы колебаний (они же координаты на торе), d \varphi — мера Хаара на \mathbb{T} , инвариантная для потока, |\mathbb{T}| — мера всего тора. В частности, если f — характеристическая функция измеримого подмножества M \subset \mathbb{T} , то теорема Вейля означает следующее: если  |\mathbb{T}|=1 , то предельная доля времени, в течение которого изображающая точка находится на множестве M , равна мере этого множества.

Технически функции \varphi_1 = \varphi_1(t), \varphi_2 = \varphi_2(t) получаются следующим образом: от системы (2.2) нужно перейти к системе вида

\left\{ \begin{aligned} & \dot{\rho}_1=0,\, \dot{\rho}_2 =0, \\ & \dot{\varphi}_1=\omega_1,\, \dot{\varphi}_2 = \omega_2. \\ \end{aligned}\right.\,\,\, (2.4)

Расскажем, как это сделать. По теореме о приведении пары квадратичных форм — положительно определённой и произвольной — существует линейное преобразование, приводящее первую форму к каноническому виду, а вторую — к диагональному виду. Данное линейное преобразование будет ортогональным относительно скалярного произведения, задаваемого положительно определённой формой. Эта теорема даёт возможность сделать замену \xi = S \eta и преобразовать уравнение M \ddot{\xi} + C \xi=0 к виду \ddot{\eta}+ \Lambda \eta =0 , где \Lambda = \mathrm{diag} \left\{ \omega_1^2, \omega_2^2 \right\}. Более того, преобразующая матрица S конформна (пропорциональна собственной ортогональной матрице) благодаря устройству матрицы M . Координаты \eta в конфигурационном пространстве называются нормальными.

Для получения системы (2.4) остаётся сделать преобразование

\eta= \rho_1 \vec{e}_1 \cos \varphi_1 + \rho_2 \vec{e}_2 \cos \varphi_2, \dot{\eta}= -\omega_1 \rho_1 \vec{e}_1 \sin \varphi_1 -\omega_2 \rho_2 \vec{e}_2 \sin \varphi_2,

где \vec{e}_{1}, \vec{e}_{2} — орты конфигурационного пространства. Решение системы (2.4) имеет вид  \rho_1=\rho_{10} , \rho_2=\rho_{20}, \varphi_{1}(t) = \omega_1 t + \varphi_{10}\, (\mathrm{mod}\, 2 \pi ), \varphi_{2}(t) = \omega_2 t + \varphi_{20}\, (\mathrm{mod}\, 2 \pi ). От начальных фаз \varphi_{10}, \varphi_{20} средние в формуле (2.3) не зависят. Каждый тор однозначно определяется числами \rho_{10}>0 , \rho_{20}>0. Какая часть фазового пространства не расслоена инвариантными торами? Конечно, это тривиальное положение равновесия \rho_{10}=\rho_{20}=0 (или в старых координатах \xi=0 , \dot{\xi}=0), а также инвариантные плоскости \rho_{10}=0 и \rho_{20}=0 , расслоенные на циклы (двумерные торы там вырождаются до одномерных). Эти циклы называют главными колебаниями: для циклов \rho_{10}=0   гармонические колебания происходят с частотой \omega_2 , для циклов \rho_{20}=0 — с частотой \omega_1 .

Задание. Найти главные колебания в нормальных координатах и координатах \xi .

Доказательство транзитивности (траектории всюду плотно обматывают нерезонансный тор) и теоремы Вейля можно найти во многих учебниках и монографиях по теории колебаний и динамических системам, мы не будем давать конкретных ссылок, оставив читателю возможность сделать самостоятельный поиск. Рассмотрим теперь второе упрощение задачи, когда нет второго (правого) ящика, но на первый действует сила трения Кулона. Пусть x_1 — координата первого ящика; горизонтальные силы (в проекциях на ось Ox), действующие на ящик: сила упругости c \left( l_1 - x_1 \right) и сила трения скольжения -\mu m g \mathrm{sign} \, \dot{x}_1 . Уравнение Ньютона имеет вид m \ddot{x}_1 = c (l-x) - \mu mg \mathrm{sign}\, \dot{x}_1 . Естественное (но не единственное) положение равновесия есть x_1^{*} =l_1 . Введём возмущение x_1=x_1^*+\xi и запишем уравнения возмущённого движения:

m \ddot{\xi} = -c\xi -\mu mg \mathrm{sign}\, \dot{\xi}.

Удобно перейти к новому времени \tau = \omega t , где \omega = \sqrt{c/m} . Преобразованное уравнение:

\xi'' = -\xi -\delta \mathrm{sign}\, \xi',\,\,\, (2.5)

где \delta = \frac{\mu g}{\omega^2}, штрих — первая производная по \tau , двойной штрих — вторая. Уравнение (2.5) имеет разрыв по линии \xi'=0. Найдём зону залипания ящика — множество, принадлежащее линии разрыва, где на ящик действует сила трения покоя. У нас нет априорной информации о направлении силы трения покоя \mathbf{F}^{0} , а про её модуль известно только то, что он не превышает силу трения скольжения: |F_{x}^{0}| \leqslant \delta .

Остановим на зоне залипания подробнее. Более точное определение: зона залипания — состояние, когда на тела системы (или на часть тел системы — тогда говорят о частичной зоне залипания) со стороны контактных поверхностей действуют силы трения покоя. Т.е. тела прилипают к поверхностям и движутся вместе с ними за счёт сил трения покоя. Следует отличать зону залипания от множества положений равновесия, хотя положение равновесия, созданное при участии сил трения покоя, принадлежит зоне залипания. Пример: ящик, прилипший к подвижной ленте конвейера, не находится в абсолютном равновесии. Тело может быть в зоне залипания некоторое конечное время, может возвращаться в неё (см. вторую часть цикла). Построение зоны залипания может потребовать статического разрешения, так как силы трения покоя и силы реакций не имеют явных формул (см. третью часть цикла, когда она станет доступной). С точки зрения теории Филиппова, зоне залипания отвечают скользящие режимы либо положения равновесия на  стратифицированном многообразии разрыва.

Очевидно, что вся зона залипания системы (2.5) состоит из положений равновесия,  поэтому определяется из уравнения 0 = -\xi -F_{x}^{0} , откуда |\xi| = \left| F_{x}^{0} \right| \leqslant \delta. Следовательно, зона залипания представляет собой отрезок [-\delta,\delta] на линии разрыва \xi'=0 .

Уравнение (2.5) легко решить, если сделать предположение о знаке \xi'. При \xi'>0 общее решение имеет вид \xi_{+}(\tau) = C_{1}^{+} \cos \tau + C_{2}^{+} \sin \tau - \delta, а при \xi'<0 — \xi_{-}(\tau) = C_{1}^{-} \cos \tau + C_{2}^{-} \sin \tau + \delta .  Но как может выглядеть траектория уравнения (2.5) на фазовой плоскости (\xi, \xi') ? Пусть начальная точка такова, что \xi'(0)>0, а соответствующее решение имеет вид \xi_{+0}(\tau) = C \sin \tau - \delta с достаточно большим C по сравнению с \delta . Тогда изображающая точка достигнет линии разрыва за время \tau_1 — наименьший положительный корень уравнения \xi'_{+0}(\tau_1) =C \cos \tau_1=0, т.е. \tau_1=\frac{\pi}{2} .

Если C - \delta \notin [-\delta,\delta] , т.е. точка на линии разрыва не принадлежит зоне залипания, то ‘включается’ нижняя полуплоскость. Согласно теории Филиппова, решение должно быть непрерывным, поэтому следующая часть траектории будет задавать функция \xi_{-1}(\tau) = \left( C - 2 \delta \right) \cos \left( \tau- \frac{\pi}{2} \right) + \delta. Мы пройдём второй участок за время \Delta \tau = \pi , как и каждый последующий участок, пока траектория не закончится положением равновесия в зоне залипания (см. рис. справа).

Задание. Найти: 1) количество нижних и верхних участков траектории до достижения зоны залипания в зависимости от C; 2) формулу решения для каждого участка; 3) зависимость от C точки в зоне залипания.

Посмотрим на траектории, которые заканчиваются крайними точками зоны залипания. Они делят плоскость на две спиралевидные области, закрученные по часовой стрелке к зоне залипания (рис. 2). Все остальные траектории принадлежат одной из этих двух областей.  Но интересней здесь другой объект: отображение Пуанкаре на линии разрыва \xi'=0 .

Рис. 2. Разбиение фазовой плоскости на две спиралевидные области.

Так называется отображение первого возвращения траектории. Зона залипания состоит из неподвижных точек отображения Пуанкаре. Несложно записать явную формулу для него (упражнение), однако полезнее будет рассмотреть другую конструкцию.  Разобьём линию разрыва на отрезки вида  \Delta_k=\left[ (2k-1) \delta,(2k+1) \delta \right] , k \in \mathbb{Z} . Тогда любой \Delta_k , k \ne 0 , отображается в другой отрезок \Delta_j и т.д., пока всё не закончится на \Delta_0 — зоне залипания. На рис. 3 показана часть бесконечного графа отображения Пуанкаре.

Рис. 3. Граф отображения Пуанкаре на линии разрыва \xi'=0.

Работаем, наконец, с основной задачей. Тривиальное (но не единственное) положение равновесия имеет вид x_1^{*} =l_1 , x_2^{*} = l_1 + l_2 . Введём возмущения x_1 = x_1^{*} + \xi_1 , x_2 = x_2^{*} + \xi_2 и запишем уравнения возмущённого движения:

\left\{ \begin{aligned} & m \ddot{\xi}_1 = -2c \xi_1 +c \xi_2-\mu mg\, \mathrm{sign} \, \dot{\xi}_{1}, \\ & m \ddot{\xi}_2 =c \xi_1-c \xi_2 -\mu mg\, \mathrm{sign} \, \dot{\xi}_{2}. \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (2.6)

Многообразие разрыва состоит из двумерной страты M_2 = \left\{ \xi'_1=0,\, \xi'_2=0 \right\} и трёхмерной M_3= \left\{ \xi'_1=0,\, \xi'_2 \ne 0 \right\} \sqcup \left\{ \xi'_2=0,\, \xi'_1 \ne 0 \right\} . Найдём зону залипания обоих ящиков, полностью состоящую из положений равновесия. Пусть F_{1x}^{0} ( F_{2x}^{0} ) — проекция силы трения покоя, действующей на первый (второй) ящик в зоне залипания. Их можно найти, решив систему

\left\{ \begin{aligned} & -2c \xi_1 +c \xi_2+F_{1x}^{0}=0, \\ & c \xi_1-c \xi_2 +F_{2x}^{0}. \\ \end{aligned} \right.

Имеем F_{1x}^{0}=2c \xi_1 - c \xi_2 , F_{2x}^{0}=-c \xi_1 + c \xi_2 . Из условий на модули сил трения покоя \left| F_{1x}^{0} \right| \leqslant \mu mg , \left| F_{2x}^{0} \right| \leqslant \mu mg получим неравенства, задающие зону залипания:

\left\{ \begin{aligned} & -\delta \leqslant 2 \xi_1 - \xi_2 \leqslant \delta, \\ & -\delta \leqslant -\xi_1+ \xi_2 \leqslant \delta, \\ \end{aligned} \right.

где \delta = \frac{\mu m g }{c} . Зона залипания ящиков представляет собой область, ограниченную параллелограммом (на рис. 4 отмечен красным).

Можно рассмотреть множество траекторий в фазовом пространстве системы (2.6), которые заканчиваются граничными точками зоны залипания. Однако данное двумерное инвариантное многообразие S не будет делить четырёхмерное фазовое пространство системы на области.

Рис. 4. Зона залипания ящиков, принадлежащая страте M_2 многообразия разрыва ( \delta=1 ).

Из физических соображений ясно, что каждая траектория завершается точкой в зоне залипания (докажите это самостоятельно, рассмотрев полную производную по времени функции E= T+\Pi). Можно ли построить отображение Пуанкаре по аналогии с уравнением (2.5)? Да, если взять всё многообразие разрыва. Легко предположить, что типичная траектория несколько раз пересечёт страту M_3 , затем один из ящиков остановится, и остаток траектории будет лежать в компоненте связности страты M_3 . Например, если остановится первый ящик, то остаток траектории будет лежать в компоненте \left\{ \xi'_1=0,\, \xi'_2 \ne 0 \right\} . Здесь траектория несколько раз пересечёт страту M_2 и закончится в точке зоны залипания. Инвариантное многообразие S , введённое выше, разделит компоненту страты M_3 на две области: в первой области траектории притягиваются к зоне залипания, во второй — трансверсальны. Во втором посте цикла «Динамика разрывных систем» мы построим отображение Пуанкаре системы ящиков на движущейся ленте конвейера, руководствуясь описанной схемой.

Опубликовано Alexander Baikov

Добавить комментарий