Книга по УЧП: глава 8 ‘Уравнения первого порядка’, пар. 8.1, 8.2

by Опубликовано

Первый раз за тринадцать лет я реформировал программу курса «Уравнения в частных производных»! Эти изменения отразились в том числе на позиции темы «Уравнения первого порядка»: если раньше она было во второй, «эволюционной» части курса, то теперь курс с неё начинается. Некоторые авторы не считают уравнения первого порядка неотъемлемой частью курса и не включают в свои учебники. Другие идут ещё дальше, включая эту тему в курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Я, как вы уже поняли, придерживаюсь противоположной точки зрения. На материале уравнений первого порядка можно рассказать о таких концепциях в теории УЧП, как обобщённые (слабые) решения и априорные оценки, рассмотреть (что бывает редко в стандартном университетском курсе) нелинейные уравнения. В этом посте представлены пар. 8.1, 8.2 главы «Уравнения первого порядка» моей книги, хотя её очередь ещё не подошла. Я больше не буду соблюдать естественный порядок, отдавая предпочтения тем параграфам и главам, что уже написаны (ждите скоро пар. 6.1-6.3 главы «Эллиптические операторы второго порядка»), особенно если они посвящены горячим темам.

Я учил уравнения первого порядка по статьям О.А. Олейник, С.Н. Кружкова и других авторов, а также по замечательной книжке А.Ю. Горицкого, С.Н. Кружкова и Г.А. Чечкина «Уравнения с частными производными первого порядка». Теория уравнений первого порядка сравнительно проста благодаря мощному методу характеристик. Его принципы изложены в пар. 8.1. В следующих параграфах восьмой главы методом характеристик сооружаются решения задач Коши для линейных, квазилинейных и нелинейных уравнений первого порядка (в случае линейных уравнений этот метод также поставляет априорную оценку решения). Существование и основные свойства характеристик гарантирует пул теорем теории ОДУ: теорема Пикара-Линделёфа, теорема о продолжении решения, теорема о зависимости решения от начальных условий и прочие (см. теорему 8.1, в которой собрано несколько утверждений из теории ОДУ). Они есть во многих учебниках, например, в великом Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон, «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений», и много где ещё.

Опишем структуру двух параграфов, публикуемых в этом посте. В пар. 8.1 введена иерархия уравнений первого порядка и рассмотрены популярные примеры. Для каждого иерархического уровня записана и обоснована система характеристик, описана её связь с уравнением, изложены принципы метода характеристик. Во втором параграфе обсуждаются три постановки задачи Коши, актуальные и для следующей главы 9 «Задача Коши»: локальная, глобальная и максимальная. Задача для линейного уравнения решена в максимальной постановке, причём область существования единственного решения состоит из непродолжаемых характеристик. Однако, физикам интересна прежде всего глобальная постановка задача Коши, когда решение нужно найти в заранее фиксированной области — обычно это слой пространства-времени \mathbb{R}^n \times (0,T) , если речь идёт об эволюционном уравнении

\frac{\partial u}{\partial t} = -a_1(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots+a_n(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_n} -b(x,t) u + f(x,t). \,\,\, (0.1)

Максимальная область может отличаться от слоя пространства-времени. Вместо того, чтобы накладывать условия на старшие коэффициенты a_1,\ldots,a_n, гарантирующие включение слоя пространства-времени в максимальную область, изменим сеттинг: дополним задачу Коши периодическими условиями u\left( x+e_k,t \right) \equiv u(x,t) , k=1,\ldots,n , где e_k — k-ый координатный орт. Разумеется, коэффициенты, функция f , начальная функция тоже полагаются периодическими. По сути, пространственные переменные x более не принадлежат \mathbb{R}^n или области евклидового пространства, но принадлежат тору \mathbb{T}^n , который локально устроен как \mathbb{R}^n . Говоря формально, на торе \mathbb{T}^n задана так называемая плоская структура. Завершим пар. 8.2 теоремой о корректности (в классе классических пространств) глобальной задачи Коши для линейного эволюционного уравнения (0.1) в слое \mathbb{T}^n \times (0,T) .

NB: я не успел закончить доказательства теорем 8.2 и 8.3, они будут приведены позже.

8.1. Иерархия и примеры уравнений первого порядка. Системы характеристик

Говорить о классификация уравнений в частных производных первого порядка в том же смысле, что для полулинейных уравнений второго порядка в первой главе, нельзя, но возможно говорить об иерархии. Несомненно, линейные уравнения проще нелинейных. Среди линейных уравнений первого порядка особенно выделяются уравнения специального вида

a_{1}(x) \frac{\partial u}{\partial x_1} + \ldots + a_{n}(x) \frac{\partial u}{\partial x_n}=0.\,\,\, (8.1)

Здесь и далее x=(x_1,\ldots,x_n)^{\top} \in \mathbb{R}^n — вектор независимых переменных, u=u(x_1,\ldots,x_n) — неизвестная функция, a_1, \ldots,a_n — известные старшие коэффициенты, определённые в некоторой области \Omega n -мерного евклидового пространства \mathbb{R}^n . Уравнение (8.1) — важный частный случай общего линейного уравнения первого порядка

a_{1}(x) \frac{\partial u}{\partial x_1} + \ldots + a_{n}(x) \frac{\partial u}{\partial x_n}=-b(x) u + f(x).\,\,\, (8.2)

В уравнении (8.2) функция b — известный младший коэффициент (младший член мы будем записать справа), f — известная функция (правая часть линейного уравнения). При f \equiv 0 уравнение (8.2) называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Квазилинейное уравнение первого порядка имеет вид

a_{1}(x,u) \frac{\partial u}{\partial x_1} + \ldots + a_{n}(x,u) \frac{\partial u}{\partial x_n}=f(x,u).\,\,\, (8.3)

Ясно, что уравнение (8.2) получается из уравнения (8.3), когда коэффициенты a_1,\ldots,a_n не зависят от u , а правая часть f зависит от u линейно. Будем всегда считать, что известные функции a_1,\ldots,a_n,f в уравнении (8.3) определены в области вида \Omega \times \mathbb{R} , где \Omega \subset \mathbb{R}^n — произвольная область изменения независимых переменных x_1,\ldots, x_n .

В уравнении Гамильтона-Якоби

\frac{\partial u}{\partial t} +H\left( \frac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_{n}}, x_{1},\ldots,x_{n},t \right)=0\,\,\, (8.4)

одна из независимых переменных выделена — это переменная t , время. Уравнение (8.4) разрешено относительно производной неизвестной функции u = u\left( x_1, \ldots, x_n, t \right) по времени. Мы не стали выделять время в уравнениях (8.1)—(8.3) и разрешать их относительно u_t , но в следующих параграфах сделаем это. В физике уравнения первого порядка имеют, как правило, эволюционный характер.

В классической механике неизвестная функция в уравнении Гамильтона—Якоби обозначается через S и называется действием. Известная функция H = H \left( p_1, \ldots, p_n, x_1,\ldots,x_{n},t \right) , зависящая от (2n+1) -й переменной, называется гамильтонианом или функцией Гамильтона. Применение уравнения (8.4) для решения канонических (гамильтоновых) систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрим в четвёртом параграфе настоящей главы.

Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид

F \left( \frac{\partial u}{\partial x_{1}},\ldots,\frac{\partial u}{\partial x_{n}}, u,x_1,\ldots,x_n \right)=0. \,\,\, (8.5)

Если известная функция F= F \left( p_1,\ldots, p_n, u, x_1,\ldots,x_n \right) линейна по переменным p_1,\ldots, p_n , то (8.5) — квазилинейное или даже линейное уравнение, иначе оно существенно нелинейное. Уравнение Гамильтона-Якоби есть частный случай общего уравнения первого порядка (8.5) не только из-за того, что первое разрешено относительно одной из производной (это как раз не так важно, потому что можно рассматривать стационарные решения уравнения (8.4)). Главная определяющая особенность уравнения (8.4) — отсутствие явной зависимости от неизвестной функции u , которая, вообще говоря, имеет место в уравнении (8.5). Наконец, будем работать с вариантом общего уравнения (8.5), когда оно разрешено относительно одной из производной:

\frac{\partial u}{\partial t} = f \left( \frac{\partial u}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial u}{\partial x_n},u, x_1,\ldots,x_n t \right).\,\,\, (8.6)

Уравнение (8.6) будем называть общим уравнением первого порядка в эволюционной форме. В нём неизвестная функция u=u \left( x_1,\ldots,x_n,t \right) зависит от (n+1)-ой переменной, последняя из которых — время t , известная функция f = f \left( p_1,\ldots,p_n,u, x_1,\ldots,x_n,t \right) зависит от (2n+2) -х вещественных переменных. Относительно уравнения (8.6) в пар. 8.3 будет сформулирована и доказана весьма общая теорема о локальной разрешимости задачи Коши. Приведём несколько примеров уравнений первого порядка.

Пример 8.1. Одномерное (по числу пространственных переменных) уравнение неразрывности на прямой, имеющее вид

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x} \left( v(x,t) \rho \right) =0,\,\,\, (8.7)

в дифференциальной форме выражает закон сохранения некоторой скалярной величины (массы, электрического заряда и проч.). Здесь \rho = \rho(x,t) — неизвестная функция (плотность), v=v(x,t) — известная функция (проекция скорости сплошной среды на ось Ox ). Выведем уравнение (8.7), полагая \rho неизвестной (одномерной) плотностью массы сплошной среды.

Рис. 8.1. К выводу уравнения неразрывности.

Для этого рассмотрим произвольный промежуток (a,b) \Subset \mathbb{R} и запишем уравнение баланса (сиречь закон сохранения массы):

\frac{d}{dt} \int \limits_{a}^{b} \rho(x,t) dx = \rho(a,t) v (a,t) - \rho(b,t) v(b,t).\,\,\, (8.8)

Уравнение (8.8) означает, что скорость изменения массы сплошной среды, распределённой на отрезке [a,b] , равна её потоку через его концы, взятому со знаком минус (рис. 8.1). Допуская внесение производной d/dt под знак интеграла в левой части уравнения (8.8), применяя в обратном порядке формулу Ньютона-Лейбница, получим \int \limits_{a}^{b} \left[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left( v(x,t) \rho \right) \right] dx = 0 . Но промежуток (a,b) произволен, поэтому подынтегральная функция должна быть равна нулю. Другими словами, плотность \rho=\rho(x,t) удовлетворяет уравнению (8.7).

Многомерное уравнение неразрывности

\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \mathrm{div} \left( \rho \vec{v}(x,t) \right) =0\,\,\, (8.9)

выводится аналогично (только вместо формулы Ньютона-Лейбница применяется формула Гаусса-Остроградского). Отметим, что уравнение (8.9) редко когда решают само по себе: обычно и плотность \rho=\rho(x,t) , и поле скоростей \vec{v}=\vec{v}(x,t) выступают неизвестными функциями в системе уравнений в частных производных, включающей, помимо уравнения неразрывности, динамические уравнения (см. уравнения Навье-Стокса).

Пример 8.2. Уравнение Хопфа (иногда уравнение Бюргерса, но мы уравнением Бюргерса будем называть уравнения с диссипативным членом; см. далее метод исчезающей вязкости в этой главе) имеет вид

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \,\,\, (8.10)

и относится к квазилинейным уравнениям (8.3): коэффициент при u_{x} в уравнении (8.10) зависит от неизвестной функции u=u(x,t) . Кроме того, уравнение Хопфа имеет вид (8.6), т.е. является уравнением в эволюционной форме.

Для вывода уравнения (8.10) рассмотрим прямую (ось Ox ), заполненную сплошной средой. Предположим, что на точки сплошной среды не действует силы (ни внешние, ни внутренние). Тогда каждая точка будет двигаться по инерции со скоростью u . Закон движения индивидуальной частицы сплошной среды будет иметь вид x(t)= ut+x_0 , где x_0 — координата точки в момент t=0 (рис. 8.2).

Рис. 8.2. К выводу уравнения Хопфа.

С другой стороны, согласно аксиомам механики сплошных сред в каждый момент времени t в каждой геометрической точке с координатой x находится одна и только одна материальная частица. Пусть u=u(x,t) — скорость этой частицы, тогда её полная производная по времени (после подстановки закона движения x= ut+\xi ) должна быть равна нулю. По известной формуле для полной производной получим \frac{\partial u}{\partial t}+ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} =0 . Но \frac{dx}{dt}=u , откуда и следует уравнение (8.10).

Таким образом, уравнение Хопфа — простейшее уравнение, описывающее динамику сплошной среды. Столь простое уравнение первого порядка скрывает множество феноменов, изучению которых посвящён третий параграф.

Пример 8.3. Уравнение эйконала

| \nabla u |^2 \equiv \left( \frac{\partial u}{\partial x_1} \right)^2 + \ldots + \left( \frac{\partial u}{\partial x_n} \right)^2 = 1\,\,\, (8.11)

в котором u=u\left( x_1,\ldots,x_n \right) — неизвестная функция, принадлежит семейству уравнений (8.4), причём функция Гамильтона H = p_1^2+\ldots+p_n^2-1 . Нас интересуют только стационарные (не зависящие от t) решения уравнения Гамильтона-Якоби.

Геометрический смысл уравнения (8.11) состоит в следующем. Представим себе гиперповерхность \Sigma \subset \mathbb{R}^n класса C^1 (см. рис. 8.3, на котором \Sigma \in C^1 — кривая), и пусть \left. u \right|_{\Sigma}=0 . Тогда функция u(x) = \mathrm{dist}(x,\Sigma) удовлетворяет в некоторой полуокрестности \Sigma уравнению эйконала (8.11).

Рис. 8.3. Геометрический смысл уравнения эйконала.

Основная идея метода характеристик — чуть ли не единственного точного метода решения уравнений в частных производных первого порядка (все прочие методы либо специализированные, либо, как метод степенных рядов, приближённо-аналитические) — заключается в соотнесении каждому из уравнений (8.1)—(8.6) специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений — системы характеристик. Так, линейному уравнению специального вида (8.1) соответствует система дифференциальных уравнений

\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}_1= a_1 \left(x_1,\ldots,x_n \right),\\ & \ldots \\ & \dot{x}_n = a_n \left( x_1,\ldots,x_n \right),\\ & \dot{u} = 0.\\ \end{aligned}\right. \,\,\, (8.12)

В системе (8.12) x_1=x_1(t),\ldots,x_n=x_n(t), u=u(t) — неизвестные функции переменной t , именуемой фазовым временем, точка означает производную по t . Последнее уравнение в системе характеристик (8.12) кажется лишним, но в действительности именно оно, как мы увидим чуть позже, связывает уравнение (8.1) и систему (8.12). Если среди x_1,\ldots,x_n есть переменная t (как в уравнениях (8.4), (8.6), (8.7), (8.9), (8.10)), то фазовое время нужно обозначить как-то иначе, например, через \tau .

Чтобы двигаться дальше, освежим в памяти словарь геометрической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и сформулируем одну весьма общую теорему из функциональной теории ОДУ. Для краткости формулировок всё-таки уберём последнее уравнение из системы (8.12):

\dot{x}_1= a_1 \left(x_1,\ldots,x_n \right),\ldots,\dot{x}_n = a_n \left( x_1,\ldots,x_n \right). \,\,\, (8.13)

ТерминЗначение
Фазовое пространство \mathbb{R}^n или область \Omega \subset \mathbb{R}^n , где определены правые части a_k , k=1,\ldots,n, системы (8.13).
Характеристическое векторное полеВекторное поле \vec{a}=a_1 \vec{e}_1+\ldots+a_n \vec{e}_n , определённое в фазовом пространстве.

Характеристика (фазовая кривая)		Параметризованная кривая x=x_1(t),\ldots,x_n=x_n(t) , t_0<t<t_1 любым частным решением системы (8.13).
Особая (стационарная) точкаТочка x^* в фазовом пространстве, в которой характеристический вектор обращается в нуль: \vec{a} \left( x^* \right) =0 .
Интеграл (первый интеграл)Непрерывно дифференцируемая функция I= I \left( x_1,\ldots,x_n \right) , определённая в фазовом пространстве, принимающая постоянные значения на любой характеристике.

Теорема 8.1. Пусть векторное поле \vec{a} , удовлетворяют локальному условию Липшица в области \Omega \subset \mathbb{R}^n : для любого компакта K \subset \Omega существует такая константа L=L(K)>0 , что для всех x^1,x^2 \in K справедливо неравенство

\left| \vec{a} \left( x^1 \right) - \vec{a} \left( x^2 \right) \right| \leqslant L \left| x^1 - x^2 \right|, \,\,\, (8.14)

где | \cdot | — евклидова норма. Тогда для любой точки x^0 \in \Omega существует единственное непродолжаемое решение x_k = x_k(t) , k=1,\ldots,n , t_0<t<t_1, системы (8.13), удовлетворяющее начальным условиям x_k(0) = x_k^0 , k=1,\ldots,n.

Легко заметить, что из локального условия Липшица (8.14) следует непрерывность функций a_{k} , k=1,\ldots,n , в области \Omega , поэтому в теореме 8.1 рассматриваются только классические решения и никаких других. Нетрудно показать, что непрерывно дифференцируемые в области \Omega коэффициенты удовлетворяют в этой области локальному условию Липшица. Единственность непродолжаемого решения означает, что любое другое решение системы (8.13), удовлетворяющее тем же начальным условиям, определено на подынтервале \left(t'_0,t'_1 \right) \subset \left(t_0,t_1\right) и совпадает на нём с оригинальным решением. Теорему 8.1 в учебниках по ОДУ обычно разбивают на две: теорему о локальной однозначной разрешимости задачи Коши и теорему о продолжении решения (см, например, Э.А. Коддингтон и Н. Левинсон, «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений», М.: ИЛ, 1958). Если выполнены условия теоремы 8.1, то фазовое пространство системы (8.13) разбивается на непродолжаемые характеристики.

Утверждение 8.1. Пусть a_{k} \in C(\Omega) , k=1,\ldots,n. Функция u=u(x) — классическое решение уравнения (8.1) в области \Omega тогда и только тогда, когда она служит интегралом системы (8.13) в этой области.

Доказательство. Пусть u \in C^{1}(\Omega) — частное решение уравнения (8.1), \sigma \subset \Omega — непродолжаемая характеристика, отвечающая решению x_{k}=x_{k} (t) , k=1,\ldots,n, t_0<t<t_1 , системы (8.13). Вычислим полную производную:

\frac{d u}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x_1} \dot{x}_1 + \ldots + \frac{\partial u}{\partial x_n} \dot{x}_n = \frac{\partial u}{\partial x_1} a_1(x) + \ldots + \frac{\partial u}{\partial x_n} a_n(x)=0. \,\,\, (8.15)

Но тогда существует константа C , что u \left( x_1(t),\ldots,x_n(t) \rght) = C для t_0<t<t_1 , следовательно, \left. u \right|_{\sigma}=C . Так как характеристика \sigma произвольна, u — интеграл системы (8.13) в области \Omega .

Наоборот, если функция u \in C^{1}(\Omega) — интеграл системы (8.13) в области \Omega , тогда для любого решения x=x(t) этой системы с начальным условием x(0)=x^0 \in \Omega по определению интеграла имеем u \left( x_1(t),\ldots,x_n(t) \right) = u \left( x_1^0,\ldots, x_n^0 \right) для всех допустимых t . Тогда, в частности, производная сложной функции времени в точке t=0 равна

\left. \frac{du}{dt} \right|_{t=0} = a_{1} \left( x^0 \right) \frac{\partial u}{\partial x_1} + \ldots + a_{n} \left( x^0 \right) \frac{\partial u}{\partial x_n} = 0.

Указанное решение по теореме Пеано существует для любой точки x^0 \in \Omega , так как правые части системы (8.13) непрерывны в \Omega . Поэтому функция u удовлетворяет уравнению (8.1) всюду в области \Omega \blacksquare

Если I_1,I_2 — два интеграла системы (8.13), то их связка u = \Phi \left(I_1,I_2\right) — тоже интеграл (здесь \Phi \in C^1 — функция от двух вещественных переменных с достаточно большой областью определения). Пусть в некоторой подобласти Q \subset \Omega получено максимальное семейство I_1,\ldots,I_m функционально независимых интегралов системы (8.13). Тогда формула u = \Phi \left( I_1(x),\ldots,I_m(x) \right) , где \Phi — произвольная C^1 -функция m переменных, претендует на общее решение уравнения (8.1) в области Q .

В теории ОДУ доказано следующее: в некоторой окрестности неособой точки x^0 \in \Omega ( \veec{a} \left( x^0 \right) \ne 0 ) существуют m=n-1 функционально независимых интегралов системы (8.13) I_1=I_1(x),\ldots,I_{n-1}=I_{n-1}(x) , а любой другой интеграл системы (8.13) в этой же окрестности через них выражается. Поэтому приведённая выше формула реализуется общее решение линейного уравнения специального вида (8.1) лишь локально. В произвольной подобласти Q \subset \Omega , даже свободной от особых точек векторного поля \vec{a} , система (8.13) может вообще не иметь нетривиального первого интеграла. Примером может служить кольцевая область Q \subset \mathbb{R}^2 , несущая единственный предельный цикл непрерывного векторного поля («мешок» Бендиксона).

Последнее уравнение системы (8.12), всего лишь манифестирующее природу уравнения (8.1), превращается в более содержательное соотношение в случае уравнения (8.2). Общему линейному уравнению первого порядка (8.2) отвечает система

\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}_1= a_1 \left(x_1,\ldots,x_n \right),\\ & \ldots \\ & \dot{x}_n = a_n \left( x_1,\ldots,x_n \right),\\ & \dot{u} = -b(x)u+f(x).\\ \end{aligned}\right. \,\,\, (8.16)

В системе (8.16) x_1=x_1(t),\ldots,x_n=x_n(t),u=u(t) — неизвестные функции фазового времени t , точка означает производную по t . Отметим, что первые n уравнений системы (8.16) можно рассматривать отдельно — они образуют систему (8.13). Характеристиками уравнения (8.2), как и уравнения (8.1), по-прежнему служат фазовые кривые системы (8.13).

Пусть x_1=x_1(t), \ldots, x_n=x_n(t) — некоторое непродолжаемое решение системы (8.13), определённое на интервале \left( t_0,t_1 \right) \ni 0 . Тогда его можно подставить в последнее уравнение системы (8.16) и получить линейное уравнение первого порядка

\dot{u} = -b \left( x(t) \right) u + f \left( x(t) \right).\,\,\, (8.17)

Общее решение уравнения (8.17) легко получить стандартными методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений:

u(t) = u_0 e^{ -\int \limits_{0}^{t} b\left( x(s) \right) ds} + \int \limits_{0}^{t} f \left( x(s) \right) e^{\int \limits_{0}^{s} b \left( x\left( \tilde{s} \right) \right) d \tilde{s}} } ds,\,\,\, (8.18)

где u=u(0) . Полученное решение (8.18) принадлежит пространству C^{1} \left(t_0,t_1 \right) , если функции b и f непрерывны в области \Omega .

Пришло время объяснить суть метода характеристик. Допустим, мы хотим найти решение уравнения (8.2), известное на некотором подмножестве S \subset \Omega : \left. u \right|_{S}=\varphi . Множество S и функцию \varphi , определённую на этом множестве, можно называть начальными. Пропустим через каждую точку x^0 \in S характеристику (не обязательно продолжаемую) и определим функцию u на этой характеристике с помощью формулы (8.18), положив u =\varphi \left( x^0 \right) . Таким способом функция u продолжается на множество, образованное семейством характеристик, проходящих через точки множества S . Если последнее устроено достаточно хорошо (например, если S — гиперповерхность, трансверсальная характеристическому векторному полю; см. пар. 8.2), то семейство характеристик образует область, и можно надеться, что функция u будет частным решением уравнения (8.2) в этой области. Метод характеристик замечательно оправдает себя в теореме 8.2 о существовании единственного решения задачи Коши для уравнения (8.2).

Система характеристик для квазилинейного уравнения первого порядка (8.3) имеет вид

\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}_{1} = a_{1}\left(x_1,\ldots,x_n,u\right),\\ & \ldots \\ & \dot{x}_{n} = a_{n} \left(x_1,\ldots,x_n,u \right),\\ & \dot{u} = f\left( x_1,\ldots,x_n,u \right). \end{aligned} \right.\,\,\, (8.19)

В системе (8.19) x_1=x_1(t),\ldots,x_n=x_n(t),u=u(t) — неизвестные функции фазового времени t . Существенное отличие системы характеристик для квазилинейного уравнения (8.3) от системы характеристик (8.16) состоит в неотделимости первых n уравнений (8.19) от последнего уравнения (от u зависят, вообще говоря, все правые части). Характеристиками квазилинейного уравнения (8.3) называются фазовые кривые системы (8.19), лежащие в (n+1) -мерном пространстве, а не в области \Omega \subset \mathbb{R}^n изменения переменных x_1,\ldots,x_n . Характеристическое векторное поле теперь имеет вид

\vec{c} = a_1 \vec{e}_1 + \ldots + a_n \vec{e}_n + f \vec{e}_{n+1}.\,\,\, (8.20)

Через каждую точку фазового пространства системы (8.19) (будем для простоты считать, что оно имеет вид \Omega \times \mathbb{R} , где \Omega \subset \mathbb{R}^n — некоторая область) по теореме 8.1 проходит одна (непродолжаемая) характеристика, если характеристическое поле \vec{c} локально липшицево.

Для установления связи между уравнением (8.3) и его системой характеристик определим ещё один объект из геометрической теории ОДУ. Характеристической (гипер)поверхностью называется (гипер)поверхность \Sigma \subset \Omega \times \mathbb{R} класса C^1 , состоящая из (может быть, продолжаемых) характеристик. Ясно, что векторное поле (8.20) в каждой точке касается характеристической (гипер)поверхности. Наоборот, если поле \vec{c} в каждой точке касается (гипер)поверхности \Sigma , то \Sigma состоит из характеристик.

Утверждение 8.2. Пусть u = u(x) — классическое (непрерывно дифференцируемое) решение уравнения (8.3), определённое в подобласти Q \subset \Omega . Тогда его график — характеристическая поверхность системы (8.19).

Доказательство. График \Sigma функции u=u(x) , x \in Q , по условию является гиперповерхностью класса C^{1} . Покажем, что в каждой точке z^0 \in \Sigma характеристический вектор \vec{c} \in T_{z^0} \Sigma . Тогда, согласно замечанию, сделанному перед утверждением 8.2, гиперповерхность \Sigma будет характеристической.

Действительно, поле нормалей к \Sigma имеет вид \vec{\nu}= \frac{\partial u}{\partial x_1} \vec{e}_{1} + \ldots +\frac{\partial u}{\partial x_n} \vec{e}_{n} - \vec{e}_{n+1} . Осталось заметить, что

\vec{c} \cdot \vec{\nu} = a_{1} \left( x,u(x) \right) \frac{\partial u}{\partial x_1} + \ldots + a_{n} \left( x,u(x) \right) \frac{\partial u}{\partial x_n} - f \left( x,u(x) \right) =0,

так как u=u(x) — частное решение уравнения (8.3) \blacksquare

Чтобы обратное утверждение было верным, характеристическая поверхность \Sigma хотя бы должна быть графиком некоторой функции u=u(x) . Чем формулировать строгий факт, лучше опишем, как работает метод характеристик для квазилинейного уравнения (8.3). Пусть снова функция u известна на некотором подмножестве S \subset \Omega : \left. u \right|_{S} = \varphi . Рассмотрим график

\Gamma_{\varphi} = \left\{ \left( x_1, \ldots, x_n, u \right)^{\top} \in \mathbb{R}^{n+1}: u = \varphi (x),\, x \in S \right\}

функции \varphi и пропустим через каждую его точку характеристику (фазовую кривую системы (8.19)). Если множество S устроено достаточно хорошо (допустим, S \subset \Omega — поверхность класса C^{1} размерности (n-1) ), начальная функция \varphi достаточно хороша (предположим, \varphi \in C^{1}(S) ), то и график \Gamma_{\varphi} имеет хорошие свойства (при сделанных предположения \Gamma_{\varphi} будет (n-1) -мерной поверхностью класса C^1 ). Можно надеяться, что гиперповерхность, построенная из характеристик, проходящих через точки \Gamma_{\varphi} , хотя бы локально окажется графиком непрерывно дифференцируемой функции — решения квазилинейного уравнения (8.3). В третьем параграфе будут получены условия, гарантирующие успех этой стратегии.

Система характеристик общего нелинейного уравнения первого порядка (8.5) имеет вид

\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}_k = \frac{\partial F}{\partial p_k},\,\, \dot{p}_k = -\frac{\partial F}{\partial x_k} - p_{k} \frac{\partial F}{\partial u},\,\, k=1,\ldots,n,\\ & \dot{u} = p_1 \frac{\partial F}{\partial p_1} + \ldots + p_n \frac{\partial F}{\partial p_n} \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.20)

и состоит, таким образом, из (2n+1)-го уравнения. В системе (8.20) x_{k}= x_{k}(t), p_k=p_k(t) , u=u(t) — неизвестные функции фазового времени t , точка — производная по t . Предполагается, что F = F \left( p_1,\ldots,p_n, u, x_1,\ldots,x_n \right) — непрерывно дифференцируемая функция (2n+1)-ой переменной, определённая в области \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \times \Omega , где \Omega \subset \mathbb{R}^n — область изменения переменных x = \left( x_1,\ldots,x_n \right)^{\top} .

Чтобы объяснить вид системы (8.20), ограничимся C^{2}-решениями уравнения (8.5). Введём обозначения для производных: p_k = \frac{\partial u}{\partial x_k} , k=1,\ldots,n, p = \left( p_1,\ldots,p_n \right)^{\top} . Тогда уравнение (8.5) можно переписать в виде F ( p,u,x )=0 . Продифференцируем последнее соотношение по x_k , k=1,\ldots,n, k \in \{1,\ldots,n\} :

\sum \limits_{j=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{j}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial F}{\partial u} p_{k} + \frac{\partial F}{\partial x_{k}}= 0.\,\,\,(8.21)

Учтём, что \frac{\partial p_{j}}{\partial x_{k}} = \frac{\partial p_{k}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_{j} \partial x_{k}}, и перепишем (8.21) в виде

\sum \limits_{j=1}^{n} \frac{\partial F}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{k}}{\partial x_{j}} = - \frac{\partial F}{\partial u} p_{k}-\frac{\partial F}{\partial x_{k}}.\,\,\, (8.22)

Если искусственно фиксировать u и все p_1,\ldots, p_n , кроме p_k , то соотношение (8.22) обернётся квазилинейным уравнением первого порядка относительно неизвестной функции p_{k}= p_{k} \left( x_1,\ldots,x_n \right) . Система характеристик для последнего имеет вид

\dot{x}_{1} = \frac{\partial F}{\partial p_{1}},\ldots, \dot{x}_{n} = \frac{\partial F}{\partial p_{n}},\, \dot{p}_{k} = -\frac{\partial F}{\partial x_{k}} - \frac{\partial F}{\partial u} p_{k};

объединение всех таких систем по k=1,\ldots,n даёт все уравнения системы (8.20), кроме последнего. Для вывода последнего уравнения и замыкания системы характеристик найдём полную производную функции u , соответствующую системе \dot{x}_k = \frac{\partial F}{\partial p_k} , k=1,\ldots,n :

\frac{du}{dt} = \sum \limits_{j=1}^{n} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} \dot{x}_{j} = \sum \limits_{j=1}^{n} p_{j} \frac{\partial F}{\partial p_{j}}.

Выпишем систему характеристик (8.20) для двух частных случаев уравнения (8.5): уравнения первого порядка в эволюционной форме (8.6) и уравнения Гамильтона-Якоби (8.4). Поскольку в обоих уравнениях одна из независимых переменных — время t , фазовое время в системе характеристик будем обозначить буквой \tau . В случае уравнения (8.6) функция F \left( p_1,\ldots,p_n,p_t, u,x_1,\ldots,x_n,t \right) = p_t - f \left( p_1,\ldots,p_{n},u,x_1,\ldots,x_n,t \right) , поэтому к системе (8.20) добавляются ещё два уравнения:

\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}_k = -\frac{\partial f}{\partial p_k},\,\, \dot{p}_k = \frac{\partial f}{\partial x_k} + p_{k} \frac{\partial f}{\partial u},\,\, k=1,\ldots,n,\\ & \dot{t} = 1,\,\, \dot{p}_{t} = \frac{\partial f}{\partial t} + p_{t} \frac{\partial f}{\partial u},\\ & \dot{u} = p_{t} -p_1 \frac{\partial f}{\partial p_1} - \ldots - p_n \frac{\partial f}{\partial p_n}. \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.23)

Уравнение \dot{t} = 1 немедленно интегрируется: t = \tau + t_0 , t_0=t(0) . Полагая константу t_0 = 0 (так можно сделать в ситуации, когда методом характеристик решается задача Коши; см. пар. 8.3), можно отождествить t и \tau . Но прочие уравнения в системе (8.23), вообще говоря, взаимосвязаны, ни одно из них не удаляется из системы без потери замкнутости.

В уравнении Гамильтона-Якоби (8.4) функция

f \left( p_1,\ldots,p_n,u,x_1,\ldots,x_n,t \right) = -H \left( p_1,\ldots,p_n,x_1,\ldots,x_n,t \right)

не зависит от u , поэтому система (8.23) упрощается до

\left\{ \begin{aligned} & \dot{x}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k},\,\, \dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial x_k} ,\,\, k=1,\ldots,n,\\ & \dot{t} = 1,\,\, \dot{p}_{t} = -\frac{\partial H}{\partial t} ,\\ & \dot{u} = p_{t} +p_1 \frac{\partial H}{\partial p_1} + \ldots +p_n \frac{\partial H}{\partial p_n}. \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.24)

Как и в случае системы (8.23), отождествим время t и фазовое время \tau . Тогда, как легко видеть, первые 2 n уравнений системы (8.24) отщепляются от остальных. Вместе они образуют каноническую (гамильтонову) систему

\left\{ \begin{aligned} & \dot{p}_1 = -\frac{\partial H}{\partial x_1},\ldots, \dot{p}_n = -\frac{\partial H}{\partial x_n},\\ & \dot{x}_1 = \frac{\partial H}{\partial p_1},\ldots,\dot{x}_n = \frac{\partial H}{\partial p_n} \\ \end{aligned} \right. \,\,\, (8.25)

с функцией Гамильтона H = H \left( p_1,\ldots,p_n,x_1,\ldots,x_n,t \right) . В гамильтоновой механике фазовые переменные x_1,\ldots,x_n принято называть координатами, а переменные p_1,\ldots,p_n — импульсами (вместе они составляют две группы канонических сопряжённых переменных). Подробно уравнение Гамильтона-Якоби и его связь с канонической системой (8.25) рассматриваются в пар. 8.4. В методе Гамильтона-Якоби мы сначала строим полный интеграл уравнения (8.4) (семейство частных решений, удовлетворяющее определённым свойствам), затем с его помощью получаем общее решение гамильтоновой системы (8.25). В этом редком случае УЧП служат ОДУ, а не наоборот.

Пусть u \in C^{2}(Q) — некоторая функция, определённая в Q \subset \mathbb{R}^{n} . Её 1-графиком называется множество точек в \mathbb{R}^{2n+1} вида

\Sigma^{1} = \left\{ \left( x_1,\ldots,x_n, u(x), p_{1}(x),\ldots,p_{n}(x) \right)^{\top} \in \mathbb{R}^{2n+1}: x \in Q \right\}, \,\,\, (8.26)

где p_{j} = \frac{\partial u}{\partial x_j} , j=1,\ldots,n. Легко видеть, что (8.26) — n -мерная поверхность класса C^{1} , вложенная в (2n+1) -мерное пространство.

Утверждение 8.3. Пусть F \in C^{2} \left( \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times \Omega \right) , u = u(x) — дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения (8.5), определённое в подобласти Q \subset \Omega . Тогда его 1-график — характеристическая поверхность системы (8.20).

Доказательство. Пусть x^0 \in Q . Так как F \in C^{2} , u \in C^{2} , задача Коши для системы ОДУ

\dot{x}_k = F_{p_k} \left( x, u(x), u_{x_1}(x),\ldots,u_{x_n}(x) \right), \, k=1,\ldots,n, x_k (0)=x_k^{0}

имеет единственное решение x=x(t) , непродолжаемое в области Q при t_0<t<t_1 . Получим из него кривую, лежащую на 1-графике решения:

\gamma = \left\{ \left( x_1(t),\ldots, x_n(t), u( x(t) ), u_{x_1}(x(t)),\ldots,u_{x_n}(x(t)) \right)^{\top} \in \Sigma^{1}: t_0<t<t_1 \right\}.

Надо показать, что \gamma — характеристика (фазовая кривая) системы (8.20). Имеем \dot{u} = \sum \limits_{k=1}^{n} p_{k} (x(t)) F_{p_j} \left( x, u(x), p_1(x),\ldots,p_n(x) \right), где p_{k} =\frac{\partial u}{\partial x_j} . Из уравнения (8.22) получаем, что

\dot{p}_{k} = \sum \limits_{j=1}^{n} \frac{\partial p_{k}}{\partial x_j} \dot{x}_{j} =\sum \limits_{j=1}^{n} \frac{\partial p_{k}}{\partial x_j} \frac{\partial F}{\partial p_{j}} = - F_{x_k} \left( x, u, p_1,\ldots,p_n \right) - p_{k} F_{u} \left( x, u, p_1,\ldots,p_n \right).

Таким образом, x=x(t) , u=u(t) , p_k = p_k(t), t_0<t<t_1 — единственное решение системы (8.20) с начальными условиями x(0)=x^{0) , u(0)=u \left( x^0 \right) , p_{k}(0) = u_{x_k} \left( x^0 \right) , и кривая \gamma служит характеристикой \blacksquare

Метод характеристик работает для существенно нелинейного уравнения в эволюционной форме (8.6) вполне аналогично своей версии для квазилинейного уравнения (8.3). Пусть неизвестная функция u задана при t=0 : \left. u \right|_{t=0} = \varphi(x) . Тогда можно говорить об 1-графике начальной функции, который лежит в гиперплоскости t=0 пространства \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n :

u = \varphi \left( x_1,\ldots, x_n \right), \, p_{i} = \varphi_{x_j} \left( x_1,\ldots,x_n \right),\, j=1,\ldots,n.\,\,\, (8.27)

Характеристики системы (8.24), проходящие через точки 1-графика (8.27), по крайней мере вблизи гиперплоскости t=0 должны сформировать 1-график решения задачи Коши. В пар. 8.3 таким образом будет доказана однозначная разрешимость задачи Коши для уравнения (8.6).

8.2. Задача Коши для линейных уравнений первого порядка: классические решения

Задача Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка (8.2) имеет общий вид

\left\{ \begin{aligned} & a_{1}(x) \frac{\partial u}{\partial x_1} + \ldots a_n(x) \frac{\partial u}{\partial x_n} = -b(x) u + f(x),\\ & \left. u \right|_{S} = \varphi.\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.28)

Здесь S \subset \Omega — начальная гиперповерхность класса C^1 , \varphi: S \to \mathbb{R} — начальная функция; условие Коши (начальное условие) \left. u \right|_{S} = \varphi означает, что неизвестная функция u(x) = \varphi(x) во всех точках x \in S . Классическим решением задачи (8.28) в области D называется функция u \in C^{1}(D) , служащая частным решением уравнения (8.2) в D , удовлетворяющая начальному условию \left. u \right|_{S} = \varphi . Здесь D \subset \Omega — подобласть области \Omega , содержащая S .

В задаче (8.28), однако, не указана область, в которой её необходимо решить. Дело в том, что возможны разные постановки задачки Коши — в этой книге будут рассмотрены три. Опишем их на примере задачи Коши (8.28).

  1. Локальная постановка. Фиксируем точку x^0 \in S и будем искать решение задачи (8.28) в некоторой (не фиксированной заранее) окрестности x^0 . Единственность при такой постановке трактуется следующим образом: если u \in C^{1} (U) , v \in C^{1}(V) — два решения задачи, определённые, соответственно, в окрестностях U, V \subset \Omega точки x^0 , то существует третья окрестность W \subset U \cap V этой точки, в которой решения совпадают: \left. u \right|_{W} = \left. v \right|_{W} . Другим словами, росток решений задачи Коши в точке x^0 единственен. Теоремы, утверждающие существование решения задачи Коши в локальной постановке и/или единственность ростка решений, называются локальными. Для нелинейных уравнений довольно общего вида (к примеру, для уравнений (8.5), (8.6)) ничего лучше локальной теоремы может не быть, но для линейных уравнений локальная разрешимость —довольно слабый результат. Известнейшая теорема Коши-Ковалевской также работает с задачами Коши в локальной постановке (см. главу 9 «Задача Коши»).
  2. Глобальная постановка. Фиксируем область или семейство возрастающих в смысле вложения областей, содержащих гиперповерхность S (либо начальная гиперповерхность служит частью границы области/областей). Будем искать решение задачи (8.28) в этой области или в какой-нибудь области из данного семейства, исследуем единственность найденного решения. Чаще всего глобальная постановка встречается в так называемых стандартных задачах Коши. Для уравнения первого порядка в эволюционной форме (8.6) начальное условие в стандартной задачи Коши имеет вид \left. u \right|_{t=0} = \varphi(x) , x \in Q \subset \Omega , т.е. начальной гиперповерхностью служит часть гиперплоскости t = 0 в (n+1)-мерном пространстве-времени \mathbb{R}^{n+1} . Тогда в качестве семейства областей можно взять слои пространства-времени \Pi_{T} = \left\{ \left( x_1,\ldots,x_n,t \right)^{\top} \in \mathbb{R}^{n+1}: x \in Q,\, 0<t<T \right\} . В данном сеттинге глобальная постановка звучит так: требуется найти такой T>0 , что стандартная задача Коши имеет единственное решение в слое \Pi_{T} . Так, в пар. 8.3 и 8.5 исследована глобальная разрешимость некоторых квазилинейных уравнений первого порядка.
  3. Максимальная постановка. Требуется найти максимальную область, где задача Коши (8.28) имеет единственное решение. Разумеется, это сложнейшая из трёх постановок. Тем не менее, задача Коши для линейного уравнения (8.2) будет исследованы в максимальной постановке.

Реализуем уже описанный в первом параграфе метод характеристик для задачи (8.28). Предположим, что коэффициенты a_1,\ldots, a_n уравнения (8.2) локально липшицевы (см. теорему 8.1), b,f \in C(\Omega) . Возьмём точку x^0 \in S и предположим, что она неособая для векторного поля \vec{a} , т.е. \vec{a} \left( x^0 \right) \ne 0 , и что \vec{a} не касается S в точке x^0 , т.е. \vec{a} \left( x^0 \right) \notin T_{x^0} S .

Обозначим, существующую по теореме 8.1, непродолжаемую характеристику, проходящую через точку x^0 , через \sigma \left( x^0 \right) (рис. 8.4). В свете сделанных предположений характеристика \sigma \left( x^0 \right) пересечёт начальную гиперповерхность S .

Рис. 8.4. Метод характеристик решения задачи Коши (8.28).

В точке x^0 \in S решение известно. Продолжим его вдоль характеристики \sigma \left( x^0 \right) , руководствуясь формулой (8.18), подставив в неё u_0 = \varphi \left( x^0 \right) . Фактически мы определили решение задачи u вдоль характеристики \sigma \left( x^0 \right) как решение задачи Коши для линейного ОДУ первого порядка:

\dot{u} = -b\left( x(t) \right) u + f \left( x(t) \right),\,\, u(0) = \varphi \left( x^0 \right),\,\,\, (8.29)

где x=x(t) — решение системы (8.13), удовлетворяющее начальному условию x(0)=x^0 . Если повторить процесс продолжения для всех точек начальной гиперповерхности S , то получим функцию, определённую на объединении характеристик D= \sqcup_{x^0 \in S} \sigma \left( x^0 \right) . Успех предприятия зависит от того, выполнено ли условие трансверсальности

\vec{a}(x) \notin \mathrm{T}_{x}S,\, x\in S,\,\,\, (8.30)

означающее, что характеристический вектор \vec{a} трансверсален (не касается) начальной гиперповерхности S во всех её точках, в частности, не равен нулю. Если \vec{\nu}=\vec{\nu}(x) — нормальный вектор к S в точке x , то условие (8.30) можно записать в виде неравенства \vec{a}(x) \cdot \vec{\nu}(x) \ne 0 , x \in S .

Однако, предложенный метод характеристик оставляет много вопросов. Будет ли объединение непродолжаемых характеристик D областью, а построенная функция — классическим решением уравнения (8.2)? Но главная проблема метода состоит в следующем: характеристики могут возвращаться на начальную гиперповерхность…

Одна или множество непродолжаемых характеристик может пересекать поверхность S несколько раз (см. рис. 8.4, на котором красная характеристика пересекает S два раза). Вообразим, например, векторное поле на плоскости \mathbb{R}^2 с единственной особой точкой — центром или фокусом в начале координат O , и пусть S — луч с началом в точке O , трансверсальный векторному полю (рис. 8.5).

В случае фокуса каждая характеристика (кроме особой точки) пересекает луч счётное число раз, на нём определено отображение Пуанкаре (отображение первого возвращения). В случае центра (как на рис. 8.5) каждая точка отображения Пуанкаре неподвижна, но совершенно не факт, что решение задачи Коши (8.29) будет периодическим.

Рис. 8.5. К проблеме возвращения характеристик на начальную гиперповерхность.

Отображение Пуанкаре очень полезно при изучении динамики, но создаёт препятствие к построению решения задачи Коши (8.28) методом характеристик. Действительно, если определить решение на характеристике, проходящей через две точки x^0, x^1 \in S , формулой (8.18) с u(0) = \varphi \left( x^0 \right) , то для согласования с другим продолжением значение начальной функции \varphi \left( x^1 \right) должно быть равно u \left( t_1 \right) , где t_1 — момент прохождения характеристики \sigma \left( x^0 \right) точки x^1 . Поэтому начальная функция \varphi должна удовлетворять некоторым условиям, связывающим её значения в разных точках гиперповерхности S .

Определение 8.1. Гиперповерхность S \subset \Omega класса C^1 называется инициальной для векторного поля \vec{a} \in C^{1} (\Omega) , если непродолжаемые характеристики, проходящие через точки S , не возвращаются на эту гиперповерхность: для любой x^0 \in S пересечение S \cap \sigma \left( x^0 \right) = \left\{ x^0 \right\} .

Рассмотрим один очень важный класс векторных полей и гиперповерхностей, инициальных к ним. Речь идёт о линейных уравнений в эволюционной форме (8.6) (функция f линейна относительно производных u_{x_1},\ldots,u_{x_n} и функции u ) и стандартной задаче Коши вида

\left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial t} = -a_1 (x,t) \frac{\partial u}{\partial x_1} - \ldots - a_n (x,t) \frac{\partial u}{\partial x_n} -b(x,t) u +f(x,t),\\ & u(x,0) = \varphi(x),\, x \in Q.\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.31)

Здесь x = \left( x_1,\ldots,x_n)^{\top} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n , Q \subset \Omega —  подобласть области изменения переменных x . Предполагаем, что a_1,\ldots,a_n , b, f определены в \Omega \times \mathbb{R} . Очевидно, начальная гиперповерхность S = Q \times \{0 \} трансверсальна характеристическому векторному полю \vec{a} = a_{1} \vec{e}_{1} + \ldots + a_{n} \vec{e}_n + \vec{e}_{n+1} . Она инициальна по той простой причине, что движение вдоль любой характеристики вдоль векторного поля \vec{a} происходит с возрастанием переменной t . Таким образом, стандартная задача Коши (8.31) свободна ото всех неприятностей (нетрансверсальность, возвращение характеристик), какие могут случится с общей задачей (8.28).

Теорема 8.2. Пусть векторное поле \vec{a} удовлетворяет локальному условию Липшица в области \Omega \subset \mathbb{R}^n , b,f \in C(\Omega) , S \subset \Omega — линейно связная инициальная гиперповерхность класса C^1 (в смысле определения 8.1), удовлетворяющая условию трансверсальности (8.28), \varphi \in C^{1}(S) . Тогда задача Коши (8.28) имеет единственное в области D = \sqcup_{x^0 \in S} \sigma \left( x^0 \right) классическое решение, которое можно построить методом характеристик.

Доказательство будет приведено позже.

Пример 8.4. Исследовать решение задачи Коши в зависимости от параметра p :

\left\{ \begin{aligned} & 2x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}- u= xy , \\ & \left. u \right|_{x=p} = \varphi (y),\, -\infty<y<\infty. \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.32)

Проверим условие трансверсальности (8.30) векторного поля \vec{a} = 2x \vec{e}_x+ y \vec{e}_{y} на начальной прямой S= \{ x =p \} . Поскольку нормаль \vec{\nu} = \vec{e}_{x} , условие трансверсальности \left. \vec{a} \right|_{S} \cdot \vec{\nu} = 2p\ne 0 выполнено тогда и только тогда, когда p \ne 0 . Таким образом, при p=0 задача (8.32) нетрансверсальна (условие трансверсальности нарушено в каждой точке начальной прямой, последняя состоит из характеристик) и требует отдельного анализа.

Система характеристик для уравнения 2x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} =u+xy имеет вид

\dot{x} = 2x,\,\, \dot{y} = y,\,\, \dot{u} = u+ xy,\,\,\, (8.33)

и немедленно решается: x = x_0 e^{2t} , y=y_0 e^{t} , u = \left( u_0 -\frac{1}{2} x_0 y_0 \right) e^{t} + \frac{1}{2} x_0 y_0 e^{3t} , где x_0=x(0), y_0 =y(0) , u_0=u(0) — начальные значения фазовых переменных. Проверим, что при p \ne 0 начальная прямая S инициальна. Действительно, непродолжаемая характеристика, проходящая через точку \left( p,y_0 \right)^{\top} \in S , имеет параметризацию x=pe^{2t} , y =y_0 e^{t} , -\infty<t<\infty , а в неявном виде представляет собой p y^2 =y_0^2 x — половину параболы при y_0 \ne 0, вырождающуюся в луч при y_0=0 .

Каждая характеристика единственный раз пересекает начальную прямую S (рис. 8.6). Итак, при p \ne 0 задача (8.32) удовлетворяет условиям теоремы 8.2, если начальная функция \varphi \in C^{1} (\mathbb{R}) .

Рис. 8.6. К инициальности и трансверсальности начальной прямой S=\{ x=p \} в задаче (8.32).

Область существования единственного решения здесь будет левой \{ x<0 \} полуплоскостью, если p<0 , или правой \{ x>0 \} полуплоскостью при p >0 . Чтобы найти это решение, подставим x_0=p , u_0 = \varphi \left( y_0 \right) в общее решение системы (8.33):

x=pe^{2t},\, y=y_0 e^{t},\, u= \left( \varphi \left( y_0 \right) - \frac{1}{2} p y_0 \right) e^{t} + \frac{1}{2} p y_0 e^{3t}.\,\,\, (8.34)

Формулы (8.34) представляют решение задачи Коши (8.32) в параметрическом виде, т.е. параметризуют график решения. Исключим параметры y_0 , t , чтобы получить решение в явном виде. Имеем e^t = \sqrt{\frac{x}{p}} , y_0 = y \sqrt{\frac{p}{x}} ,

u = \varphi \left( y \sqrt{\frac{p}{x}} \right) \sqrt{\frac{x}{p}} +\frac{1}{2}xy-\frac{1}{2} py.\,\,\, (8.35)

Формулу (8.35) можно воспринимать в качестве общего решения уравнения задачи (8.32) в левой или в правой полуплоскости (в зависимости от знака p ). Как всегда, общее решение линейного неоднородного уравнения — сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (член в формуле (8.35), содержащий функцию \varphi ) и частного решения u_{*}(x,y) = \frac{1}{2}xy-\frac{1}{2} py . Последнее определено на всей плоскости, как и некоторые другие частные решения уравнения (область существования может быть больше области единственности). Но без специальной «настройки» начальной функции \varphi решение задачи Коши (8.32) имеет неустранимую особенность на прямой x=0 .

В нетрансверсальном случае p=0 метод харатеристик не работает, так как сама начальная прямая x=0 состоит из трёх характеристик (двух лучей и стационарной точки x=0, y=0), продолжить начальную функцию за пределы S невозможно. Однако, отсюда не следует, что задача (8.32) не имеет решений: например, если начальная функция \varphi тождественно равна нулю, то u = \frac{1}{2} xy — решение задачи (8.32).

В пар. 8.1 было указано на локальное (в окрестности регулярной точки гладкого векторного поля) устройство пространства первых интегралов системы (8.13). Опишем пространство интегралов системы (8.33), предварительно представив её в симметрической форме Коши:

\frac{dx}{2x} = \frac{dy}{y} = \frac{du}{u+xy}.\,\,\, (8.36)

Один интеграл приходит немедленно: \frac{x}{y^2} = C_1 . С его помощью можно понизить порядок системы: \frac{dy}{y} = \frac{du}{u+C_1 y^3} . Решая последнее уравнение как линейное \frac{du}{dy}-\frac{u}{y}=C_1 y^{2} , сначала имеем u = C_2 y+\frac{1}{2}C_1 y^3 , затем, разрешая относительно константы C_2 и подставляя выражение для константы C_1 , окончательно запишем: \frac{u}{y} -\frac{1}{2}x = C_2. Оба интеграла имеют особенности на прямой y = 0 , поэтому в окрестности любой точки, не принадлежащей этой прямой, интеграл системы (8.36) выражается формулой \Phi \left( \frac{x}{y^2}, \frac{u}{y}-\frac{1}{2} x \right) = C , где \Phi — произвольная непрерывно дифференцируемая функция двух переменных с достаточной большой областью определения.

Положим C = 0 (её можно отнести к произвольной функции \Phi ) и, допустив разрешение относительно u , запишем в явном виде

u = y \psi \left( \frac{x}^{y^2} \right) + \frac{1}{2} xy.\,\,\, (8.37)

Обычной проверкой можно убедиться, что для любой \psi \in C^{1} \left( \mathbb{R} \right) формула (8.37) даёт классическое решение уравнения как в верхней \{ y>0 \} , так и в нижней \{ y<0 \} полуплоскости. Из утверждения 8.2 следует обратное: каждое классическое решение уравнения в одной из полуплоскостей описывается формулой (8.37). Рассмотрим лишь половину нетрансверсальной начальной прямой, например, луч \gamma_{+} =\{ x=0, y>0 \} . Подстановка (8.37) в начальное условие \left. u \right|_{x=0} = \varphi(y) даёт y \psi(0) = \varphi(y) . Таким образом, если начальная функция имеет вид \varphi(y)=Cy (в частности, равна нулю), то задача (8.32) имеет бесконечно много решений на луче \gamma_{+} , представляемых формулой (8.37), в которой \psi — произвольная функция, принадлежащая пространству C^{1} \left( \mathbb{R} \right) , удовлетворяющая единственному условию \psi(0)=C . Если же начальная функция \varphi не имеет указанный вид, то решение задачи (8.32) не существует даже локально в окрестностях точек луча \gamma_{+} . Для луча \gamma_{-} =\{ x=0, y<0 \} ситуация совершенно аналогичная.

Итак, в нетрансверсальном случае p=0 задача (8.32) имеет решение тогда и только тогда, когда начальная функция линейная, \varphi(y) = C y с некоторой константой C , причём в этом случае пространство решений бесконечномерно. Пример 8.4 можно считать полностью разобранным.

Обратимся теперь к стандартной задаче Коши (8.31) с начальной гиперповерхностью вида S = Q \times \{0\} . Как уже было отмечено, она трансверсальна и инициальна, так что дело остаётся за коэффициентами уравнениям и правыми частями f, \varphi . Однако, поставим глобальную проблему: пусть Q =\mathbb{R}^n ; найти T>0 , желательно максимальное, при котором задача (8.31) имеет единственное решение в слое \Pi_{T} = \mathbb{R}^n \times (0,T) . Покажем на примере уравнения неразрывности (8.7), что при неблагоприятных коэффициентах глобальная разрешимость может не иметь место ни при каком T>0 .

Пример 8.5. Поставим стандартную задачу Коши для уравнения неразрывности:

\left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial \rho}{\partial t} + v(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} = - v_{x}(x,t) \rho, \\ & \left. \rho \right|_{t=0} = \varrho (x),\, x \in \mathbb{R}, \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.38)

где \varrho — начальная плотность, \varrho \in C^{1}(\mathbb{R}) . Поле скоростей будем считать непрерывным в \mathbb{R} \times [0,+\infty) и непрерывно дифференцируемым по x на этом множестве. Система характеристик

\dot{x} = v(x,t),\,\, \dot{t} =1,\,\, \dot{\rho} = - v_{x}(x,t) \rho,\,\,\, (8.39)

в которой точка — производная по фазовому времени \tau , элементарна, кроме первого уравнения \dot{x} = v(x,t) , имеющего весьма общий вид. Второе уравнение немедленно интегрируется: t =\tau + t_0 , t_0=0 . При решении стандартной задачи (8.38) t_0 =0 , поэтому t = \tau .

Сделанные относительно функции v предположения позволяют сказать, что для любой x_0 \in \mathbb{R} существует единственное непродолжаемое решение этого уравнения с начальным условием x(0)=x_0 (теорема Пикара-Линделёфа). Обозначим это решение через x=X \left( x_0,t \right) и выразим x_0 , опираясь на известные результаты теории ОДУ: x_0 = X_0 (x,t) . Осталось проинтегрировать третье уравнение системы (8.39) \dot{\rho} = -v_{x} \left( X \left( x_0,t \right), t \right) . Его общее решение есть \rho = \rho_0 e^{-\int_{0}^{t} v_{x} \left( X \left( x_0,s \right), s \right) ds , \rho_0 = \rho(0) . Следуя методу характеристик, положим \rho_0 = \varrho \left( x_0 \right) и подставим выражение для x_0 . Тогда решение задачи Коши (8.39) предстанет в виде

\rho (x,t) = \varrho \left( X_0(x,t) \right) e^{-\int \limits_{0}^{t} v_{x} \left( X \left( X_0 \left( x,t \right),s \right),s \right) ds}.\,\,\, (8.40)

Например, если v(x,t) = e^{-x} , то x = X\left(x_0,t \right) = \ln \left( t + e^{x_0} \right) ; наоброт, x_0 = X_0 (x,t) = \ln \left( -t+e^{x} \right) . Уравнение для плотности \dot{\rho} = \rho e^{-x} = \frac{\rho}{t + e^{x_0}} имеет общее решение \rho = \rho_0 \left( 1+ t e^{-x_0} \right) . Решение задачи Коши (8.38), для указанного поля скоростей представляет собой

\rho = \varrho \left( \ln \left( -t+e^{x} \right) \right) \frac{e^x}{e^x-t}

и имеет особенность на кривой e^x = t , следовательно, определено в области D = \left\{ t<e^{x} \right\} — объединении характеристик t=e^{x}-e^{x_0} , - \infty<x_0<\infty . Таким образом, ни при каком T>0 решение задачи (8.38) с полем скоростей v(x,t) = e^{-x} не принадлежит слою \Pi_T = \mathbb{R} \times (0,T) , если только начальная плотность \varrho=\varrho(x) не удовлетворяет некоторому асимптотическому условию при x \to - \infty .

Такое безобразие случилось из-за того, что поле скоростей было неограниченным, что, конечно, совершенно исключено в физических задачах.

Рассмотрим, держа в уме пример 8.5, большой и важный класс стандартных задач Коши, глобально разрешимых в любом слое пространства-времени. Вспомним, что n-мерным плоским тором называется топологическое пространство \mathbb{T}^{n} = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n , локально устроенное как евклидово пространство той же размерности (строго говоря, \mathbb{T}^{n} — не просто гладкое многообразие, но n-мерное многообразие с плоской структурой). Например, \mathbb{T}^1 — «плоская» окружность, т.е. окружность с нулевой кривизной. Её можно представлять себе как отрезок [0,1] со склеенными концами.

Задача Коши (8.31), поставленная на n-мерном торе, т.е. для x \in \mathbb{T}^n , фактически эквивалентна задаче Коши с периодическими условиями по пространственным переменным:

\left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial u}{\partial t} = -a_1 (x,t) \frac{\partial u}{\partial x_1} - \ldots - a_n (x,t) \frac{\partial u}{\partial x_n} -b(x,t) u +f(x,t),\\ & u(x,0) = \varphi(x), x \in \mathbb{R}^n, \,\, u \left( x+e_{k}, t \right) \equiv u(x,t), \, k=1,\ldots,n.\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (8.41)

Здесь e_{k} — k-ый координатный орт. Предполагается, что коэффициенты уравнения, функция f и начальная функция \varphi удовлетворяют тем же периодическим условиям: a_{j} \left( x+e_{k} ,t \right) \equiv a_{j}(x,t) , b \left( x+e_{k},t \right) \equiv b(x,t) , f \left( x+e_{k},t \right) \equiv f(x,t) , \varphi \left( x+ e_k \right) = \varphi(x) , j,k=1,\ldots,n. То, что пространственные переменные теперь принадлежат компактному многообразию \mathbb{T}^n , значительно упрощает проблему: теперь не надо заботиться об уходе характеристик на «бесконечность».

В определении 2.10 (пар. 2.3 третьей главы) мы впервые сформулировали понятие корректно поставленной по Адамару краевой задачи. Оно легко адаптируется к стандартной задаче Коши (8.41), если фиксировать конечный момент времени T>0 и решать задачу в слое \Pi_{T} = \mathbb{T}^n \times (0,T) . Пространством данных (правых частей) в данном случае служит C \left( \overline{\Pi}_{T} \right) \times C^{1} \left( \mathbb{T}^n \right) , где f \in C \left( \overline{\Pi}_{T} \right) , \varphi \in C^1 \left( \mathbb{T}^n \right) . Пространство решений представляет собой C^{1} \left( \overline{\Pi}_T \right) . Все эти пространства снабжены нормами и полны, так что можно говорить об устойчивости решения.

Теорема 8.3. Пусть a_{k} \in C \left( \overline{\Pi}_T \right) , k =1,\ldots,n , b \in C \left( \overline{\Pi}_{T} \right) , векторное поле \vec{a} удовлетворяет условию Липшица в \overline{\Pi}_{T} по переменным x : существует константа L >0 , что для всех x^1, x^2 \in \mathbb{T}^{n} , t \in [0,T] справедливо неравенство \left| \vec{a} \left( x^1,t \right) - \vec{a} \left( x^2,t \right) \right| \leqslant L \left| x^1 - x^2 \right| . Тогда задача (8.41) корректна в классе пространств C^{1} \left( \overline{\Pi}_T \right) , C \left( \overline{\Pi}_{T} \right) \times C^{1} \left( \mathbb{T}^n \right) : для любых \varphi \in C^{1} \left( \mathbb{T}^n \right) , f \in C \left( \overline{\Pi}_{T} \right) существует единственное классическое решение u \in C^{1} \left( \overline{\Pi}_{T} \rigth) и верна априорная оценка

\| u \|_{C^{1} \left( \overline{\Pi}_{T} \right)} \leqslant C_1 \| f \|_{C \left( \overline{\Pi}_{T} \right)}+ C_2 \| \varphi \|_{C^{1} \left( \mathbb{T}^n \right)}\,\,\, (8.42)

с независящими от f и \varphi константами C_1, C_2 >0 .

Доказательство будет приведено позже.

Опубликовано Alexander Baikov

Добавить комментарий