Книга по УЧП: глава 1 ‘Классификация и канонический вид’

Я начал работу над книгой «Уравнения в частных производных» в начале 2022-го года, имея 10-летний опыт преподавания этой дисциплины. Опыт имеет один побочный эффект: с годами существующие учебники, специализированные монографии и конспекты лекций уважаемых коллег всё более отдаляются от созданного тобою курса. И тогда идея написания собственной книги с изложением классических результатов перестаёт казаться сумасшедшей. А в начале этого года я понял, что книгу придётся делить на два тома. Это не мегаломанство, но следование определённой цели: кроме теории включить в книгу изложение методов и достаточное число содержательных примеров. Объём моего курса не позволяет сделать это в одной книге, не превращая её в неподъёмный «кирпич».

В первом томе, получившем название «Уравнения в частных производных. Часть 1: эллиптические уравнения», будет семь глав. В первой главе, как и в большинстве учебников по уравнениям в частных производных, речь пойдёт о классификации и приведении к каноническому виду уравнений второго порядка. Классификация имеет фундаментальное значение в теории УЧП: свойства решений уравнений эллиптического типа отличаются от свойств решений уравнений параболического и, особенно, гиперболического типа, которым посвящён второй том книги. Задача о приведении к каноническому виду уравнений второго порядка решена в двух постановках: для уравнений с постоянными старшими коэффициентами и 2D уравнений с переменными старшими коэффициентами. В конце первой главы рассмотрен вопрос о том, какие преобразования оставляют инвариантным двумерное уравнение Лапласа.

1.1. Классификация полулинейных уравнений второго порядка в точке

Полулинейное уравнение второго порядка имеет вид

$\sum \limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + F \left( \nabla u,u,x \right) = 0. \,\,\, (1.1)$

Мы исследуем уравнение в области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ . Построим матрицу $A(x) = \left( a_{ij}(x) \right)_{i,j=1}^{n}$ . Без ограничения общности можно считать, что $A(x)^{T} =A(x)$ , т.е. $A(x)$ — симметрическая матрица. Действительно, для функций $u \in C^{2}(\Omega)$ имеем $u_{x_i x_j} = u_{x_j x_i}$ , откуда следует равенство

$\sum \limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} = \sum \limits_{i,j=1}^{n} \tilde{a}_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j},$

в котором коэффициенты $\tilde{a}_{ij}(x) = \frac{1}{2} \left( a_{ij}(x) + a_{ji}(x) \right)$ симметричны по индексам $i,j$ .

Зафиксируем точку $x^{0} \in \Omega$ и получим главный символ оператора уравнения (1.1). Он представляет собой квадратичную форму вида

$\mathcal{Q} \left( \xi; x^{0} \right) = \sum \limits_{i,j=1}^{n} a_{ij} \left( x^0 \right) \xi_i \xi_j = \xi^{T} A \left( x^0 \right) \xi.\,\,\, (1.2)$

Невырожденное линейное преобразование $\xi = S \eta$ преобразует квадратичную форму (1.2):

$\mathcal{Q} \left( \eta; x^0 \right) = (S \eta)^{T} A \left( x^0 \right) S \eta = \eta^T S^T A \left( x^0 \right) S \eta.$

Вспомним, что матрицы $A$ и $B=S^{T} A S$ называются конгруэнтными. Известно, что всякая квадратичная форма в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ допускает ортогональное преобразование $S$ , приводящее её к диагональному виду:

$S^{T} A \left( x^0 \right)S = \Lambda \left( x^0 \right) = \mathrm{diag} \left\{ \lambda_1 \left( x^0 \right),\ldots, \lambda_n \left( x^0 \right)\right\}$

(здесь на диагонали стоят собственные значения матрицы $A \left( x^0 \right)$ ). Кроме того, существует невырожденное линейное преобразование $\xi = R \eta$ , приводящее квадратичную форму $\mathcal{Q}$ к каноническому виду:

$R^{T} A \left( x^0 \right) R = \mathrm{diag} \left{ \sigma_1 \left( x^0 \right),\ldots, \sigma_n \left( x^0 \right)\right},$

где $\sigma_i \in \{1,-1,0\}$ . Если правильно расставить собственные значения, то $\sigma_i = \mathrm{sgn}\, \lambda_i$ . Квадратичную форму можно привести к каноническому виду методом Лагранжа (см. примеры во втором параграфе).

Тип уравнения (1.1) в точке $x^0$ полностью определяется главным символом в этой точке. Пусть $n_{+}$ — количество положительных собственных значений (с учётом кратности), $n_{-}$ — количество отрицательных собственных значений (с учётом кратности), $n_{0}$ — кратность нулевого собственного значения матрицы $A \left( x^0 \right)$ (или $n_0=0$ , если $\det A \left( x^0 \right) \ne 0$ ). Очевидно, что $n_{+}+n_{-}+n_{0}=n$ . Тогда

уравнение (1.1) имеет эллиптический тип в точке $x^{0}$ , если $n_{+}=n$ или $n_{-}=n$ ;
уравнение (1.1) имеет гиперболический тип в точке $x^{0}$ , если $n_{+}=n-1$ , $n_{-}=1$ или $n_{-}=1$ , $n_{+}=n-1$ ;
уравнение (1.1) имеет ультрагиперболический тип в точке $x^0$ , если $n_0 =0$ , $n_{+} > 1$ , $n_{-} > 1$ ;
уравнение (1.1) имеет параболический тип в точке $x^0$ , если $n_0=1$ , $n_{+}=n-1$ или $n_0=1$ , $n_{-}=n-1$ ;
уравнение (1.1) имеет вырожденный тип в точке $x^0$ , если $n_0>1$ или $n_{0}=1$ , $n_{-}>1$ , $n_{-}>1$ .

Отметим, что при умножении на любую (положительную или отрицательную) функцию, не равную нулю, тип уравнения не изменяется.

Пример 1.1. Определить тип а) уравнения Лапласа $u_{x_1 x_1} + \ldots+ u_{x_n x_n} = 0$ ; б) волнового уравнения $u_{tt} -u_{xx}-u_{yy}-u_{zz} = 0$ ; в) уравнения Трикоми $xu_{yy}-u_{xx}=0$ ; г) уравнения теплопроводности $u_{t}-u_{xx}=0$ .

Решение. а) Матрица коэффициентов старшей части есть единичная матрица, поэтому уравнение Лапласа имеет эллиптический тип. б) Матрица коэффициентов старшей части имеет диагональный вид $\mathrm{diag} \left\{ 1,-1,-1,-1 \right\}$ , следовательно $n_{+} = 1$ , $n_{-}=3$ , $n=4$ , волновое уравнение имеет гиперболический тип. в) Матрица коэффициентов старшей части есть $\mathrm{diag} \{-1,x\}$ , откуда следует, что при $x>0$ уравнение Трикоми имеет гиперболический тип, при $x<0$ — эллиптический тип, а если $x=0$ , то уравнение Трикоми имеет параболический тип (в этом примере мы встретились с уравнением смешанного типа, чей тип зависит от точки области); г) матрица коэффициентов старшей части есть $\mathrm{diag}\{0,1\}$ , так что уравнение теплопроводности имеет параболический тип.

1.2. Приведение к каноническому виду полулинейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

В этом параграфе рассматриваются полулинейные уравнения (1.1) с постоянными коэффициентами в старшей части. Тип таких уравнений, очевидно, не зависит от точки. Вспомним, что матрицей Гессе функции $u \in C^{2}(\Omega)$ называется квадратная матрица порядка $n$ , элементы которой — частные производные второго порядка этой функции: $H(u) = \left( u_{x_i x_j} \right)_{i,j=1}^{n}$ . Если нужно подчеркнуть, относительно каких переменных вычисляются производные, то будем использовать для этого нижний индекс. Перепишем уравнение (1.1) в виде

$\mathrm{tr} \left( A H_{x}(u) \right) + F \left( \nabla_{x} u,u,x \right) = 0,\,\,\, (1.3)$

где $\mathrm{tr}$ — след матрицы (сумма диагональных элементов). Сделаем невырожденную линейную замену переменных $y= Rx$ в уравнении (1.3):

$\mathrm{tr} \left( A R^{T} H_{y}(u) R \right) + F \left( R^T \nabla_{y} u,u, R^{-1} y \right) = 0. \,\,\, (1.4)$

Мы сохранили прежнее обозначение неизвестной функции после замены переменных — так будем поступать и далее. Мы использовали известные законы преобразования градиента и матрицы Гессе при линейной замене переменных: $\nabla_{x} u = R^T \nabla_{y} u$ , $H_{x}(u) = R^{T} H_{y}(u) R$ . Поскольку $\mathrm{tr} (PR) = \mathrm{tr} (RP)$ и след произведения нескольких матриц остаётся прежним при циклической перестановке сомножителей, уравнение (1.4) можно переписать в виде

$\mathrm{tr} \left( RA R^{T} H_{y}(u) \right) + F \left( R^T \nabla_{y} u,u, R^{-1} y \right) = 0.\,\,\, (1.5)$

Пусть $\xi = S \eta$ — ортогональное преобразование, приводящее главный символ уравнения (1.3) к диагональному виду: $\mathcal{Q}(\eta) = \lambda_1 \eta_1^2 + \ldots + \lambda_n \eta_n^2$ . Тогда замена $y=S^{T} x$ приводит уравнение к диагональному виду:

$\lambda_1 \frac{\partial^2 u}{\partial y_1^2} + \ldots + \lambda_n \frac{\partial^2 u}{\partial y_n^2} + F \left( S^T \nabla_{y} u,u, S^{-1} y \right) = 0.\,\,\, (1.6)$

Проблема в том, что поиск собственных значений и построение ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к диагональному виду, связаны с решением алгебраического уравнения $n$ -ой степени.

По определению ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение. Откажемся от этого требования и расширим класс допустимых преобразований до группы всех невырожденных линейных преобразований $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ . Тогда квадратичную форму $\mathcal{Q}$ можно привести к каноническому виду методом Лагранжа. Там строится обратное преобразование $\eta=P \xi$ , поэтому для приведения уравнения (1.3) к каноническому виду нужно сделать линейную замену переменных $y= P^{-T} x$ , где $P^{-T}= \left( P^{-1} \right)^{T} = \left(P^{T} \right)^{-1}$ — транспонированная обратная матрица. Опишем приведение к каноническому виду полулинейного уравнения (1.3) в следующем алгоритме.

Алгоритм 1.1. Дано: полулинейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в старшей части (1.3). Требуется: определить тип и привести уравнение к каноническому виду.

Записать главный символ оператора уравнения — квадратичную форму $\mathcal{Q} ( \xi ) =\xi^{T} A \xi$ .
Методом Лагранжа найти преобразование $\eta=P \xi$ , приводящее квадратичную форму $\mathcal{Q}$ к каноническому виду $\mathcal{Q} (\eta) = \sigma_1 \eta_1^2 + \ldots + \sigma_n \eta_n^2$ , где $\sigma_i \in \{1,-1,0\}$ ; определить тип уравнения.
Сделать замену переменных $y= P^{-T} x$ и записать канонический вид

$\sigma_1 \frac{\partial^2 u}{\partial y_1^2} + \ldots + \sigma_n \frac{\partial^2 u}{\partial y_n^2} + F \left( P^{-1} \nabla_{y} u,u, P^{T} y \right) = 0. \,\,\, (1.7)$

Пример 1.2. Определить тип и привести уравнение к каноническому виду:

$u_{xx} + 2 u_{xy}-2 u_{xz}+2u_{yy}+6 u_{zz} = 0.\,\,\, (1.8)$

Решение. Рассмотрим главный символ оператора (с соответствием $x \leftrightarrow \xi$ , $y \leftrightarrow \eta$ , $z \leftrightarrow \zeta$ ) и матрицу коэффициентов старшей части (она же матрица главного символа):

$\mathcal{Q}(\xi,\eta,\zeta) = \xi^2 + 2 \xi \eta-2\xi \zeta + 2 \eta^2 + 6 \zeta^2. \,\,\, (1.9)$

Приведём главный символ к каноническому виду методом Лагранжа:

$\mathcal{Q}(\xi,\eta,\zeta) = \left( \xi^2 + 2 \xi \eta-2\xi \zeta - 2 \eta \zeta +\eta^2 + \zeta^2 \right) + \eta^2 + 2 \eta \zeta + 5 \zeta^2 =$

$= (\xi + \eta - \zeta)^2 + (\eta + \zeta)^2 + (2 \zeta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2.$

Отсюда $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=1$ (знаки собственных значений главного символа), следовательно уравнение (1.8) имеет эллиптический тип. Замена, приводящая квадратичную форму (1.9) к каноническому виду, есть

Таким образом, замена, приводящая уравнение (1.8) к каноническому виду, представляет собой

$p=x,\, q=-x+y,\, r=x-\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z.$

Сам канонический вид уравнения можно восстановить по знакам собственных значений главного символа:

$u_{pp}+u_{qq}+u_{rr}=0.$

Получилось уравнение Лапласа в трёхмерном пространстве.

Пример 1.3. Определить тип и привести уравнение к каноническому виду:

$u_{xy}- u_{xz}+ u_{x}+u_{y}-u_{z} = 0.\,\,\, (1.10)$

Решение. Главный символ имеет вид

$\mathcal{Q}(\xi,\eta,\zeta) = \xi \eta-\xi \zeta.\,\,\, (1.11)$

(выдержано соответствие $x \leftrightarrow \xi$ , $y \leftrightarrow \eta$ , $z \leftrightarrow \zeta$ ). Проблема: в квадратичной форме (1.11) нет квадратов переменных, поэтому метод Лагранжа без дополнительных замен не работает. Чтобы исправить ситуацию, сделаем специальную замену $\xi = \mu + \nu$ , $\eta = \mu - \nu$ . Тогда

$\mathcal{Q} = (\mu+\nu)(\mu-\nu) - (\mu +\nu) \zeta = \mu^2 - \nu^2 - \mu \zeta - \nu \zeta =$

$=\left( \mu - \frac{1}{2} \zeta \right)^2 -\nu^2 -\nu \zeta -\frac{1}{4} \zeta^2 =\left( \mu - \frac{1}{2} \zeta \right)^2 - \left( \nu + \frac{1}{2} \zeta \right)^2 = \alpha^2 - \beta^2 + 0 \cdot \gamma^2,$

где $\alpha =\mu - \frac{1}{2} \zeta$ , $\beta =\nu + \frac{1}{2} \zeta$ . Поскольку знаки собственных значений главного символа есть $\sigma=1$ , $\sigma_2=-1$ , $\sigma_3=0$ , то, формально говоря, уравнение имеет вырожденный тип. Положим $\gamma = \frac{1}{2} \zeta$ и, учитывая обратную зависимость $\mu = \frac{1}{2} \xi + \frac{1}{2} \eta$ , $\nu = \frac{1}{2} \xi - \frac{1}{2} \eta$ , получим замену, приводящую главный символ к каноническому виду:

Замена, приводящая уравнение (1.10) к каноническому виду, есть

$p=x+y,\, q=x-y,\, r=2y + 2 z.$

Вычислим производные первого порядка: $u_{x} = u_{p} p_{x} + u_{q} q_{x} + u_{r} r_{x} =u_{p}+u_{q}$ , $u_{y} = u_{p}-u_{q}+2u_{r}$ , $u_{z} = 2 u_{r}$ . Получим канонический вид уравнения (1.10): $u_{pp}-u_{qq}+u_{p}+u_{q}+u_{p}-u_{q} + 2u_{r}-2u_{r}=0$ или

$u_{pp}-u_{qq}+2u_{p}=0.\,\,\, (1.12)$

В уравнении (1.12) переменная $r$ оказалась фиктивной в том смысле, что по этой переменной нет производных. Поэтому уравнение (1.12) имеет гиперболический тип как двумерное.

Можно сделать замену неизвестной функции, уничтожающую первые производные в каноническом виде (1.12). Действительно, пусть $u=e^{\alpha p} v$ , где $\alpha = \mathrm{const}$ , $v$ — новая неизвестная функция. Тогда $u_{p} = e^{\alpha p} v_{p} + \alpha e^{\alpha p} v$ , $u_{qq} = e^{\alpha p} v_{qq}$ , $u_{pp} = e^{\alpha p} v_{pp} + 2 \alpha e^{\alpha p} v_{p} + \alpha^2 e^{\alpha p} v$ . Подстановка этих выражений и сокращение на $e^{\alpha p}$ преобразует уравнение (1.12) следующим образом:

$v_{pp}-v_{qq}+(2\alpha+2) v_{p}+\left( \alpha^2 +2 \alpha \right) v =0.$

Положим $\alpha=-1$ , тогда уравнение принимает вид, свободный от производных первого порядка:

$v_{pp}-v_{qq}- v =0$ — уравнение Клейна-Гордона.

1.3. Приведение 2D полулинейных уравнений с переменными коэффициентами к каноническому виду

Задача о приведении к каноническому виду полулинейного уравнения с тремя или большим числом переменным в окрестности точки, где оно имеет, например, эллиптический тип, может иметь преграды непреодолимого характера. Рассмотрим пример уравнения

$u_{xx}+u_{yy}+ k(x,y,z) u_{zz}=0,\,\,\, (1.13)$

где $k$ — гладкая и положительная в $\mathbb{R}^3$ функция, например, $k(x,y,z) = 1+x^2+y^2+z^2$ . Очевидно, уравнение (1.13) имеет эллиптический тип во всём пространстве. С помощью теперь уже нелинейной замены независимых переменных $\xi = x$ , $\eta = y$ , $\zeta = \zeta(x,y,z)$ мы желаем получить уравнение с канонической старшей частью: $u_{\xi \xi} + u_{\eta \eta} + u_{\zeta \zeta} + \ldots =0$ (многоточие здесь и далее везде в этом примере означает младшую часть уравнения — мы не будем её указывать, так как на канонический вид она не влияет). Если из-за каких либо свойств функции $k$ не получится найти $C^2$ -диффеоморфизм всего пространства (т.е. обратимую замену, такую, что обратная замена тоже класса $C^2$ ), то задачу будем решать в локальной постановке. После указанной замены уравнение (1.13) принимает вид

$u_{\xi \xi } + u_{\eta \eta } + \left( k \zeta_z^2 + \zeta_x^2 + \zeta_y^2 \right) u_{\zeta \zeta} + 2 u_{\xi \zeta} \zeta_{x} + 2 u_{\eta \zeta} \zeta_y +\ldots = 0.\,\,\, (1.14)$

Чтобы старшая часть уравнения (1.14) имела канонический вид, необходимо потребовать (для отсутствия членов со смешанными производными) $\xi_x=0$ , $\xi_y=0$ . Но тогда коэффициент при $u_{\zeta \zeta}$ , который в каноническом виде должен быть равен единице, требует $\zeta_{z} = \frac{1}{\sqrt{k(x,y,z)}}$ . Очевидно, что функция $\zeta=\zeta(x,y,z)$ , не зависящая от $x$ и $y$ , не может быть решением последнего уравнения, если функция $k$ от этих переменных зависит.

Мы рассмотрели частный класс замен, призванных привести уравнение (1.13) к каноническому виду, но свою задачу он не выполнил. Можно было бы рассмотреть замены более широкого класса, но радикального решения проблемы это не даст. Особый интерес представляют уравнения (не обязательного эллиптического типа), для которых существуют замены, приводящие старшие части к каноническому виду. Но этот интерес скорее относится к дифференциальной геометрии, нежели к уравнениям в частных производных.

Счастливым исключением, когда проблема о приведении к каноническому виду удовлетворительно разрешима (по крайней мере локально) для произвольных (класса $C^{1}$ ) коэффициентов старшей части, служат 2D полулинейные уравнения вида

$a(x,y) u_{xx} + 2 b (x,y) u_{xy} + c(x,y) u_{yy} + F(u_x,u_y,u,x,y)=0.\,\,\, (1.15)$

Здесь $a, b, c$ — «хорошие» функции в области $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ (нам хватит $a,b,c \in C^{1}(\Omega)$ ), $F$ — непрерывная функция. Сделаем замену переменных

$\xi = \xi(x,y),\, \eta = \eta (x,y),\,\,\, (1.16)$

где $\xi, \eta \in C^{2}(\Omega)$ . Предполагаем, что замена (или преобразование) (1.16) — диффеоморфизм: 1) существует обратная замена $x = x(\xi,\eta)$ , $y=y(\xi,\eta)$ ; 2) якобиан

$\left| \begin{matrix} \xi_x & \xi_y \\ \eta_x & \eta_y\\ \end{matrix} \right| \ne 0$ (невырожденность замены (1.16)).

В новых переменных уравнение (1.15) имеет вид

$\tilde{a} u_{\xi \xi} + 2 \tilde{b} u_{\xi \eta} + \tilde{c} u_{\eta \eta} + F\left( u_x,u_y,u,x(\xi,\eta),y(\xi,\eta) \right)=0, \,\,\, (1.17)$

где, согласно цепному правилу, $u_{x} = u_{\xi} \xi_{x} + u_{\eta} \eta_{x}$ , $u_{y} = u_{\xi} \xi_{y} + u_{\eta} \eta_{y}$ . Выпишем выражения для коэффициентов старшей части преобразованного уравнения (1.17):

$\begin{aligned} & \tilde{a} = a \xi_x^2 + 2 b \xi_x \xi_y + c \xi_y^2,\\ & \tilde{b} = a \xi_x \eta_x + b \left( \xi_x \eta_y + \xi_y \eta_x \right) + c \xi_y \eta_y, \\ & \tilde{c} = a \eta_x^2 + 2 b \eta_x \eta_y + c \eta_y^2. \end{aligned}$ .

Установим тип уравнения (1.15). Матрица коэффициентов старшей части $A = \left( \begin{matrix} a & b\\ b & c\ \end{matrix} \right)$ , характеристическое уравнение для неё есть

$k^2 - (a+c) k + ac-b^2 =0.$

Имеем $k_1 k_2 = ac - b^2$ , следовательно, тип уравнения можно однозначно восстановить по определителю матрицы $A$ .

Если $-\det A = b^2 - ac >0$ , то уравнение (1.15) имеет гиперболический тип. Канонический вид можно получить, если найти такую замену (1.16), что $\tilde{a}=-\tilde{c} \ne 0$ , $\tilde{b}=0$ в той части области $\Omega$ , где уравнение (1.15) имеет гиперболический тип.
При $-\det A = b^2 - ac =0$ , но $a+c \ne 0$ , уравнение (1.15) имеет параболический тип. Чтобы получить канонический вид, нужно найти такую замену (1.16), для которой $\tilde{a}=\tilde{b}=0$ , $\tilde{c} \ne 0$ в подобласти параболического типа.
Если $-\det A = b^2 - ac <0$ , то уравнение (1.15) имеет эллиптический тип. Замена (1.16), обеспечивающая приведение уравнения к каноническому виду в эллиптической части области $\Omega$ , должна приводить к $\tilde{a}=\tilde{c} \ne 0$ , $\tilde{b}=0$ .

Задачу о приведении уравнения (1.15) к каноническому виду будем решать в локальной постановке. Отметим, что если уравнение (1.15) имеет гиперболический (эллиптический) тип в точке $\left( x^0 ,y^0 \right) \in \Omega$ , то оно (в силу непрерывности старших коэффициентов) имеет такой же тип в некоторой окрестности этой точки. Однако точка параболического типа может не быть внутренней (см. пример 1.4 с уравнением Трикоми). Кроме того, из невырожденности замены (1.16) следует её локальная обратимость (по теореме об обратном отображении). Начнём с более простого, но одновременно ключевого случая гиперболического типа.

Гиперболический тип. Вопреки ожидаемому каноническому виду, в котором $\tilde{a}=-\tilde{c} \ne 0$ , $\tilde{b}=0$ , найдём такую замену переменных, что в преобразованном уравнении $\tilde{a}=\tilde{c} = 0$ , $\tilde{b} \ne 0$ . Если такая замена существует, то уравнение (1.15) приводится к виду $u_{\xi \eta} + \ldots =0$ (многоточие здесь и далее означает члены, содержащие только неизвестную функцию и её первые производные). Это так называемый второй канонический вид 2D уравнения гиперболического типа. Вернуться к первому каноническому виду можно с помощью линейной замены, но заметим, что второй канонический вид удобнее для работы с гиперболическим уравнением (см. главу 9 «Задача Коши»).

Поиск замены связан с исследованием уравнения в частных производных первого порядка

$a \xi_x^2 + 2 b \xi_x \xi_y + c \xi_y^2 =0.\,\,\, (1.18)$

А именно: требуется найти два независимых решения $\varphi$ и $\psi$ уравнения (1.18), сделать невырожденную замену $\xi = \varphi(x,y)$ , $\eta = \psi (x,y)$ , и проверить, что для этой замены $\tilde{b} \ne 0$ . Предположим, что коэффициент $a \ne 0$ в окрестности точки $\left( x^0 ,y^0 \right) \in \Omega$ гиперболического типа. Так как $b^2-ac>0$ , уравнение (1.18) допускает факторизацию

$a \left(\xi_x - \lambda_1 \xi_y \right) \left( \xi_x - \lambda_2 \xi_y \right)=0,$

где $\lambda_1$ , $\lambda_2$ — вещественные корни квадратного уравнения

$a \lambda^2 + 2 b \lambda + c =0.\,\,\, (1.19)$

Замечание 1.1. Если $a=0$ , но $c \ne 0$ в точке гиперболического типа, то рассуждения аналогичные (переменные $x$ и $y$ меняются ролями). Если же $a=c=0$ в точке гиперболического типа, то нужно сделать специальную линейную замену переменных (как в методе Лагранжа, когда отсутствуют квадраты переменных — см. пример 1.3), и тогда соответствующие коэффициенты в преобразованном уравнении будут отличны от нуля.

Рассмотрим уравнение в частных производных первого порядка $\xi_x - \lambda_1 \xi_y =0$ . Пусть $\xi = \varphi(x,y)$ — нетривиальное (отличное от постоянного) частное решение этого уравнения, градиентное векторное поле которого не равно нулю в окрестности точки гиперболического типа. Тогда $\varphi(x,y)=C_1$ есть общий интеграл дифференциального уравнения $dy+\lambda_1 dx = 0$ . Действительно,

$d \varphi = \varphi_x dx + \varphi_y dy = \lambda_1 \varphi_y dx + \varphi_y dy = \varphi_y \left( \lambda_1 dx + dy \right),$

поэтому $d \varphi =0$ тогда и только тогда, когда $\lambda_1 dx + dy = 0$ (если $\varphi_{y}=0$ , то из равенства $\varphi_x - \lambda_1 \varphi_y =0$ следует, что и $\varphi_x=0$ , но по условию градиент функции не равен нулю в точке $\left( x^0 ,y^0 \right) \in \Omega$ и её окрестности).

Замечание 1.2. Общий интеграл $\varphi(x,y)=C_1$ обыкновенного дифференциального уравнения $dy+\lambda_1 dx = 0$ , эквивалентного явному уравнению $y' = -\lambda_1$ , всегда имеет то свойство, что $\varphi_y \ne 0$ , поэтому требование ненулевого градиентного векторного поля для него избыточно.

Аналогично, если $\eta = \psi(x,y)$ — нетривиальное частное решение уравнения $\eta_x - \lambda_2 \eta_y =0$ , то $\psi(x,y)=C_2$ — общий интеграл уравнения $dy+\lambda_2 dx = 0$ . Верно и обратное утверждение: если $\varphi(x,y)=C_1$ ( $\psi(x,y)=C_2$ ) — общий интеграл уравнения $dy+\lambda_1 dx = 0$ ( $dy+\lambda_2 dx = 0$ ), то $\xi = \varphi(x,y)$ ( $\eta = \psi(x,y)$ ) — нетривиальное частное решение уравнения $\xi_x - \lambda_1 \xi_y =0$ ( $\eta_x - \lambda_2 \eta_y =0$ ). Из известных теорем теории ОДУ следует существование общих интегралов $\varphi(x,y)=C_1$ , $\psi(x,y)=C_2$ соответствующих уравнений в окрестности точки гиперболического типа (благодаря тому, что $\lambda_1$ , $\lambda_2$ — функции класса $C^1$ ); кроме того, функции $\varphi$ и $\psi$ в этих интегралах имеют класс $C^2$ .

Умножим формально уравнения $dy + \lambda_j dx =0$ , $j=1,2$ , друг на друга и на коэффициент $a$ : $a \left( dy + \lambda_1 dx \right) \left( dy + \lambda_2 dx \right) =0$ или

$a (dy)^2 + a \left( \lambda_1 + \lambda_2 \right) dy dx + a \lambda_1 \lambda_2 (dx)^2=0.$

С учётом того, что $\lambda_1$ , $\lambda_2$ — корни уравнения (1.19), получим

$a(x,y) (dy)^2 - 2 b(x,y) dy dx + c(x,y) (dx)^2=0.\,\,\, (1.20)$

Определение 1.1. Уравнение (1.20) называется уравнением характеристик для уравнения (1.15). Характеристики — интегральные кривые уравнения (1.20).

Таким образом, уравнение характеристик (1.20) имеет в окрестности точки гиперболического типа два трансверсальных семейства характеристик $\varphi(x,y)=C_1$ и $\psi(x,y)=C_2$ (см. рис. справа). Действительно, из $b^2-ac>0$ следует, что $\lambda_1 \ne \lambda_2$ , поэтому градиенты функций $\varphi$ и $\psi$ независимы. Другими словами, замена $\xi=\varphi(x,y)$ , $\eta=\psi(x,y)$ невырождена.

Итак, $\tilde{a} =0$ , $\tilde{c} =0$ , а из трансверсальности также следует, что $\tilde{b} \ne 0$ . Указанная замена приводит уравнение (1.15) в окрестности точки гиперболического типа к виду $2 \tilde{b} u_{\xi \eta} + \ldots =0$ . После сокращения на $2 \tilde{b}$ получается второй канонический вид. Подведём итоги в теореме.

Теорема 1.1. Пусть $b^2 - ac >0$ в точке $(x_0,y_0) \in \Omega$ , тогда уравнение (1.15) имеет гиперболический тип и существует невырожденная $C^2$ -замена, приводящая уравнение в некоторой окрестности указанной точки ко второму каноническому виду $u_{\xi \eta} + \ldots =0$ .

Параболический тип. Предположим, что $b^2 - a c =0$ во всей окрестности точки, где уравнение (1.15) имеет параболический тип. При этом $a+c \ne 0$ в этой окрестности, т.е. не происходит вырождение порядка. Уравнение характеристик (1.20), имеющее кратный корень, можно представить в виде $(P dx - Q dy)^2 =0$ . Таким образом, уравнение параболического типа имеет одно семейство характеристик $\varphi(x,y)=C_1$ — интеграл уравнения $P dx - Q dy=0$ (заметим, что $|P| + |Q|>0$ в окрестности параболического типа), но для замены нужна ещё какая-нибудь $C^2$ -функция, причём такая, что якобиан замены $\xi =\varphi(x,y)$ , $\eta =\psi(x,y)$ не равен нулю.

Такая функция $\psi$ всегда существует. Уточним, во-первых, связь уравнения (1.20) с уравнением $(P dx - Q dy)^2 =0$ . Раскрывая скобки, получим

$P^2 dx^2 -2 PQ dx dy + Q^2 dy^2 =0.\,\,\, (1.21)$

Уравнение (1.21) связано с уравнением характеристик множителем $\mu \ne 0$ в окрестности параболического типа: $Q^2 = \mu a$ , $P^2 = \mu c$ , $PQ = \mu b$ . Дифференциальному уравнению $P dx - Q dy=0$ соответствует векторное поле $Q \vec{e}_{x} + P \vec{e}_{y}$ . Рассмотрим ортогональное ему векторное поле $-P\vec{e}_{x} + Q \vec{e}_{y}$ . Тогда общий интеграл $\psi(x,y)=C_2$ уравнения $Q dx + Pdy=0$ даст требуемую функцию $\psi$ (напомним, что независимость градиентов есть геометрическое выражение невырожденности замены).

Получим теперь канонический вид, предполагая невырожденность замены $\xi =\varphi(x,y)$ , $\eta =\psi(x,y)$ (функция $\psi$ не обязательно построена указанным выше способом). Так как $\varphi(x,y)=C_1$ — интеграл уравнения характеристик, то $Q \varphi_{x} + P \varphi_{y} = 0$ . Имеем

$\begin{aligned} & \mu \tilde{a} = Q^2 \varphi_x^2 + 2PQ \varphi_x \varphi_y + P^2 \varphi_y^2 = \left( Q \varphi_{x} + P \varphi_{y} \right)^2 =0, \\ & \mu \tilde{b} =Q^2 \varphi_{x} \psi_x + QP \left( \varphi_{x} \psi_{y} + \varphi_{y} \psi_{x} \right) + P^2 \varphi_{y} \psi_{y} = \\ & = \left( \psi_x Q + \psi_y P \right) \left( Q \varphi_x + P \varphi_{y} \right) = 0. \end{aligned}$

Однако $\tilde{c} = \frac{1}{\mu} \left( Q \psi_{x} + P \psi_{y} \right)^2 \ne 0$ , потому что иначе $\left| \begin{matrix} \varphi_x & \varphi_y \\ \psi_x & \psi_y \\ \end{matrix} \right| =0$ , следовательно, преобразованное уравнение есть $\tilde{c} u_{\eta \eta} + \ldots = 0$ , и после сокращения на $\tilde{c}$ получаем канонический вид параболического типа.

Теорема 1.2. Пусть $b^2 - ac =0$ и $a+c \ne 0$ в окрестности точки $(x_0,y_0) \in \Omega$ , тогда уравнение (1.15) имеет параболический тип в этой окрестности и существует невырожденная $C^2$ -замена, приводящая уравнение к каноническому виду $u_{\eta \eta} + \ldots =0$ (возможно, в другой окрестности, входящей в первую).

Эллиптический тип. Если $b^2 - a c <0$ , то уравнение (1.19) имеет пару комплексно сопряжённых корней $\lambda = \alpha + i \beta$ , $\overline{\lambda} = \alpha - i \beta$ . Легко видеть, что в этом случае $a\ne0$ и $c \ne 0$ . Уравнение (1.20) можно факторизовать, используя комплекснозначные функции как

$a \left( dy + \lambda dx \right) \left( dy + \overline{\lambda} dx \right) =0.$

Для поиска замены, приводящей уравнение эллиптического типа к каноническому виду, нужно прежде всего понять, что такое общий интеграл уравнения $dy + \lambda dx=0$ с функцией $\lambda = \alpha + i \beta$ , принимающей комплексные значения. Рассмотрим выражение $\varphi(x,y) + i \psi (x,y)=C$ , где $\varphi$ , $\psi$ — вещественнозначные функции (действительная и мнимая часть будущего комплексного общего интеграла), и возьмём от него дифференциал:

$\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) dx + \left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} + i \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) dy=0.$

Объединим последнее уравнение с уравнением $dy + \lambda dx=0$ в систему

$\left\{ \begin{aligned} & (\alpha + i \beta) dx + dy = 0, \\ & \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) dx +\left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} + i \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) dy=0. \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (1.22)$

Система (1.22) называется системой Пфаффа. Пфаффовы системы включают в себя не алгебраические или дифференциальные уравнения, но уравнения с дифференциальнымим формами. Легко видеть, что система (1.22) имеет нетривиальные относительно $dx$ , $dy$ решения тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю:

$\left| \begin{matrix} \alpha + i \beta & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} + i \frac{\partial \psi}{\partial y} \\ \end{matrix} \right| =0.$

Раскрывая этот определитель, приравнивая отдельно действительную часть и мнимую часть к нулю, получим систему двух уравнений в частных производных первого порядка с двумя неизвестными функциями $\varphi$ , $\psi$ :

$\left\{ \begin{aligned} & \alpha \frac{\partial \varphi}{\partial y} - \beta \frac{\partial \psi}{\partial y} - \frac{\partial \varphi}{\partial x}=0, \\ & \alpha \frac{\partial \psi}{\partial y} + \beta \frac{\partial \varphi}{\partial y} - \frac{\partial \psi}{\partial x}=0. \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (1.23)$

Определение 1.2. Соотношение $\varphi(x,y) + i \psi (x,y)=C$ есть комплексный общий интеграл уравнения $dy + (\alpha+i \beta) dx=0$ , если функции $\varphi$ и $\psi$ удовлетворяют системе (1.23) и $\left( \varphi_y \right)^2 + \left( \psi_y \right)^2 \ne 0$ .

Неравенство в определении 1.2 исключает, что тривиальные (постоянные) решения системы (1.23) составят общий интеграл дифференциального уравнения $dy + \lambda dx =0$ . Мы отложим исследование системы (1.23) до главы 9 «Задача Коши». Здесь проверим, что замена $\xi = \varphi(x,y)$ , $\eta=\psi(x,y)$ , удовлетворяющая определению 1.2, невырождена и приводит уравнение (1.15) к каноническому виду в окрестности точки эллиптического типа. Заметим, что $\alpha = -\frac{b}{a}$ , $\beta = \frac{ca-b^2}{a^2}$ , поскольку $\lambda$ , $\overline{\lambda}$ — корни уравнения (1.19). Выразим производные по переменной $x$ из системы (1.23): $\varphi_{x} = \alpha \varphi_{y} -\beta \psi_{y}$ , $\psi_{x} = \alpha \psi_{y} + \beta \varphi_{y}$ . Сначала проверим коэффициент $\tilde{b}$ :

$\begin{aligned} & \tilde{b} = a \left( \alpha \varphi_{y} - \beta \psi_{y} \right) \left( \alpha \psi_{y} + \beta \varphi_{y} \right) + b \left(\alpha \varphi_{y} -\beta \psi_{y} \right) \psi_y + b \left( \alpha \psi_{y} + \beta \varphi_{y} \right) \varphi_y +c \varphi_y \psi_y=\\ & = \beta \left(a \alpha + b \right) \varphi_{y}^2 + \beta \left( -a \alpha - b \right) \psi_{y}^2 + \left(a \alpha^2 - a \beta^2 +2 b \alpha+c \right) \varphi_{y} \psi_{y} =0. \\ \end{aligned}$

Следом проверим разность $\tilde{a}-\tilde{c}$ :

$\begin{aligned} & \tilde{a}-\tilde{c}= a \left( \alpha \varphi_{y} -\beta \psi_{y} \right) ^2 + 2b \left( \alpha \varphi_{y} -\beta \psi_{y} \right) \varphi_y + c \varphi_y^2 -a \left( \alpha \psi_{y} + \beta \varphi_{y} \right)^2 - \\ & -2 b \left( \alpha \psi_{y} + \beta \varphi_{y} \right) \psi_y - c \psi_y^2=\left( a \alpha^2 + 2b\alpha+c -a \beta^2 \right) \varphi_y^2 +\left( a \beta^2 - a \alpha^2 - \right. \\ & \left.- 2 b \alpha- c \right) \psi_y^2 + \left( -2 a \alpha -2 b \beta - 2 a\alpha \beta -2 b \beta \right) \varphi_{y} \psi_{y} = 0. \\ \end{aligned}$

Все коэффициенты оказались равны нулю; покажем это на примере коэффициента при $\varphi_{y}^2$ :

$a \alpha^2 + 2b\alpha+c -a \beta^2 = a \frac{b^2}{a^2} - 2 b \frac{b}{a} + c -a \frac{ca-b^2}{a^2} = \frac{b^2 -2 b^2 + ac - ca + b^2 }{a}=0.$

Проверим невырожденность замены с функциями $\varphi$ , $\psi$ , удовлетворяющие определению 1.2:

$\left| \begin{matrix} \varphi_x & \varphi_y \\ \psi_x & \psi_y \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \alpha \varphi_{y} -\beta \psi_{y} & \varphi_y \\ \alpha \psi_{y} + \beta \varphi_{y} & \psi_y \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} -\beta \psi_y & \beta \varphi_y \\ \psi_x & \psi_y \\ \end{matrix} \right| = - \beta \left( \psi_y^2 + \varphi_y^2\right) \ne 0.$

Теорема 1.3. Пусть $b^2 - ac <0$ в точке $(x_0,y_0) \in \Omega$ , тогда уравнение (1.15) имеет эллиптический тип. Если существует комплексный общий интеграл, удовлетворяющий определению 1.2, то существует невырожденная $C^2$ -замена, приводящая уравнение в окрестности указанной точки ко второму каноническому виду $u_{\xi \xi} + u_{\eta \eta} + \ldots =0$ .

Пример 1.4. Определить тип и привести к каноническому виду уравнение Трикоми

$u_{xx} - x u_{yy} = 0.\,\,\, (1.24)$

Решение. Имеем $a=1$ , $b=0$ , $c=-x$ ; уравнение характеристик есть

$(dy)^2 - x (dx)^2=0 \,\,\, (1.25)$

или $(y')^2=x$ . Определим тип уравнения Трикоми:

$b^2-ac=x>0$ — область гиперболического типа;
$b^2-ac=x<0$ — область эллиптического типа;
$b^2-ac=x=0$ , $a+c = 1 \ne 0$ — множество точек параболического типа (прямая $x=0$ ).

Параболическое множество внутренних точек не имеет, поэтому задачу о приведении к каноническому виду для него не решаем.

1) В области гиперболического типа — полуплоскости $\{ x>0 \}$ — разложим уравнение характеристик (1.25) на множители:

$\left( dy + \sqrt{x} dx \right) \left( dy - \sqrt{x} dx\right) =0.$

Интегрирование уравнения $dy + \sqrt{x} dx =0$ даёт первое семейство характеристик $y+\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} =C_1$ , интегрирование уравнения $dy - \sqrt{x} dx =0$ — второе семейство характеристик $y-\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} =C_1$ . Замена, приводящая уравнение Трикоми к каноническому виду, есть

$\xi = y+\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ , $\eta = y-\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}. \,\,\, (1.26)$

Выразим производные относительно старых переменных через производные относительно новых переменных:

$u_{x} = u_{\xi} \xi_{x} + u_{\eta} \eta_{x} = u_{\xi} \sqrt{x} - u_{\eta} \sqrt{x}$ , $u_{y} = u_{\xi} \xi_{y} + u_{\eta} \eta_{y} = u_{\xi} +u_{\eta}$ ;
$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left( u_{\xi} \sqrt{x} - u_{\eta} \sqrt{x} \right) =\sqrt{x}( u_{\xi}){x}-\sqrt{x}(u{\eta}){x} +\frac{1}{2 \sqrt{x}} u{\xi} -\frac{1}{2 \sqrt{x}} u_{\eta} =$ $=x u_{\xi\xi} -2x u_{\xi \eta} + x u_{\eta \eta} +\frac{1}{2 \sqrt{x}} u_{\xi} -\frac{1}{2 \sqrt{x}} u_{\eta}$ ;
$u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left( u_{\xi}+ u_{\eta} \right) = u_{\xi \xi} + 2 u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta}.$

Получим канонический вид уравнения:

$x u_{\xi\xi} -2x u_{\xi \eta} + x u_{\eta \eta} +\frac{1}{2 \sqrt{x}} u_{\xi} -\frac{1}{2 \sqrt{x}} u_{\eta} - x u {\xi \xi} - 2x u{\xi \eta} -x u_{\eta \eta}=0$

или

$u_{\xi \eta} -\frac{u_{\xi} - u_{\eta}}{8x\sqrt{x}}=0.\,\,\, (1.27)$

В уравнении (1.27) осталась старая переменная $x$ . Из (1.26) следует, что $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} = \xi - \eta$ или $8 x^{\frac{3}{2}} = 6(\xi - \eta)$ . Итак, канонический вид уравнения Трикоми в области гиперболического типа есть

$u_{\xi \eta} -\frac{u_{\xi} - u_{\eta}}{6 (\xi -\eta)}=0$ , $\xi > \eta.\,\,\, (1.28)$

2) Факторизуем уравнение характеристик (1.25) в области эллиптического типа — полуплоскости $\{ x< 0 \}$ :

$\left( dy + i \sqrt{-x} dx \right)\left( dy - i \sqrt{-x} dx \right) = 0.$

Уравнение $dy + i \sqrt{-x} dx = 0$ немедленно интегрируется: $y- \frac{2}{3}i (-x)^{\frac{3}{2}}=C$ . Отсюда замена, приводящая уравнение Трикоми в области эллиптического типа к каноническому виду, есть

$\xi = -\frac{2}{3} (-x)^{\frac{3}{2}}$ , $\eta=y.\,\,\, (1.29)$

Выразим производные относительно старых переменных через производные относительно новых переменных:

$u_{x} = u_{\xi} \sqrt{-x}$ , $u_{y} = u_{\eta}$ ;
$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left( u_{\xi} \sqrt{-x}\right) =-x u_{\xi \xi} - \frac{1}{2\sqrt{-x}} u_{\xi}$ , $u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left( u_{\eta} \right) = u_{\eta \eta}$ .

Получим канонический вид уравнения:

$-x u_{\xi \xi} - \frac{1}{2\sqrt{-x}} u_{\xi} - x u_{\eta \eta} = 0$ или $u_{\xi \xi}+u_{\eta \eta} + \frac{1}{-2(-x)^{\frac{3}{2}}} u_{\xi} =0.$

Из (1.29) следует, что $-2 (-x)^{\frac{3}{2}}= 3 \xi$ . Таким образом, канонический вид уравнения Трикоми в области эллиптического типа есть

$u_{\xi \xi} + u_{\eta \eta} +\frac{1}{3 \xi} u_{\xi} = 0$ , $\xi <0.\,\,\, (1.30)$

Построим характеристики уравнения Трикоми в области гиперболического типа. Имеем $y \pm \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} =C$ или $9 (y-C)^2= 4 x^3$ — полукубические параболы с точками возврата (каспами) $(0,C)$ , лежащими на прямой $\{ x=0 \}$ параболического типа уравнения (1.24).

На рис. справа красным цветом показаны характеристики из семейства $y+\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} =C_1$ , синим цветом — характеристики из семейства $y-\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} =C_1$ . Мы видим в полуплоскости гиперболического типа два трансверсальных семейства характеристик.

Пример 1.5. Определить тип и привести к каноническому виду уравнение

$y^2 u_{xx} +2y u_{xy} + u_{yy} = 0. \,\,\, (1.31)$

Решение. $a=y^2$ , $b=y$ , $c=1$ , уравнение характеристик имеет вид

$y^2 (dy)^2-2y dy dx + (dx)^2=0.\,\,\, (1.32)$

Уравнение (1.31) имеет параболический тип в $\mathbb{R}^2$ , так как $b^2-ac= y^2-y^2=0$ , $a+c = y^2+1>0$ . Левая часть уравнения (1.32) есть полный квадрат: $(y dy - dx)^2 = 0.$ Найдём семейство характеристик уравнений (1.31): общий интеграл уравнения в полных дифференциалах $y dy - dx =0$ есть $2x - y^2 = C_1$ . На рис. 1.3 характеристики (параболы) выделены красным цветом. Таким образом, $\xi = 2x-y^2$ — первая новая переменная.

Семейством линий, трансверсальных семейству характеристик на всей плоскости, могут служить прямые $y=C_2$ (синие на рис. cлева). Поэтому замена, приводящая уравнение (1. 31) к каноническому виду, есть $\xi = 2x-y^2$ , $\eta=y$ . Обратная замена имеет вид $x = \frac{1}{2} \left( \xi + \eta^2 \right)$ , $y=\eta$ .

Находим производные:

$u_{x} = 2 u_{\xi}$ , $u_{y} = -2y u_{\xi} + u_{\eta}$ ;
$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2 u_{\xi} \right) = 4 u_{\xi \xi}$ , $u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2 u_{\xi} \right) = -4 y u_{\xi \xi}+2 u_{\xi \eta}$ ;
$u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y} \left( -2y u_{\xi} + u_{\eta} \right) = 4y^2 u_{\xi \xi} -4 y u_{\xi \eta}+u_{\eta \eta} -2 u_{\xi}.$

Получим канонический вид уравнения:

$4y^2 u_{\xi \xi} -4 y u_{\xi \eta}+u_{\eta \eta} - 8 y^2 u_{\xi \xi} + 4 y u_{\xi \eta} + 4 y^2 u_{\xi \eta}-2 u_{\xi}=0$

или $u_{\eta \eta} - 2 u_{\xi}=0$ — уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной $\eta$ и переменной времени $\xi$ .

1.4. Симметрии двумерного уравнения Лапласа

Рассмотрим $C^2$ -диффеоморфизм областей $\Omega$ и $Q$ : $\Omega \ni (x,y) \mapsto (\xi,\eta) \in Q$ . Выясним, как преобразуется уравнение Лапласа $\Delta u = 0$ в области $\Omega$ при замене $\xi=\xi(x,y)$ , $\eta=\eta(x,y)$ , и при каких условиях на эту замену уравнение Лапласа остаётся без изменений (возможно, после сокращения на ненулевой общий множитель). Общий вид преобразованного уравнения Лапласа:

$\tilde{a} u_{\xi \xi} + 2 \tilde{b} u_{\xi \eta} + \tilde{c} u_{\eta \eta} + u_{\xi} \left( \xi_{xx} + \xi_{yy} \right) + u_{\eta} \left( \eta_{xx} + \eta_{yy} \right)=0,\,\,\, (1.33)$

где $\tilde{a} = \xi_x^2 + \xi_y^2$ , $\tilde{c} = \eta_x^2 + \eta_y^2$ , $\tilde{b}=\xi_{x} \eta_{x} + \xi_{y} \eta_{y}$ . Когда уравнение (1.33) есть уравнение Лапласа в области $Q$ ? Условие $\tilde{b}=0$ эквивалентно соотношению

$\left| \begin{matrix} \xi_x & -\xi_y \\ \eta_y & \eta_x \\ \end{matrix} \right| = 0.\,\,\, (1.34)$

Условие (1.34) может быть представлено в виде

$\xi_x = k \eta_y$ , $\xi_y = -k \eta_x.\,\,\, (1.35)$

Но тогда соотношение $\tilde{a}=\tilde{c}$ равносильно тому, что $k^2=1$ . При $k=1$ условия (1.35) означают, что рассматриваем диффеоморфизм — конформный изоморфизм областей $\Omega$ и $Q$ первого рода, при $k=-1$ —конформный изоморфизм второго рода. В обоих случаях $\xi_{xx}+\xi_{yy}=0$ , $\eta_{xx}+\eta_{yy}=0$ .

Итак, конформные изоморфизмы и только они служат симметриями уравнения Лапласа. Если $\Omega=Q$ , то их множество образует группу (относительно композиции) конформных автоморфизмов $\mathrm{Conf}(\Omega)$ . У последней есть подгруппа конформных автоморфизмов первого рода. Они, как известно из теории функций комплексной переменной, связаны с голоморфными функциями. А именно, если стандартным образом отождествить $\mathbb{R}^2$ с комплексной плоскостью $\mathbb{C}$ , то конформный изоморфизм первого рода есть голоморфная функция $f: \Omega \to Q$ , причём $f'(z) \ne 0$ для всех $z \in \Omega$ . И наоборот, если $f: \Omega \to Q$ — обратимая голоморфная функция, то $\xi = \mathrm{Re}\, f(x,y)$ , $\eta = \mathrm{Im}\, f(x,y)$ , $z=x+iy$ — конформный изоморфизм первого рода.

В некоторых случаях необходимо рассматривать голоморфные накрытия, т.е. сюръективные голоморфные отображения $f: \Omega \to Q$ с ненулевой производной, но с конечным (или даже бесконечным) числом точек в прообразе $f^{-1} (w)$ . Так как голоморфных функций достаточно много (например, если обе области односвязны, то между ними по теореме Римана существует конформный изоморфизм первого рода), они имеют множество применений в решении задач с уравнением Лапласа $\Delta u=0$ , например, при построении функции Грина (см. третью главу).

В размерности $n>2$ ситуация меняется. Да, по-прежнему оператор Лапласа сохраняется при линейной замене $y= Sx+b$ с ортогональной матрицей $S$ , поскольку

$\Delta_{x} u = \mathrm{tr} \left( S^T H_{y} (u) S \right) = \mathrm{tr} \left( S S^T H_{y} (u) \right) = \mathrm{tr} \left( H_{y} (u) \right) = \Delta_{y} u,$

но в случае произвольного конформного преобразования $y=\theta(x)$ оператор Лапласа не сохраняет свой вид. Кроме того, конформных преобразований в высоких (больше $2$ ) размерностях мало. Список основных конформных преобразований в $\mathbb{R}^n$ :

сдвиг $\mathbb{R}^n \ni x \mapsto x+ h \in \mathbb{R}^n$ ;
гомотетия $\mathbb{R}^n \ni x \mapsto \lambda x \in \mathbb{R}^n$ ( $\lambda>0$ — коэффициент гомотетии);
ортогональный оператор первого рода $\mathbb{R}^n \ni x \mapsto Sx \in \mathbb{R}^n$ , $S \in \mathrm{SO} \left( \mathbb{R}^n \right)$ ;
отражение относительно гиперплоскости $x_n = 0$ , $\mathbb{R}^n \ni \left(x_1,\ldots,x_n \right)^T \mapsto \left( x_1, \ldots,-x_n \right)^T \in \mathbb{R}^n$ ;
инверсия относительно стандартной сферы $\mathbb{R}^n \backslash \{ 0\} \ni x \mapsto \frac{1}{|x|^2} x \in \mathbb{R}^n \backslash \{ 0\}$ (упражнение: покажите, что инверсия действительно задаёт конформный автоморфизм $\mathbb{R}^n \backslash \{ 0\}$ , причём второго рода, т.е. её якобин отрицателен).

Разумеется, можно взять композицию основных конформных преобразований и получить новое конформное отображение. По теореме Лиувилля при $n \geqslant 3$ всякое конформное преобразование $\theta: U \to \mathbb{R}^n$ , где $U \subset \mathbb{R}^n$ — открытое подмножество, суть композиция основных.

Книга по УЧП: глава 1 ‘Классификация и канонический вид’

1.1. Классификация полулинейных уравнений второго порядка в точке

1.2. Приведение к каноническому виду полулинейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1.3. Приведение 2D полулинейных уравнений с переменными коэффициентами к каноническому виду

1.4. Симметрии двумерного уравнения Лапласа

Опубликовано Alexander Baikov

Добавить комментарий Отменить ответ

Сентябрь 2026
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30