Книга по УЧП: глава 6 ‘Эллиптические операторы второго порядка’, пар. 6.1—6.3

Как было анонсировано в предыдущем посте, следующая (после восьмой) глава книги А.Е. Байкова «Уравнения в частных производных», что должна предстать перед строгим судом читателей блога — глава 6 «Эллиптические операторы второго порядка». Здесь выложены первые три параграфа: пар. 6.1 служат прелюдией к вариационному методу, с которого начнётся глава 8 «Методы решения краевых задач», и содержит довольно простые утверждения из функционального анализа; пар. 6.2 и 6.3 содержат исследование стандартных внутренних краевых задач с равномерно эллиптическими операторами второго порядка. Этому исследованию предшествует теория пространств Соболева, излагаемая в пятой главе (если честно, к её написанию автор ещё не приступал). В моём курсе УЧП необходимость перехода к неклассическим пространствах и так называемой $L_2$ -теории естественно проявляется при обсуждении вариационного метода решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа (см. также конец пар. 3.2 третьей главы).

В пар. 6.2 определяются сильные и обобщённые решения краевых задач. Знаменитая книга Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса «Неоднородные граничные задачи и их приложения» в центр теории ставит сильные решения. Я же следую идеологии О.А. Ладыженской, развитой ей во многих статьях и монографиях: функциональная теория должна опираться на обобщённые (слабые, или ещё лучше, ослабленные) решения краевых/начально-краевых задач, причём и в том случае, когда эллиптическому оператору и краевой задачи не соответствует никакой функционал энергии. Если обобщённое решение существует и единственно, если задача корректна по Адамару (см. конец пар. 2.3 второй главы и начало третьего параграфа настоящей),то выяснение условий, при которых обобщённое решение будет сильным — следующий этап исследований. Вот как об этом «разделении труда» в функциональной теории пишет Ольга Александровна в своей последнейстатье, критикуя постановку Ч. Феффермана шестой проблемы тысячелетия:

…У меня еще в памяти годы (сороковые и пятидесятые), когда большинство мэтров (и прежде всего И.Г. Петровский) считали проблему нерешенной, если на избранном пути исследователь не гарантировал существование классического решения. Но и тогда никто не требовал предъявить бесконечно-гладкое или, тем более, аналитическое решение, ибо уже в 30-е годы поняли, что вопросы качественного анализа надо отделить от вопросов существования и единственности.

Изучению дифференциальных и других свойств полученных решений, а также собственных функций эллиптических операторов будут посвящены следующие параграфы шестой главы.

Задача Неймана для уравнения Лапласа/Пуассона была первым пример некорректной краевой задачи: её решение не единственно, существует только при интегральном соотношении типа равенства между правыми частями. При этом никто не подвергает сомнению физическое содержание задачи Неймана, чтобы характеризовать её как патологическую. Она принадлежит к классу разрешимых по Фредгольму краевых задач. Значительный кусок третьего параграфа отдан под теорию фредгольмовых операторов — её, к сожалению, часто пропускают в стандартных университетских курсах функционального анализа. После мультипликативного свойства индекса (простое утверждение из гомологической алгебры) доказана теорема о фредгольмовости суммы единичного и компактного операторов (надо добавить, что это не единственная вставка из ФАНа в этой главе: в пар. 6.4 будут элементы спектральной теории, необходимые для изучения собственных значений и собственных функций эллиптических операторов). Далее мы преодолеваем тот недостаток концепции обобщённых решений, что они не дают оператор и операторное уравнение, ибо формулируются на языке интегральных тождеств, доказываем фредгольмову разрешимость, и завершаем третий параграф примером с задачей Неймана.

6.1. Теория вариационного метода

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $s: H \times H \to \mathbb{R}$ — симметрическая билинейная форма, $l \in H^{*}$ — ограниченный линейный функционал над $H$ . Рассмотрим функционал энергии, имеющий вид $E(u) = s(u,u)-2 \langle l, u \rangle$ . Поставим вариационную проблему

$E(u) \to \min,\, u \in H.\,\,\, (6.1)$

Форму $s$ назовём согласованной со скалярным произведением в $H$ , если существуют такие константы $\alpha>0$ , $\beta>0$ , что для всех $u \in H$ имеем $s(u,u) \leqslant \alpha^2 (u,u)$ , $(u,u) \leqslant \beta^2 s(u,u)$ . Из согласованности следует, что форма $s$ задаёт альтернативное скалярное произведение в $H$ , и естественная норма эквивалентна альтернативной.

Теорема 6.1. Пусть $s$ — согласованная форма в гильбертовом пространстве $H$ , $l \in H^{*}$ . Тогда существует единственный элемент $u^{\star} \in H$ , называемый экстремалью, минимизирующий функционал энергии $E(u)=s(u,u)-2 \langle l,u \rangle$ , т.е. задача (6.1) имеет единственное решение.

Доказательство. Обозначим $\| u \|' = \sqrt{s(u,u)}$ и покажем, что функционал энергии ограничен снизу:

$\begin{aligned} & E(u) = \| u \|'^2 - 2 \langle l, u \rangle \geqslant \| u \|'^2 - 2 | \langle l, u \rangle| \geqslant \| u \|'^2 - 2 \| l \|^{*} \| u \| \geqslant \\ & \geqslant \| u \|'^2 - 2 \beta \| l \|^{*} \| u \|' = \left( \| u \|' - \beta \| l\|^{*} \right)^2 - \beta^2 \| l \|^{*2} \geqslant - \beta^2 \| l \|^{*2}. \end{aligned}$

Здесь $\| l \|^{*}$ — норма функционала; кроме того, использовано неравенство $-\| u\| \geqslant -\beta \| u \|'$ , справедливое для всех $u \in H$ . Обозначим $\mu = \inf_{u \in H} E(u)$ . По определению точной нижней грани существует последовательность $\{ u_{k} \}_{k=1}^{\infty} \subset H$ , для которой $E(u_k) \to \mu$ при $k \to \infty$ . Последовательность $\{ u_{k} \}_{k=1}^{\infty}$ назовём минимизирующей.

Покажем, что всякая минимизирующая последовательность фундаментальна. Имеем: для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ , что для всех $k \geqslant N$ верно неравенство $\mu \leqslant E(u_k) \leqslant \mu+ \varepsilon$ . Из тождества параллелограмма

$\left\| \frac{u_k+u_j}{2} \right\|'^{2}+\left\| \frac{u_k-u_j}{2} \right\|'^{2} = \frac{1}{2} \left( \| u_k \|'^2 + \| u_{j} \|'^2 \right)$

получим $\left\| \frac{u_k-u_j}{2} \right\|'^{2} = \frac{ E(u_k) + E(u_j)}{2} - E \left( \frac{u_k+u_j}{2} \right)$ . Но $E \left( \frac{u_k+u_j}{2} \right) \geqslant \mu$ , поэтому при любых $k,j \geqslant N$

$0 \leqslant \left\| \frac{u_k-u_j}{2} \right\|'^{2} \leqslant \frac{1}{2} (\mu+\varepsilon + \mu +\varepsilon) - \mu = \varepsilon,$

а так как естественная норма в $H$ подчинена альтернативной, $\{ u_{k} \}_{k=1}^{\infty}$ — фундаментальная последовательность.

В силу полноты $H$ существует $\lim_{k \to \infty} u_{k} = u^{\star} \in H$ всякой минимизирующей последовательности. Увидим, что $E\left( u^{\star} \right) = \mu$ , т.е. $u^{\star} \in H$ — решение вариационной проблемы (6.1). Действительно, $\langle l, u_{k} \rangle \to \langle l, u^{\star} \rangle$ при $k \to \infty$ , $\| u_{k} - u^{\star} \| ' \leqslant \alpha \| u_k - u^{\star} \| \to 0$ , $k \to \infty$ , поэтому возможен предельный переход: $\lim \limits_{k \to \infty} E(u_k) = E(u^{\star}) = \mu$ .

Докажем единственность экстремали. Пусть $\tilde{u} \in H$ — другая экстремаль. Тогда последовательность $u^{\star}, \tilde{u}, u^{\star}, \tilde{u},\ldots$ минимизирует функционал энергии, следовательно, она фундаментальна, $u^{\star} = \tilde{u}$ $\blacksquare$

Утверждение 6.1 (необходимое условие экстремали). Пусть $u^{\star} \in H$ — экстремаль функционала энергии, т.е. решение вариационной проблемы (6.1). Тогда для любого $v \in H$

$s(u^{\star},v) - \langle l,v \rangle = 0.\,\,\, (6.2)$

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент $v \in H$ , число $t \in \mathbb{R}$ , найдём приращение функционала энергии:

$\begin{aligned} & 0 \leqslant E \left( u^{\star} + t v\right) - E \left( u^{\star} \right) =s \left( u^{\star} + t v, u^{\star} + t v \right) - 2 \langle l, u^{\star} + t v \rangle- \\ & -s \left( u^{\star}, u^{\star} \right) + 2 \langle l, u^{\star} \rangle = s(v ,v) t^2 + 2 t \left( s \left( u^{\star} , v \right) - \langle l, v \rangle \right).\\ \end{aligned}$

Отсюда $s \left( u^{\star} , v \right) \prime - \langle l, v \rangle = 0$ для любой $v \in H$ , что и требовалось $\blacksquare$

Равенство (6.2) служит важным связующим звеном между краевыми задачами и функционалами энергии. Отметим, что в утверждении 6.1 не требуются (как в теореме 6.1) ни полнота пространства $H$ , ни согласованность формы $s$ в функционале энергии. Однако, если требования теоремы 6.1 соблюдены, то необходимое условие (6.2) оказывается достаточным условием того, что элемент $u^{\star} \in H$ — решение вариационной проблемы (6.1).

Теорема 6.1 имеет тот недостаток, что не предлагает конструктивного способа построения минимизирующей последовательности. Опишем один такой метод для случая, когда $H$ — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Пусть $\{ e_1,e_2,\ldots \}$ — какой-нибудь базис пространства $H$ , $H_1 \subset H_2 \subset H_3 \subset \ldots$ — соответствующий флаг, где $H_{m} = \mathrm{Lin} (e_1,\ldots,e_m)$ . Рассмотрим конечномерную вариационную проблему вида

$E(u) = s(u,u) - 2 \langle l, u \rangle \to \min,\, u \in H_m.\,\,\, (6.3)$

Подставим в функционал энергии разложение $u= \sum_{k=1}^{m} c_{k} e_{k}$ , получив функцию, которая зависит от коэффициентов $c_1,\ldots,c_m$ :

$E_{m} \left( c_1, \ldots, c_m \right) = \sum \limits_{k,j=1}^{m} s \left( e_{k},e_{j} \right) c_{k} c_{j}-2 \sum \limits_{k=1}^{m} \langle l, e_k \rangle c_{k}.\,\,\, (6.4)$

Пусть $G = \left[ s \left(e_{k},e_{j} \right) \right]_{k,j=1}^{m}$ — матрица Грама базисных элементов $e_1,\ldots, e_m$ относительно альтернативного скалярного произведения $s$ , $c = \left( c_1, \ldots, c_{m} \right)^{\top}$ — столбец неизвестных коэффициентов, $b = \left[ \langle l,e_1 \rangle, \ldots, \langle l,e_m \rangle \right]^{\top}$ — известный столбец. Квадратичную функцию (6.4) можно представить в виде $E_m(c) = c^{T} G c -2 c^{T} b$ . Так как матрица Грама $G$ положительно определена, существует единственный экстремальный элемент $c^{(m)}=\mathrm{argmin}_{c \in \mathbb{R}^m} E_{m}(c)$ , а из необходимого условия экстремума функции $E_m$ следует, что он имеет вид $c^{(m)} = G^{-1} b$ .

Таким образом, каждый член последовательности $\left\{ u^{(m)} \right\}_{m=1}^{\infty}$ , $u^{(m)} = c_{1}^{(m)} e_{1} + \ldots + c_{m}^{(m)} e_{m}$ , доставляет минимум функции $E_m$ . Будем называть её последовательностью Ритца, а элементы $u^{(m)}$ — приближениями Ритца. Покажем, что если выполнены условия теоремы 6.1, то она минимизирующая и, следовательно, сходится к экстремали $u^{\star}$ .

Утверждение 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.1, тогда последовательность Ритца сходится к экстремали функционала энергии.

Доказательство. Имеем $E \left( u^{(1)} \right) \geqslant E \left( u^{(2)} \right) \geqslant \ldots$ , поскольку $u^{(m)} = \mathrm{argmin}_{u \in H_{m}} E(u)$ и $H_1 \subset H_2 \subset \ldots$ Из определения базиса следует, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся такие числа $m = m(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ и $c'_1(\varepsilon),\ldots,c'_{m}(\varepsilon)$ , что $\left\| u^{\star} - \tilde{u}^{(m)} \right\| \leqslant \varepsilon$ , где $\tilde{u}^{(m)} = c'_1(\varepsilon) e_1 + \ldots+ c'_{m}(\varepsilon) e_{m}$ . Справедлива оценка

$\begin{aligned} & E \left( \tilde{u}^{(m)}(\varepsilon) \right) - E \left( u^{\star} \right) = \left\| \tilde{u}^{(m)} \right\|'^2 - \left\| u^{\star} \right\|'^2 - 2 \left \langle l, \tilde{u}^{(m)} - u^{\star}\right \rangle \leqslant \left( \left\| u^{\star} \right\|' + \alpha \varepsilon \right)^2 - \\ & - \left\| u^{\star} \right\|'^2 + 2 \| l \|^{*} \varepsilon \leqslant 2 \left( \alpha \left\| u^{\star} \right\|' + \| l \|^{*} \right) \varepsilon + \alpha^2 \varepsilon^2.\\ \end{aligned}$

Так как $u^{(m)}=\mathrm{argmin}_{u\in H{m} } E(u)$ , можем записать

$\mu \leqslant E \left( u^{(m)} \right) \leqslant E \left( \tilde{u}^{(m)} \right) \leqslant \mu + 2 \left( \alpha \left\| u^{\star} \right\|' + \| l \|^{*} \right) \varepsilon + \alpha^2 \varepsilon^2,$

откуда следует, что $E \left( u^{(m)} \right) \to \mu$ , если $m \to \infty$ , т.е. $\left\{ u^{(m)} \right\}_{m=1}^{\infty}$ — минимизирующая последовательность $\blacksquare$

6.2. Постановка краевых задач: сильные и обобщённые решения

Рассмотрим в области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ линейный дифференциальный оператор второго порядка

$\mathcal{L} u = -\sum \limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum \limits_{i=1}^{n} B_{i}(x) \frac{\partial u}{\partial x_i} + C(x) u.\,\,\, (6.5)$

Здесь $a_{ij}, B_{i}, C : \Omega \to \mathbb{R}$ — известные коэффициенты. Введём матрицу старших коэффициентов $A(x) = \left( a_{ij}(x) \right)_{i,j=1}^{n}$ . Согласно классификации из первой главы оператор (6.5) имеет эллиптический тип в области $\Omega$ , если матрица $A$ положительно (либо отрицательно) определена: для любой $x \in \Omega$ и любого $\xi \in \mathbb{R}^n$ , $\xi \ne 0$ , $\xi^{T} A(x) \xi >0$ (или $\xi^{T} A(x) \xi <0$ ).

В настоящей главе мы имеем дело только с равномерно эллиптическими операторами. Оператор (6.5) равномерно эллиптичен в области $\Omega$ , если существует $\gamma>0$ , что для всех $x \in \Omega$ и $\xi \in \mathbb{R}^n$ выполнено неравенство $\xi^{T} A(x) \xi \geqslant \gamma | \xi |^2$ (или неравенство $\xi^{T} A(x) \xi \leqslant -\gamma | \xi |^2$ , если речь идёт об отрицательно определённой матрице коэффициентов старшей части). В контексте регулярных краевых задач коэффициенты оператора (6.5) также должны быть определены на границе области, так что указанные неравенства должно быть верными для всех $x \in \overline{\Omega}$ . Оператор (6.5) можно переписать в дивергентной форме

$\mathcal{L} u = -\mathrm{div} \left( A(x) \nabla u \right) + \mathrm{div} \left( \vec{b}(x) u \right)+ c(x) u,\,\,\, (6.6)$

в которой матрица $A$ имеет то же вид, что у оператора (6.5), а другие коэффициенты связаны формулами

$\vec{B}(x) = \vec{b}(x) - \mathrm{div}\, A(x),\, C(x) = c(x) + \mathrm{div}\, \vec{b}(x)$

и обратными к ним $\vec{b}(x) = \vec{B}(x) + \mathrm{div}\, A(x)$ , $c(x) = C(x) - \mathrm{div}\, \vec{b}(x)$ . Дивергенция матрицы $A(x) = \left( a_{ij}(x) \right)_{i,j=1}^{n}$ — это вектор

$\mathrm{div}\, A(x)=\mathrm{div}\, A_1(x) \vec{e}_1+\ldots+\mathrm{div}\, A_n(x) \vec{e}_{n},$

где $A_1(x),\ldots, A_n(x)$ суть стоблцы матрицы $A(x)$ . Предполагается, что коэффициенты $a_{ij}$ , $b_{i}$ непрерывно дифференцируемы, а коэффициент $c$ просто непрерывен. Дивергентная форма операторов весьма удобна для исследования уравнений и краевых задач.

Получим формально сопряжённый оператор:

$\begin{aligned} & \mathcal{L}^{*} v = -\mathrm{div} \left( A(x) \nabla u \right) - \vec{b}(x) \cdot \nabla u+ c(x) u= \\ & = -\mathrm{div} \left( A(x) \nabla u \right) -\mathrm{div} \left( \vec{b}(x) u \right)+ \left( c(x)+ \mathrm{div}\, \vec{b}(x)\right) u.\\ \end{aligned}\,\,\, (6.7)$

Когда оператор (6.6) формально самосопряжён? Из формулы (6.7) следует, что $\mathcal{L} = \mathcal{L}^{*}$ в том и только в том случае, если $\vec{b}(x) \equiv 0$ , т.е. оператор имеет вид

$\mathcal{L} u = -\mathrm{div} \left( A(x) \nabla u \right) + c(x) u.\,\,\, (6.8)$

Эллиптические операторы вида (6.8) будем называть дивергентными. Дивергентные операторы имеют ряд замечательных свойств, каких общие эллиптические операторы лишены. Поэтому операторы вида (6.8) изучаются в первую очередь.

Поставим стандартные внутренние краевые задачи для равномерно эллиптического оператора (6.5) в области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , предварительно уточнив условия на его коэффициенты (некоторые условия будет затем ослаблены). Будем считать, что $a_{ij}, b_{i} \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , ( $i,j=1,\ldots,n$ ), $c \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ , матрица старших коэффициентов равномерно положительно определена: существует $\gamma >0$ и для всех $x \in \overline{\Omega}$ и $\xi \in \mathbb{R}^n$ выполнено неравенство $\xi^{\top} A(x) \xi \geqslant \gamma |\xi|^2$ . Если матрица $A$ изначально отрицательно определена, уравнение $\mathcal{L} u = f$ в краевой задаче следует умножить на $-1$ .

Внутренняя задача Дирихле для равномерно эллиптического уравнения второго порядка в области $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ имеет вид

$\left\{ \begin{aligned} & \mathcal{L} u =f,\, x \in \Omega,\\ & \left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi.\\ \end{aligned} \right.\,\,\,(6.9)$

Здесь $f$ (правая часть уравнения), $\varphi$ (граничная функция) — известные функции. Внутренняя задача Робена для равномерно эллиптического уравнения второго порядка имеет вид

$\left\{ \begin{aligned} & \mathcal{L} u =f, \, x \in \Omega,\\ & \left. A(x) \nabla u \cdot \vec{\nu} + \sigma(x) u \right|_{\partial \Omega} = \varphi,\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (6.10)$

где $\sigma \in C^{1}(\partial \Omega)$ — младший коэффициент в условии Робена, выражение $A(x) \nabla u \cdot \vec{\nu} = \nabla u \cdot \vec{\nu}_{A}$ , $\vec{\nu}_{A}= A(x) \vec{\nu}$ . Если $\sigma(x) \equiv 0$ , то (6.10) — задача Неймана. Предполагается, что по крайней мере $\partial \Omega \in C^1$ ; впрочем, при исследовании задачи Дирихле это же условие на границу по умолчанию выполняется.

Обозначим граничный оператор краевой задачи через $\mathcal{B}$ , а саму задачу — через $\{ \mathcal{L}, \mathcal{B} \}$ . В случае задачи Дирихле $\mathcal{B}$ — оператор следа; для задачи Робена $\mathcal{B}u=\left. A(x) \nabla u \cdot \vec{\nu} + \sigma(x) u \right|_{\partial \Omega}$ . Рассмотрим оператор $L: H^{2}(\Omega) \to L_{2}(\Omega) \oplus H^{s}(\partial \Omega)$ , действующий на функции из $H^2(\Omega)$ по формуле

$H^{2}(\Omega) \ni u \mapsto \mathcal{L} u \oplus \mathcal{B} u \in L_{2}(\Omega) \oplus H^{s}(\partial \Omega),$

где $\mathcal{L} u \oplus \mathcal{B} u$ означает пару функций, а $L_{2}(\Omega) \oplus H^{s}(\partial \Omega)$ — прямую сумму гильбертовых пространств. Для задачи Дирихле $s=\frac{3}{2}$ , так как по теореме о следах образ оператора $\left. \cdot \right|_{\partial \Omega}: H^{2}(\Omega) \to L_{2}(\partial \Omega)$ суть пространство $H^{3/2}(\partial \Omega)$ (при этом граница области $\partial \Omega$ должна быть класса $C^2$ ). Если $\sigma \in C^{1}(\partial \Omega)$ , то $\mathcal{B} u = \left. \nabla u \cdot \vec{\nu}_{A}+ \sigma(x) u \right|_{\partial \Omega}$ функции из $H^{2}(\Omega)$ принадлежит $H^{1/2}(\partial \Omega)$ , другими словами, $s = \frac{1}{2}$ для задачи Робена.

Определение 6.1. Сильным решением краевой задачи $\{ \mathcal{L}, \mathcal{B} \}$ (Дирихле (6.9) или Робена (6.10)) с правыми частями $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in H^{s}(\partial \Omega)$ называется такая функция $u \in H^{2}(\Omega)$ , что $L u = f \oplus \varphi$ .

С определением сильных решений краевых задач не так просто работать. Кроме того, для их существования коэффициенты оператора $\mathcal{L}$ (и коэффициент $\sigma$ в граничном условии Робена), правые части $f$ , $\varphi$ , граница области $\partial \Omega$ должны удовлетворять довольно жёстким условиям, которые хотелось бы ослабить. Например, чтобы существовало сильное решение задачи Дирихле, необходимо $\varphi \in H^{3/2}(\partial \Omega)$ , но далее мы увидим, что так называемое обобщённое решение задачи Дирихле существует, если граничная функция принадлежит пространству $H^{1/2}(\partial \Omega)$ .

Идея перейти от классических или сильных решений краевых задач к обобщённым (слабым) решениям отчасти физического происхождения: некоторые модели сами диктуют существенное расширение понятия решения, скажем, при рассмотрении ударных взаимодействий, разрывов, коллапсов и других феноменов подобного характера. Независимо от типа задачи (в других главах книги будут обобщённые решения уравнений первого порядка, уравнений гиперболического типа или параболических уравнений, но подход к их определению останется тем же) обобщённое решение не должно удовлетворять уравнению непосредственно; вместо этого оно удовлетворяет интегральному равенству, содержащему помимо самого решения ещё одну функцию, называемую пробной. По форме интегральное равенство напоминает необходимое условие (6.2) экстремали абстрактного функционала энергии, где в роли экстремали выступает обобщённое решение, а в роли элемента $v$ — пробная функция. Однако, как мы увидим дальше, функционал энергии можно сопоставить только краевым задачам с дивергентным оператором (6.8).

Утверждение 6.3. Пусть $\Omega \Subset \mathbb{R}^n$ , $\partial \Omega \in C^{1}$ , $u,v \in H^{1}(\Omega)$ . Тогда для любого $j=1,\ldots,n$

$\int \limits_{\Omega} v \frac{\partial u}{\partial x_j} dx = \int \limits_{\partial \Omega} \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} \nu_{j} ds - \int \limits_{\Omega} u \frac{\partial v}{\partial x_j} dx,\,\,\, (6.11)$

где $\nu_j$ — $j$ -ая координата единичной внешней нормали $\vec{\nu}$ к $\partial \Omega$ .

Доказательство. Действительно, по теореме о плотности (пространство $C^{1} \left( \overline{\Omega}\right)$ всюду плотно в $H^{1}(\Omega)$ , если $\partial \Omega \in C^{1}$ ) существуют последовательности $\left\{ u_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ , $\left\{ v_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset C^1\left( \overline{\Omega}\right)$ , сходящиеся в $H^1(\Omega)$ к $u$ , $v$ , соответственно. Но тогда можно сделать предельный переход в классической формуле интегрирования по частям и, принимая в расчёт непрерывность оператора следа, получить формулу (6.11) $\blacksquare$

Из формулы (6.11) следует первая формула Грина с дивергентным оператором (6.8) и функциями $u \in H^{2}(\Omega)$ , $v \in H^{1}(\Omega)$ :

$\int \limits_{\Omega} v \mathcal{L} u dx =- \int \limits_{\partial \Omega} \left. \nabla u \cdot \vec{\nu}_{A} \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds + s_{\mathcal{L}} (u,v).\,\,\, (6.12)$

Как раз из формулы Грина (6.12) становится понятно, почему в краевое условие Неймана или Робена входит именно $\left. \nabla u \cdot \vec{\nu}_{A} \right|_{\partial \Omega}$ . Мы ввели

$s_{\mathcal{L}} (u,v) = \int \limits_{\Omega} \left( A(x) \nabla u \cdot \nabla v + c(x) uv \right) dx\,\,\, (6.13)$

— симметрическую билинейную форму, ассоциированную с дивергентным оператором (6.8). Существуют два способа определить обобщённые решения задачи Дирихле (6.9) с дивергентным оператором:

сказать, что обобщённое решение — это функция $u \in H^{1}(\Omega)$ , $\left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ , удовлетворяющая необходимому условию экстремали функционала энергии задачи Дирихле;
применить к сильному решению первую формулу Грина (6.12), затем интерпретировать результат как определение обобщённого решения задачи Дирихле.

Второй способ подходит и к общим равномерно эллиптическим операторам (6.6), он будем рассмотрен позже. Сейчас дадим определение обобщённых решений задачи (6.9) для дивергентного оператора (6.8) с помощью функционала энергии, который имеет вид

$E_{D}(u) = s_{\mathcal{L}}(u,u) - 2 \int \limits_{\Omega} f(x) u dx.\,\,\, (6.14)$

В основе определения обобщённых решений лежит утверждение о том, что экстремаль функционала (6.14) — сильное решение задачи Дирихле.

Утверждение 6.4. Предположим, что функционал энергии (6.14) имеет глобальную экстремаль $u^{\star}$ , доставляющую ему минимум на множестве $\left\{u \in H^{1} (\Omega) : \left. u \right|_{\partial \Omega}=\varphi \right\}$ , причём $u^{\star} \in H^{2}(\Omega)$ (следовательно, $\varphi \in H^{3/2}(\partial \Omega)$ при $\partial \Omega \in C^2$ ). Тогда $u^{\star}$ — сильное решение задачи Дирихле (6.9) для дивергентного равномерно эллиптического оператора (6.8).

Доказательство. Необходимое условие экстремали $u^{\star}$ вариационной проблемы $E_{D}(u) \to \min$ , $u \in H^{1}(\Omega)$ , $\left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ , гласит: для любой $v \in H^{1}_{0} (\Omega)$ справедливо $s_{\mathcal{L}} \left( u^{\star}, v \right) = \int_{\Omega} f(x) v dx$ (эта задача отличается от абстрактной задачи из первого параграфа тем, что функционал рассматривается на замкнутом аффинном подпространстве гильбертового пространства $H^{1}(\Omega)$ , но, рассуждая как при доказательстве утверждения 6.1, можно прийти к указанному необходимому условию). Применяя один раз формулу интегрирования по частям, получим $\int_{\Omega} \left( \mathcal{L} u^{\star} - f(x)\right) v dx=0$ (это можно сделать, поскольку $u^{\star} \in H^{2}(\Omega)$ ). Можно выбирать произвольную $v \in \mathcal{D} (\Omega)$ , тогда по лемме Дюбуа-Реймона будет $\mathcal{L} u^{\star} = f$ в $\Omega$ . Таким образом, экстремаль удовлетворяет уравнению задачи Дирихле и служит её сильным решением $\blacksquare$

Определение 6.2. Функция $u \in H^{1}(\Omega)$ называется обобщённым решением задачи (6.9) для дивергентного равномерно эллиптического оператора (6.8), если $\left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ , и для любой пробной функции $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ выполнено интегральное равенство

$\int \limits_{\Omega} \left( A(x) \nabla u \cdot \nabla v + c(x) uv \right) dx = \int \limits_{\Omega} f(x) v dx.\,\,\, (6.15)$

Определение 6.2 освобождает от некоторых, необходимых для существования сильного решения, условий. Старшие коэффициенты оператора $\mathcal{L}$ теперь могут быть просто непрерывными в $\overline{\Omega}$ : по крайнем мере, при $a_{ij} \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ интеграл в левой части равенства (6.15) не теряет смысл. Граница области должна быть класса $C^1$ , граничная функция $\varphi$ должна принадлежать пространству $H^{1/2}(\partial \Omega)$ .

С задачей Робена (6.10) для дивергентного оператора (6.8) свяжем функционал энергии вида

$E_{R}(u) = s_{\mathcal{L}}(u,u) + \int \limits_{\Omega} \sigma(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds - 2 \int \limits_{\Omega} f(x) u dx -2 \int \limits_{\partial \Omega} \varphi(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} ds.\,\,\, (6.16)$

Утверждение 6.5. Пусть функционал энергии (6.16) имеет глобальную экстремаль $u^{\star}$ , минимизирующую его в пространстве $H^{1}(\Omega)$ , причём $u^{\star} \in H^{2}(\Omega)$ . Тогда $u^{\star}$ суть сильное решение задачи Робена (6.10) для дивергентного равномерно эллиптического оператора (6.8).

Доказательство. После обозначений

$\tilde{s}(u,v) = s_{\mathcal{L}}(u,u) + \int \limits_{\Omega} \sigma(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds,$

$\langle l,u \rangle =\int_{\Omega} f(x) u dx + \int_{\partial \Omega} \varphi(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} ds$ функционал (6.16) принимает стандартный вид $E_{R}(u) = \tilde{s}(u,u)'- 2 \langle l, u \rangle$ . Экстремаль $u^{\star} = \mathrm{argmin}_{u \in H^{1}(\Omega)} E_{R}(u)$ для любой $v \in H^{1}(\Omega)$ удовлетворяет равенству $\tilde{s} \left( u^{\star}, v \right) - \langle l, v \rangle = 0$ , в интегральном виде представляющему собой

$s_{\mathcal{L}} ( u^{\star}, v) - \int \limits_{\Omega} f(x) v dx + \int \limits_{\partial \Omega} \left( \sigma(x) \left. u^{\star} \right|_{\partial \Omega} -\varphi(x) \right) \left. v \right|_{\partial \Omega} ds =0.\,\,\, (6.17)$

Применяя к интегральному равенству (6.17) первую формулу Грина (6.12), получим

$\int \limits_{\Omega} \left( \mathcal{L} u^{\star} - f(x)\right) v dx + \int \limits_{\partial \Omega} \left( \left. A(x) \nabla u^{\star} \cdot \vec{\nu} + \sigma(x) u^{\star} \right|_{\partial \Omega} - \varphi(x) \right) \left. v \right|_{\partial \Omega}ds = 0.\,\,\, (6.18)$

Имеем для любой $v \in \mathcal{D}(\Omega)$ $\int_{\Omega} \left( \mathcal{L} u^{\star} - f(x)\right) v dx =0$ , откуда по лемме Дюбуа-Реймона $\mathcal{L} u^{\star} = f$ в $\Omega$ .

Для вывода краевого условия задачи Робена (6.10) рассмотрим произвольные функцию $\psi \in C^{1} (\partial \Omega)$ и число $\varepsilon>0$ . Найдём $v_{\varepsilon} \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right) \subset H^{1}(\Omega)$ со свойствами: 1) $\left. v_{\varepsilon} \right|_{\partial \Omega} = \psi$ ; 2) для любой $x \in \mathrm{supp}\, v_{\varepsilon}$ $\mathrm{dist} (x,\partial \Omega) < \varepsilon$ ; 3) $\left\| v_{\varepsilon} \right\|_{L_{2}(\Omega)} = o (\varepsilon)$ , $\varepsilon \to 0$ . Существование такой функции следует из теоремы о тонком поднятии (она излагается в главе 2 «Пространсва Соболева»). Оценим интеграл по области в равенстве (6.18) при $v=v_{\varepsilon}$ :

$\left| \int \limits_{\Omega} \left( \mathcal{L} u^{\star} - f(x)\right) v_{\varepsilon} dx \right| \leqslant \left\| v_{\varepsilon} \right\|_{L_{2}(\Omega)} \left\| \mathcal{L} u^{\star} - f \right\|_{L_{2}(\Omega)} \to 0,\, \varepsilon \to 0.$

Но тогда подстановка $v=v_{\varepsilon}$ в интегральное равенство (6.18) и устремление $\varepsilon$ к нулю даёт $\int_{\partial \Omega} \left( \left. A(x) \nabla u^{\star} \cdot \vec{\nu} + \sigma(x) u^{\star} \right|_{\partial \Omega} - \varphi(x) \right) \psi ds = 0$ . Произвольность функции $\psi$ влечёт условие Робена $\left. A(x) \nabla u^{\star} \cdot \vec{\nu}+ \sigma(x) u^{\star} \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ $\blacksquare$

Определение 6.3. Функция $u \in H^{1}(\Omega)$ называется обобщённым решением задачи Робена (6.10) для дивергентного равномерно эллиптического оператора (6.8), если для любой пробной функции $v \in H^{1}(\Omega)$ выполнено интегральное равенство

$s_{\mathcal{L}}(u,v) + \int \limits_{\Omega} \sigma(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds = \int \limits_{\Omega} f(x) v dx + \int \limits_{\partial \Omega} \varphi(x) \left. v \right|_{\partial \Omega} ds.\,\,\, (6.19)$

Отметим, что в отличии от обобщённого решения задачи Дирихле, обобщённое решение задачи (6.10) не должно (и не может, поскольку принадлежит $H^{1}(\Omega)$ ) удовлетворять краевому условию Робена. Вместо этого граничная функция $\varphi$ входит в интегральное равенство (6.19), влияет на линейный функционал в его правой части. По сравнению с определением 6.1 сильных решений значительно снижаются требования к коэффициентам и правым частям задачи: старшие коэффициенты $a_{ij} \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ , $\sigma \in C(\partial \Omega)$ , а не $C^{1}(\partial \Omega)$ , $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in L_{2}(\partial \Omega)$ (последнее условие даже слабее, чем в задаче Дирхле, где требовалось $\varphi \in H^{1/2}(\partial \Omega)$ ).

Приступаем к определению обобщённых решений краевых задач для общего равномерно эллиптического оператора второго порядка, представленного в дивергентной форме (6.6). Здесь действуем вторым способом, выводя интегральное равенство непосредственно из краевой задачи, привлекая формулу интегрирования по частям. Пусть $u \in H^{2}(\Omega)$ — сильное решение задачи Дирихле (6.9). Умножим уравнение $\mathcal{L} u =f$ на пробную функцию $v \in H^{1}(\Omega)$ , проинтегрируем по области $\Omega$ и преобразуем некоторые члены в левой части с помощью формулы интегрирования по частям:

$s_{\mathcal{L}} (u,v) - \int \limits_{\partial \Omega} \left. A(x) \nabla u \cdot \vec{\nu} \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds + \int \limits_{\Omega} \mathrm{div} \left( \vec{b}(x) u \right) v dx = \int \limits_{\Omega} f(x) v dx,\,\,\, (6.20)$

где снова $s_{\mathcal{L}} (u,v) = \int_{\Omega} \left(A(x) \nabla u \cdot \nabla v+ c(x) uv\right) dx$ , но только в этот раз оператор не дивергентный. Член, содержащий векторное поле $\vec{b}$ , можно преобразовать интегрированием по частям:

$\int \limits_{\Omega} \mathrm{div} \left( \vec{b}(x) u \right) v dx = \int \limits_{\partial \Omega} \left( \vec{b}(x) \cdot \vec{\nu} (x) \right) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds - \int \limits_{\Omega} u \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v \right) dx.$

Если теперь, как в определении (6.2), пробная функция $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ , то в интегральном равенстве (6.20) вместо члена $\int_{\Omega} \mathrm{div} \left( \vec{b}(x) u \right) v dx$ можно записать $-\int_{\Omega} u \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v \right) dx$ .

Определение 6.4. Функция $u \in H^{1}(\Omega)$ называется обобщённым решением внутренней задачи Дирихле (6.9) с общим равномерно эллиптическим оператором (6.6), если $\left. u \right|_{\partial \Omega} = \varphi$ , и для любой пробной функции $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ выполнено интегральное равенство

$s_{\mathcal{L}} (u,v) - \int \limits_{\Omega} u \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v\right) dx = \int \limits_{\Omega} f(x) v dx.\,\,\, (6.21)$

По первому взгляду на формулу (6.21) кажется, что достаточно взять непрерывное в $\overline{\Omega}$ векторное поле $\vec{b}$ , и тогда интеграл с ним будет иметь смысл. Однако при исследовании фредгольмовой разрешимости потребуется обратное интегрирование по частям и рассмотрение формально сопряжённого оператора (6.7), выражение для которого содержит $\mathrm{div}\, \vec{b}(x)$ , поэтому всё-таки будем считать $\vec{b} \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ .

Определим обобщённое решение задачи Робена (6.10) для общего равномерно эллиптического оператора. Пусть $u \in H^{2}(\Omega)$ — её сильное решение. Из краевого условия Робена следует, что $\left. A(x) \nabla u \cdot \vec{\nu} \right|_{\partial \Omega} = \varphi(x) -\sigma(x) \left. u\right|_{\partial \Omega}$ . Подставим в интегральное равенство (6.20) выражение для $\left. A(x) \nabla u \cdot \vec{\nu} \right|_{\partial \Omega}$ и проинтегрируем по частям член с $\mathrm{div} \left( \vec{b}(x) u \right)$ :

$\tilde{s}(u,v) - \int \limits_{\Omega} u \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v\right) dx = \int \limits_{\Omega} f(x) v dx + \int \limits_{\partial \Omega} \varphi(x) \left. v\right|_{\partial \Omega} ds,\,\,\, (6.22)$

где $\tilde{s}(u,v)= s_{\mathcal{L}}(u,v) + \int_{\partial \Omega} \tau(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds$ , $\tau (x) = \sigma(x) + \vec{b}(x) \cdot \vec{\nu}(x)$ .

Определение 6.5. Функция $u \in H^{1}(\Omega)$ называется обобщённым решением внутренней задачи Робена (6.10) с общим равномерно эллиптическим оператором (6.6), если для любой пробной функции $v \in H^{1}(\Omega)$ выполнено интегральное равенство (6.22).

Итак, мы определили обобщённые решения внутренних краевых задач Дирихле (6.9) и Робена (6.10). В следующем параграфе мы исследуем корректность краевых задач (существование и единственность обобщённых решений) и фредгольмову разрешимость. Получив обобщённые решения, мы выясним в пар. 6.5, при каких дополнительных условиях на коэффициенты и правые части, они сильные или даже классические. Этот параграф закончим определением обобщённых решений уравнения $\mathcal{L} u = f$ с общим равномерно эллиптическим оператором (6.6). Здесь (в отличие от краевых задач) пространством пробных функций служит $\mathcal{D}(\Omega)$ , а сами обобщённые решения принадлежат локальному пространству Соболева $H^{1}_{loc}(\Omega)$ .

Определение 6.6. Функция $u \in H^{1}_{loc}(\Omega)$ называется обобщённым решением уравнения $\mathcal{L} u = f$ с общим равномерно эллиптическим оператором (6.6), если для любой пробной функции $v \in \mathcal{D}(\Omega)$ справедливо интегральное равенство

$s_{\mathcal{L}}(u,v) - \int \limits_{\Omega} u \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v\right) dx = \int \limits_{\Omega} f(x) v dx,\,\,\, (6.23)$

в котором $s_{\mathcal{L}}$ задаётся формулой (6.13).

Очевидно, что если функция $u \in H^{1}(\Omega)$ — обобщённое решение задачи Дирихле (6.9) или задачи Робена (6.10), то она удовлетворяет определению 6.6, т.е. служит обобщённым решением самого уравнения. Действительно, в определениях 6.4 и 6.5 в качестве пробной можно взять произвольную основную функцию $v \in \mathcal{D} (\Omega)$ — в обоих случаях получается интегральное равенство (6.23).

6.3. Корректность и фредгольмова разрешимость краевых задач

В этом параграфе мы исследуем разрешимость стандартных внутренних краевых задач (6.9), (6.10) с дивергентным (6.8) или общим (6.6) равномерно эллиптическим оператором. Нас интересует существование и единственность обобщённых решений (в смысле определений 6.2, 6.3, 6.4 и 6.5). Условия, при которых обобщённые решения будут сильными, изучаются в пятом параграфе. Всюду предполагается, что $\partial \Omega \in C^1$ , $a_{ij} \in C\left( \overline{\Omega} \right)$ , $b_i \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , $i,j=1,\ldots,n$ , $c \in C\left( \overline{\Omega} \right)$ , $\sigma \in C(\partial \Omega)$ . Установим, вооружившись вариационным методом, классы корректных (однозначно разрешимых, см. определение 2.10) стандартных внутренних задач для дивергентных равномерно эллиптических уравнений.

Теорема 6.2. Пусть в дивергентном равномерно эллиптическом операторе (6.8) коэффициент $c \geqslant 0$ в $\overline{\Omega}$ . Тогда для каждых $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in H^{1/2}(\partial \Omega)$ задача Дирихле (6.9) имеет единственное обобщённое решение $u \in H^{1}(\Omega)$ и верна оценка

$\| u \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant C_1 \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + C_2 \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \,\,\, (6.24)$

с независящими от $f$ и $\varphi$ константами $C_1$ , $C_2$ .

Доказательство. По теореме о поднятии из пятой главы существует константа $C>0$ , зависящая только от $\partial \Omega$ , и оператор $L: H^{1/2}(\partial \Omega) \to H^{1}(\Omega)$ , что для всех $\varphi \in H^{1/2}(\partial \Omega)$ $\| L \varphi \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant C \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)}$ , где $\| \cdot \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega}$ — эквивалентная норма пространства следов. Обозначим $w = L \varphi$ и сделаем редукцию, положив $u=u_0+w$ , где $u_{0} \in H^{1}_{0}(\Omega)$ . Функционал энергии (6.14) преобразуется к виду

$\begin{aligned} & E_{D} \left( u_0 + w \right) = s_{\mathcal{L}} \left( u_0,u_0 \right) +2 s_{\mathcal{L}}\left( w,u_0 \right) -\\ &- 2\int \limits_{\Omega} f(x) u_0 dx+s_{\mathcal{L}}(w,w)-2\int \limits_{\Omega} f(x)w dx. \\ \end{aligned}$

Обозначим $\tilde{E}_{D}(u_0)=s_{\mathcal{L}}(u_0,u_0)- 2 \langle l,u_0 \rangle$ , где $l$ — линейная по $u_0$ часть $E_{D}\left( u_0+w \right)$ .

По теореме об эквивалентной норме симметрическая билинейная форма $(u,v)' = s_{\mathcal{L}} (u,v) + \int_{\partial \Omega} \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds$ задаёт скалярное произведение в $H^{1}(\Omega)$ , а соответствующая норма $\| u \|' = \sqrt{(u,u)'}$ эквивалентна стандартной: существуют такие константы $\alpha>0$ , $\beta>0$ , что верно неравенство $\beta^{-1} \| u\|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \|u\|' \leqslant \alpha \| u \|_{H^{1}(\Omega)}$ для всех $u \in H^{1}(\Omega)$ . Для функций $u_0,v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ $(u_0,v)' = s_{\mathcal{L}} (u,v)$ . Функционал $\tilde{E}_{D}$ над пространством $H^{1}_{0}(\Omega)$ удовлетворяет условиям теоремы 6.1: действительно, форма $s_{\mathcal{L}}$ согласована со скалярным произведением в $H^{1}_{0}(\Omega)$ , а функционал $\langle l,u_0 \rangle = \int_{\Omega} f(x) u_0 dx -s_{\mathcal{L}} (w,u_0) = \left( f,u_0 \right)_{L_{2}(\Omega)}-\left( w, u_0 \right)'$ ограничен:

$\begin{aligned} & \left| \langle l,u_0 \rangle \right| \leqslant \| f \|_{L_{2}(\Omega)} \| u_{0} \|_{L_{2}(\Omega)} + \| w \|' \| u_0 \|' \leqslant \| f \|_{L_{2}(\Omega)} \| u_{0} \|_{H^1(\Omega)} + \alpha^2 \| w \|_{H^{1}(\Omega)} \| u_0 \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \\ & \leqslant \left( \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \alpha^2 \| L \| \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \right) \| u_0 \|_{H^{1}(\Omega)},\\ \end{aligned}$

где $\| L \|$ — норма оператора поднятия $L: H^{1/2}(\partial \Omega) \to H^{1}(\Omega)$ . Мы показали ограниченность функционала $l$ над пространством $H^{1}_{0}(\Omega)$ в смысле стандартной нормы, потому что именно она входит в оценку (6.24), но, конечно, $l$ будет ограничен и относительно эквивалентной нормы $\| \cdot \|'$ . Обозначим $u^{\star}_{0} = \mathrm{argmin}_{u_0 \in H^{1}_{0}(\Omega)} \tilde{E}_{D}(u_0)$ . Необходимое условие экстремали означает, что $u = u^{\star}_{0}+w$ — обобщённое решение задачи Дирихле (6.9). В самом деле, имеем для любой $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ $s_{\mathcal{L}} \left( u_{0}^{\star} ,v \right) - \langle l,u_0 \rangle =0$ , т.е. $s_{\mathcal{L}} \left( u_{0}^{\star}+w ,v \right)=\int_{\Omega} f(x) v dx$ , что совпадает с интегральным тождеством (6.15) из определения 6.2.

Единственность обобщённого решения задачи Дирихле не следует из единственности экстремали функционала энергии, поскольку поднять граничную функцию $\varphi$ можно множеством способов. Однако единственность легко установить непосредственно: пусть $u, \tilde{u} \in H^{1}(\Omega)$ — два обобщённых решения задачи (6.9). Тогда для всех $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ $s_{\mathcal{L}} \left( u-\tilde{u}, v \right) =0$ , причём $u - \tilde{u} \in H^{1}_{0}(\Omega)$ . Но так как форма $s_{\mathcal{L}}$ задаёт в $H^{1}_{0}(\Omega)$ скалярное произведение, $u = \tilde{u}$ .

Положим $v = u^{\star}_{0}$ и получим из необходимого условия экстремали и оценки нормы $\| l \|^{*}$ линейного функционала $l$ , что

$\frac{1}{\beta^2} \left\| u^{\star}_{0} \right\|^2 \leqslant s_{\mathcal{L}} \left( u^{\star}_{0},u^{\star}_{0} \right) = \langle l, u^{\star}_{0} \rangle \leqslant \left( \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \alpha^2 \| L \| \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \right) \| u^{\star}_0 \|_{H^{1}(\Omega)},$

откуда $\left\| u^{\star}_{0} \right\|_{H^{1}_{0}(\Omega)} \leqslant \beta^2 \left( \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \alpha^2 \| L \| \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \right)$ . Но тогда

$\left\| u \right\|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \left\| u^{\star}_{0} \right\|_{H^{1}(\Omega)} + \| w \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \beta^2 \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \left( 1+ \alpha^2 \beta^2 \right) \| L \| \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)}$

и в качестве констант из (6.24) можно взять $C_1 = \beta^2$ , $C_2 = \left( 1+ \alpha^2 \beta^2 \right) \| L \|$ $\blacksquare$

Теорема 6.3. Пусть в дивергентном равномерно эллиптическом операторе (6.8) коэффициент $c \geqslant 0$ в $\overline{\Omega}$ , а коэффициент в краевом условии $\sigma \geqslant 0$ на $\partial \Omega$ , причём $c \ne 0$ или $\sigma \ne 0$ . Тогда для каждых $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in L_2(\partial \Omega)$ задача Робена (6.10) имеет единственное обобщённое решение $u^{\star} \in H^{1}(\Omega)$ , кроме того, справедлива оценка

$\left\| u^{\star} \right\|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant C_1 \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + C_2 \| \varphi \|_{L_{2}(\partial \Omega)} \,\,\, (6.25)$

с константами $C_1$ , $C_2$ , зависящими от области $\Omega$ , коэффициентов оператора (6.8) и граничного коэффициента $\sigma$ , но не от $f$ и $\varphi$ .

Доказательство. Симметрическая билинейная форма

$\tilde{s} (u,v) = s_{\mathcal{L}}(u,v) + \int \limits_{\Omega} \sigma(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds$

есть скалярное произведение в $H^{1}(\Omega)$ , ассоциированная норма $\| \cdot \|'$ эквивалентна стандартной норме пространства Соболева. В частности, имеет место неравенство $\| u\|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \beta \| u \|'$ для всех $u \in H^{1}(\Omega)$ . Линейный над $H^{1}(\Omega)$ функционал $\langle l,u \rangle = \int_{\Omega} f(x) u dx + \int_{\partial \Omega} \varphi(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} ds$ ограничен:

$\begin{aligned} & \left| \langle l,u \rangle \right| \leqslant \| f \|_{L_{2}(\Omega)} \| u \|_{L_{2}(\Omega)} + \| \varphi \|_{L_{2} (\partial \Omega)} \| T \| \|u \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \\ & \leqslant \left( \| f\|_{L_{2}(\Omega)} + \| \varphi \|_{L_{2} (\partial \Omega)} \| T \|\right) \| u\|_{H^{1}(\Omega)},\\ \end{aligned}$

где $T: H^{1}(\Omega) \to L_{2}(\partial \Omega)$ — оператор следа (таким образом, норма функционала $\| l \|^{*} \leqslant \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \| \varphi \|_{L_{2} (\partial \Omega)} \| T \|$ ), поэтому функционал энергии (6.16) удовлетворяет теореме 6.1 об экстремали. Обозначим $u^{\star}=\mathrm{argmin}_{u \in H^{1}(\Omega)} E_{R}(u)$ . Необходимое условие экстремали $\tilde{s}\left( u^{\star},v\right)- \langle l, v \rangle =0$ для любой $v \in H^{1}(\Omega$ означает, что $u^{\star}$ — обобщённое решение задачи Робена (6.10). Если $u \in H^{1}(\Omega)$ — другое обобщённое решение, то $u^{\star}-u$ удовлетворяет для любой $v \in H^{1}(\Omega)$ соотношению $\tilde{s}\left( u^{\star}-u,v\right) =0$ , поэтому $u^{\star}=u$ ; единственность доказана.

Для вывода априорной оценки (6.25) положим $v= u^{\star}$ и запишем, используя необходимое условие экстремали функционала энергии (6.16),

$\frac{1}{\beta^2} \left\| u^{\star} \right\|^2_{H^{1}(\Omega)}\leqslant \tilde{s} \left( u^{\star}, u^{\star}\right) = \langle l,u^{\star} \rangle \leqslant \|l \|^{*} \left\| u^{\star} \right\|_{H^{1}(\Omega)}.$

Отсюда $\| u^{\star} \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \beta^2 \| l \|^{*} \leqslant \beta^2 \left( \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \| \varphi \|_{L_{2} (\partial \Omega)} \| T \|\right)$ . Полагая $C_1=\beta^2$ , $C_2= \beta^2 \| T \|$ , получим (6.25) $\blacksquare$

Задача Дирихле (6.9) для уравнения с общим равномерно эллиптическим оператором (6.6), если $\vec{b} \ne 0$ или коэффициент $c$ принимает отрицательные значения, может не иметь решений или иметь бесконечно много решений, т.е. быть некорректной. Самый простой пример краевой задачи с нарушенной единственностью — задача Неймана для уравнения Пуассона: её классическое решение определено с точностью до константы, если граница области принадлежит классу $C^2$ . Та же задача Неймана (2.29) имеет решение, если интеграл от граничной функции равен нулю: $\int_{\partial \Omega} \varphi(x) ds=0$ . Конечность (и совпадение) размерности пространства решений однородной задачи (2.30) и числа соотношений типа равенства в необходимом условии существования решения суть фредгольмова разрешимость — приемлемое расширение корректности.

С неформальной точки зрения фредгольмова разрешимость — это однозначная разрешимость с точностью до конечномерных подпространств. Дадим строгое определение. Пусть $S:H \to H$ — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Рассмотрим операторное уравнение

$Su=F\,\,\, (6.26)$

с известной правой частью $F$ .

Определение 6.7. Оператор $S: H \to H$ фредгольмов, если он имеет конечномерные ядро и коядро: 1) $\dim \mathrm{Ker}\, S<\infty$ ; 2) $\dim \mathrm{Coker}\, S<\infty$ .

Здесь $\mathrm{Ker}\, S =\{ u\in H: Su=0\}$ — ядро оператора $L$ , $\mathrm{Coker}\, S = (\mathrm{Im} \, S)^{\bot}$ — коядро оператора $S$ , где $\mathrm{Im}\, S = \{F \in H:\exists u \in H,\, Su=F\}$ — его образ. Индексом фредгольмова оператора называется целое число $\mathrm{ind}\, S=\dim \mathrm{Ker}\, S - \dim \mathrm{Coker}\, S$ .

Условие на ядро в определении 6.7 означает, что однородное уравнение $Su=0$ имеет конечное число линейно независимых решений. Из условия на коядро следует, что уравнение (6.26) разрешимо, если и только если правая часть удовлетворяет конечному числу условий вида $F \bot v_{j}$ , где $v_1,\ldots,v_{d}$ — базис коядра, $j=1,\ldots,d=\dim \mathrm{Coker}\, S$ . Отметим, что образ фредгольмового оператора всегда замкнут.

Нетрудно увидеть, что коядро оператора $S$ совпадает с ядром сопряжённого к нему оператора: $\mathrm{Coker}\, S = \mathrm{Ker}\, S^{*}$ . Таким образом, уравнение (6.26) разрешимо тогда и только тогда, когда для любого решения уравнения $S^{*}v=0$ верно $(F,v)_H=0$ .

Сделаем одно терминологическое замечание. Иногда в литературе (особенно старой) фредгольмов оператор обязательно имеет индекс, равный нулю. Если оператор с конечномерными ядром и коядром имеет ненулевой индекс, то в этих книгах он называется нётеровым. Однако, в этом параграфе индексы всех операторов будут равны нулю, поэтому не важно, старой или современной традиции мы следуем.

Теорема 6.4. Пусть $H$ — гильбертово пространство, $K:H \to H$ — компактный оператор в $H$ , тогда $S=I-K$ — фредгольмов оператор с нулевым индексом.

Данная теорема, восходящая к Ф. Риссу и Ю.П. Шаудеру, справедлива и для банаховых пространств (см. А.Я. Хелемский, «Лекции по функциональному анализу», М.: МЦНМО, 2004), но мы докажем её, оставаясь в рамках гильбертовых пространств, пользуясь известными утверждениями об ограниченных и компактных операторах в гильбертовых пространствах, а также фактами об операторном сопряжении (см. главу 5 «Пространства Соболева»). Но сначала докажем мультипликативное свойство индекса.

Утверждение 6.6. Пусть $S, T: H \to H$ — фредгольмовы операторы в гильбертовом пространстве $H$ . Тогда оператор $TS: H \to H$ тоже фредгольмов и

$\mathrm{ind}\, (TS) = \mathrm{ind}\, T + \mathrm{ind}\, S. \,\,\, (6.27)$

Доказательство. Рассмотрим в $H$ конечномерное подпространство $H_0 = \mathrm{Im}\, S \cap \mathrm{Ker}\, T$ . Очевидно, $\mathrm{Ker} (TS) = \left\{ u \in H: Su \in \mathrm{Ker}\, T \right\}$ и $S$ отображает $\mathrm{Ker} (TS)$ на $H_0$ ; при этом ядром $S: \mathrm{Ker} (TS) \to H_0$ служит $\mathrm{Ker}\, S$ . Отсюда

$\dim \mathrm{Ker}(TS) = \dim \mathrm{Ker}\, S + \dim H_0 < \infty.$

Теперь обозначим через $H^0$ какое-нибудь конечномерное линейное дополнениие к сумме $\mathrm{Im}\, S + \mathrm{Ker}\, T$ . Очевидно, образ $\mathrm{Im} (TS)$ (он же $T \left( \mathrm{Im}\, S \right)$ ) совпадает с $T \left( \mathrm{Im}\, S + \mathrm{Ker}\, T \right)$ , поэтому $\mathrm{Im}\, T$ — это алгебраическая сумма $\mathrm{Im} (TS) + T \left( H^0 \right)$ . Но если некий вектор $u \in H$ одновременно может быть представлен как $TS v$ , $v \in H$ , и как $T w$ , $w \in H^0$ , то $S v -w \in \mathrm{Ker}\, T$ , следовательно, $w \in \left( \mathrm{Im}\, S + \mathrm{Ker}\, T \right) \cap H^0$ , т.е. $w =0$ и, стало быть, $u=0$ . Поэтому на самом деле $\mathrm{Im}\, T$ — прямая сумма $\mathrm{Im} (TS) \oplus T \left( H^0 \right)$ . Учитывая, что $\mathrm{Ker}\, T \cap H^0 = 0$ и сужение $\left. T \right|_{H^0}$ инъективно, имеем

$\mathrm{codim}\, \mathrm{Im}(TS) = \mathrm{codim}\, \mathrm{Im}\, T + \dim H^0 < \infty.$

Итак, оператор $TS$ фредгольмов с индексом

$\mathrm{ind} (TS) = \left( \dim \mathrm{Ker}\, S + \dim H_0 \right) - \left( \mathrm{codim}\, \mathrm{Im}\, T + \dim H^0 \right).\,\,\, (6.28)$

Теперь обозначим через $H_1$ произвольное линейное дополнение к $H_0$ в $\mathrm{Ker}\, T$ . Тогда $\dim \mathrm{Ker}\, T = \dim H_0 + \dim H_1$ . В то же время из очевидного совпадения $\mathrm{Im}\, S + \mathrm{Ker}\, T$ с $\mathrm{Im}\, S \oplus H_1$ следует, что $\mathrm{codim}\, \mathrm{Im}\, S = \dim H^0 + \dim H_1$ . Выражая из последних двух формул $\dim H_0$ и $\dim H^0$ , выводим из из формулы (6.28) формулу (6.27) $\blacksquare$

Предъявленное доказательство не использует ограниченность операторов $T$ , $S$ и гильбертову природу пространства, где они действуют. Дело в том, что само понятие фредгольмовости по своей сути алгебраическое: в определении 6.7 говорится о коядре оператора, но последнее можно определить как факторпространство $H / \mathrm{Im}\, S$ . Кроме того, можно рассматривать линейные отображения между разными пространствами $S: H \to H'$ и называть их фредгольмовыми, если $\dim \mathrm{Ker}\, S < \infty$ и $\dim \mathrm{Coker}\, S = \mathrm{codim}_{H'} \mathrm{Im}\, S < \infty$ . Мультипликативное свойство индекса выживает и в такой общности.

Обсудим ещё одну алгебраическую конструкцию. Для линейного оператора $S: H \to H$ , действующего в векторном пространстве $H$ , положим $N_{k} = \mathrm{Ker}\, S^k$ , $L_{k} = \mathrm{Im}\, S^{k}$ для $k \in \mathbb{N}_0$ . Имеем цепочки вложенных подпространств

$0=N_0 \subset N_1 \subset N_2 \subset \ldots \subset H = L_0 \supset L_1 \supset L_2 \supset \ldots \supset 0.$

Может случиться, что какая-то из этих цепочек стабилизируется. Подъёмом линейного оператора $S: H \to H$ называется число $a(S) = \min \left\{ k \in \mathbb{N}_0: N_{k+1} = N_{k} \right\}$ (или $a(T) = \infty$ , если минимум берётся по пустому множеству). Спуском линейного оператора $S$ называется число $d(S) = \min \left\{ k \in \mathbb{N}_0: L_{k+1} = L_{k} \right\}$ ; если таких $k$ не существуют, то полагают $d(S) = \infty$ . Легко видеть, что если $N_{k+1}= N_{k}$ ( $L_{k+1}=L_{k}$ ) для некоторого $k$ , то для всех $j \in \mathbb{N}$ будет $N_{k+j} = N_{k}$ ( $L_{k+j} = L_{k}$ ). Также нетрудно показать (упражнение), что при $a(S)<\infty$ и $d(S)<\infty$ имеет место равенство $a(S)=d(S)$ . Теперь можно приступить к доказательству теоремы 6.4.

Доказательство теоремы 6.4. Обозначим $N= \mathrm{Ker}\, S$ ; тогда $\left. K \right|_{N} = I_{N}$ , где $I_N$ — тождественный оператор, действующий в $N$ . Отсюда $\mathrm{dim}\, N <\infty$ , так как тождественный оператор компактен только в конечномерном гильбертовом пространстве.

Пусть теперь $M$ — ортогональное дополнение $N$ ; рассмотрим инъективный оператор $\hat{S}: M \to H$ , $\hat{S} u = S u$ . Замкнутость подпространства $\mathrm{Im}\, \hat{S} = \mathrm{Im}\, S$ равносильна тому, что $\hat{S}$ — топологически инъективный оператор. Предположим, что это не так: существует последовательность $\{ u_{k} \}_{k=1}^{\infty} \subset M$ , $\left\| u_{k} \right\| = 1$ для всех $k \in \mathbb{N}$ , и $S u_{k} \to 0$ , т.е. $u_{k} - K u_{k} \to 0$ при $k \to \infty$ . Поскольку оператор $K$ компактен, мы можем (переходя, если нужно, к подпоследовательности) считать, что последовательность $\{ K u_{k} \}_{k=1}^{\infty}$ сходится. Следовательно, существует $u = \lim \limits_{k \to \infty} u_{k}$ и $u= Ku$ , т.е. $u \in N$ , что невозможно. Итак, образ $\mathrm{Im}\, S$ замкнут.

Поскольку образ оператора $S$ замкнут, имеем $\mathrm{Coker}\, S = \mathrm{Ker}\, S^{*}$ , где $S^{*}$ — сопряжённый оператор. Но $S^{*} = I - K^{*}$ , оператор $K^{*}$ тоже компактен, следовательно, $\mathrm{Ker}\, S^{*}$ конечномерно, значит, то же свойство имеет $\mathrm{Coker}\, S$ .

Из утверждения 6.6 следует, что для каждого $k \in \mathbb{N}$ оператор $S^{k}$ тоже фредгольмов. Покажем, что оператор $S$ имеет конечные подъём и спуск. Предположим, что $a(T) = \infty$ ; тогда $N_{k} \ne N_{k+1}$ для всех натуральных $k$ . Пусть $u_{k} \in N_{k+1}$ — перпендикуляр к $N_{k}$ , $\left\| u_{k} \right\|=1$ . Имеем для всех $k, j \in \mathbb{N}$ , $k<j$ , $\left\| K u_{j} - K u_{k} \right\| = \left\| u_{j} - \left( S u_{j} + u_{k} - Su_{k} \right) \right\|$ . Но элементы $S u_{j}$ , $u_{k}$ , $Su_{k}$ лежат в $N_{j}$ , поэтому $\left\| K u_{j} - K u_{k} \right\| \geqslant 1$ , что невозможно ввиду компактности оператора $K$ .

Предыдущие рассуждения можно применить к оператору $S^{*}$ и получить $\mathrm{Ker} \left( S^* \right)^{k} = \mathrm{Ker} \left( S^* \right)^{k+1}$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$ . Пользуясь равенством $\left( S^{*} \right)^{k} = \left( S^{k} \right)^{*}$ и свойствами операторов (фредгольмовость и замкнутый образ), выпишем равенства

$\begin{aligned} & \mathrm{Im}\, S^{k} = \overline{\mathrm{Im}\, S^{k}} = \left( \mathrm{Ker}\, \left( S^{k} \right)^{*} \right)^{\bot} = \left( \mathrm{Ker}\, \left( S^{k+1} \right)^{*} \right)^{\bot} = \\ & = \overline{\mathrm{Im}\, S^{k+1}} = \mathrm{Im}\, S^{k+1}.\\ \end{aligned}$

Таким образом, $d(S) < \infty$ и $a(S)=d(S)=p<\infty$ , т.е. $N_{p+1}=N_{p}$ , $L_{p+1}=L_{p}$ . Отсюда сразу следует, что $\mathrm{ind}\, S^{p} = \mathrm{ind}\, S^{p+1}$ . Применяя мультипликативное свойство индекса, заключаем, что $p\, \mathrm{ind}\, S = (p+1) \mathrm{ind}\, S$ , откуда и следует $\mathrm{ind}\, S = 0$ $\blacksquare$

Проблема в том, что определения 6.4 и 6.5 не сформулированы в терминах операторных уравнений. Поэтому для исследования фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле и задачи Робена, эти определения следует свести к эквивалентным (в смысле обобщённых решений) операторным уравнениям.

Начнём с задачи Дирихле (6.9). В пространстве $H^{1}_{0}(\Omega)$ введём эквивалентную норму, порождённую скалярным произведением

$(u,v)'=\int \limits_{\Omega} A(x) \nabla u \cdot \nabla v dx + \int \limits_{\Omega} \left( c(x) + m\right)u v dx,$

где $m=\max \left\{ -\min_{x \in \overline{\Omega}} c(x),0 \right\}$ . По теореме об эквивалентной норме существуют константы $\alpha, \beta>0$ , что для всех $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ будем иметь $\beta^{-1} \| v\|_{H^{1}_{0}(\Omega)} \leqslant \|v \|' \leqslant \alpha \| v \|_{H^{1}_{0}(\Omega)}$ , где $\| v \|' = \sqrt{(v,v)'}$ . Пусть $L: H^{1/2}(\partial \Omega) \to H^{1}(\Omega)$ — оператор поднятия; обозначим $w=L \varphi$ — поднятие граничной функции. Сделаем подстановку $u=u_0+w$ в интегральное равенство (6.21) и перепишем его в виде

$(u_0,v)'+\langle l_1(u_0),v\rangle = (f,v)_{L_{2}(\Omega)}-(w,v)'-\langle l_1(w),v\rangle,\,\,\, (6.29)$

где $\langle l_1(u_0),v\rangle = -m \int_{\Omega} u_0 v dx-\int_{\Omega} u_0 \vec{b}(x) \cdot \nabla v dx$ (выражение для $\langle l_1(w),v\rangle$ аналогичное).

Лемма 6.1. Существует единственный компактный оператор $K_{D}: H^{1}_{0}(\Omega) \to H^{1}_{0}(\Omega)$ , такой, что для всех $u_0 \in H^{1}_{0}(\Omega)$ , $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ $\langle l_1(u_0),v\rangle = (K_{D}u_0,v)'$ .

Доказательство. Проверим, что $l_1(u_0) \in H^{1}_{0}(\Omega)^{*}$ , причём не только для $u_0 \in H^{1}_{0}(\Omega)$ , но и для любой $u_0 \in L_{2}(\Omega)$ . Имеем для $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$

$\begin{aligned} & \left| \langle l_1(u_0),v\rangle \right| \leqslant m \| u_0\|_{L_2(\Omega)} \| v \|_{L_{2}(\Omega)} + \max \limits_{\overline{\Omega}} | \vec{b}|\, \| u_0\|_{L_2(\Omega)} \left\| |\nabla v| \right\|_{L_{2}(\Omega)} \leqslant \\ & \leqslant m \| u_0\|_{L_2(\Omega)} \| v \|_{H^{1}(\Omega)} + \max \limits_{\overline{\Omega}} | \vec{b}|\, \| u_0\|_{L_2(\Omega)} \| v \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \beta \left( m + \max \limits_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right) \| u_0\|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|' .\\ \end{aligned}$

По теореме Рисса существует функция $\tilde{K}_{D} u_0 \in H^{1}_{0}(\Omega)$ и верно представление $\langle l_1(u_0),v\rangle =( \tilde{K}_{D} u_0,v)'$ , причём $\| \tilde{K}_{D}u_0\|'=\| l_1 \|'^* \leqslant \beta \left( m + \max \limits_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right) \| u_0\|_{L_{2}(\Omega)}$ . Данная конструкция даёт ограниченный оператор $\tilde{K}_{D} : L_{2}(\Omega) \to H^{1}_{0}(\Omega)$ , $L_{2}(\Omega) \ni u_0 \mapsto \tilde{K}_{D} u_0 \in H^{1}_{0}(\Omega)$ , с нормой $\| \tilde{K}_{D} \|' \leqslant \beta \left( m + \max_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right)$ .

Тогда искомый оператор $K_{D} = \tilde{K}_{D} J$ , где $J: H^{1}_{0}(\Omega) \to L_{2}(\Omega)$ — компактный оператор вложения. Хорошо известно, что композиция компактного и ограниченного операторов (в любом порядке) компактна. Единственность очевидна: если существует другой оператор $K'_D:H^{1}_{0}(\Omega) \to H^{1}_{0}(\Omega)$ , удовлетворяющей выводу леммы, то для любых $u_0,v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ верно $\left(K_{D}u_0-K'_{D}u_0,v \right)'=0$ , откуда $K_Du_0=K'_D u_0$ $\blacksquare$

Из доказательства также следует, что норма построенного оператора $\| K_{D} \|' \leqslant \| \tilde{K}{D} \|' \leqslant \beta \left( m + \max_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right)$ , поскольку норма оператора вложения равна $1$ . Перепишем, пользуясь леммой 6.1, интегральное тождество (6.29) в виде

$\left( (I+K_{D}) u_0, v \right)' = \langle l, v \rangle.\,\,\, (6.30)$

где $\langle l,v \rangle = (f,v)_{L_{2}(\Omega)}-(w,v)'-\langle l_1(w),v\rangle$ . Цепочка неравенств

$\begin{aligned} & \left| \langle l, v \rangle \right| \leqslant \| f \|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|_{L_{2}(\Omega)} + \| w \|' \| v\| ' + \beta \left( m + \max_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right) \| w\|_{L_{2}(\Omega)} \| v\| ' \leqslant \\ & \leqslant \left( \beta \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \| L \| \left( \alpha +\beta \max_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right) \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \right) \| v \|'\\ \end{aligned}$

говорит о том, что $l \in H^{1}_{0}(\Omega)^*$ . По теореме Рисса существует единственная функция $F \in H^{1}_{0}(\Omega)$ и для всех $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ справедливо представление $\langle l,v \rangle = (F,v)'$ . Кроме того, $\| F \|' = \| l \|'^* \leqslant \left( \beta \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \| L \| \left( \alpha +\beta \max_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right) \| \varphi \|'_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \right)$ . Но тогда из интегрального тождества (6.30) следует для любой пробной функции $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ равенство $\left((I+K_{D})u_0-F,v \right)'=0$ . Отсюда получаем операторное уравнение для обобщённых решений задачи Дирихле (6.9):

$\left( I+K_{D} \right) u_0=F.\,\,\, (6.31)$

По теореме 6.4 оператор $I+K_{D}$ фредгольмов, а его индекс равен нулю.

Выясним, что означает фредгольмова разрешимость задачи Дирихле (6.9), опишем её ядро и получим явные условия разрешимости. Ядро оператора $I+K_{D}$ — пространство обобщённых решений задачи (6.9), когда $f=0$ и $\varphi=0$ . Действительно, из $\left( I+K_{D} \right) u_0=0$ следует, что $\left((I+K_{D})u,v \right)'=0$ для всех $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ . Преобразуем последнее равенство: $(u,v)'+\langle l_1(u),v \rangle =0$ или в интегральном виде

$\int \limits_{\Omega} A(x) \nabla u \cdot \nabla v dx + \int \limits_{\Omega} \left( c(x)+m \right) uv dx - m \int \limits_{\Omega} u v dx - \int \limits_{\Omega} u \vec{b}(x) \cdot \nabla v dx =0,$

т.е. $s_{\mathcal{L}}(u,v)-\int_{\Omega} u \vec{b}(x) \cdot \nabla v dx=0$ , что совпадает с интегральным равенством (6.21) при $f=0$ из определения 6.4 обобщённых решений задачи Дирихле. Из фредгольмовости следует, что $\dim \mathrm{Ker}\left( I+K_{D} \right)=d < \infty$ .

Коядро оператора $I+K_{D}$ также конечномерно, а его размерность равна $d$ . Выясним, из каких функций состоит $\mathrm{Coker}\left( I+K_{D} \right)$ . Имеем $\mathrm{Coker}\left( I +K_{D} \right)=\mathrm{Ker} \left( I+K^{*}_{D} \right)$ , где $K^{*}_{D}$ — сопряжённый оператор. Функция $u^{*} \in \mathrm{Ker} \left( I+K_{D}^{*} \right)$ тогда и только тогда, когда для любой $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ $\left( \left(I+K^{*}{D} \right) u^{*},v \right)'=0$ ; другими словами,

$\begin{aligned} & \int \limits_{\Omega} A(x) \nabla u^{*} \cdot \nabla v dx + \int \limits_{\Omega} \left( c(x) + m\right) u^{*} v dx - m \int \limits_{\Omega} u^{*} v dx - \int \limits_{\Omega} v (\vec{b}(x) \cdot \nabla u^{*}) dx= 0. \\ \end{aligned}$

Интегрирование по частям позволяет представить последнее равенство в виде

$\begin{aligned} & \int \limits_{\Omega} A(x) \nabla u^{*} \cdot \nabla v dx + \int \limits_{\Omega} \left( c(x) +\mathrm{div}\, \vec{b} (x)\right) u^{*} v dx + \int \limits_{\Omega} u^{*} \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v\right) dx = 0.\,\, (6.32)\\ \end{aligned}$

Учтём вид формально сопряжённого оператора (6.7), введём форму $s_{\mathcal{L}^{*}}(u^{*},v)= \int_{\Omega} A(x) \nabla u^{*} \cdot \nabla v dx + \int_{\Omega} \left( c(x)+ \mathrm{div}\, \vec{b}(x)\right) u^{*} v dx$ и перепишем равенство (6.32) следующим образом:

$s_{\mathcal{L}^{*}} (u^{*},v)+\int \limits_{\Omega} u^{*} \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v\right)dx=0.\,\,\, (6.33)$

Что означает соотношение (6.33)? Произвольность пробной функции $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ позволяет заявить, что функция $u^{*} \in H^{1}_{0}(\Omega)$ — обобщённое решение задачи Дирихле для формально сопряжённого оператора, имеющей вид

$\left\{ \begin{aligned} & \mathcal{L}^{*} u^{*} =0,\, x \in \Omega,\\ & \left. u^{*} \right|_{\partial \Omega} = 0.\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (6.34)$

Задачу (6.34) называют сопряжённой к исследуемой задаче Дирихле (6.9). Если оператор $\mathcal{L}$ самосопряжён, т.е. имеет вид (6.8), то левые части сопряжённой задачи совпадают с левыми частями задачи (6.9).

Пусть $u_{1}^{*},\ldots,u_{d}^{*} \in H^{1}_{0}(\Omega)$ — базис $\mathrm{Coker} \left( I+K_D \right)$ , образующий максимальную линейно независимую систему обобщённых решений сопряжённой задачи (6.34). Получим критерий существования обобщённого решения задачи Дирихле (6.9) для общего равномерно эллиптического оператора второго порядка. Неявный вариант критерия: $F \bot u_{j}^{*}$ , $j=1,\ldots,d$ , где $F$ — правая часть операторного уравнения (6.31). Чтобы получить критерий разрешимости в явном виде, вспомним, как мы получили функцию $F \in H^{1}_{0}(\Omega)$ : для всех $v \in H^{1}_{0}(\Omega)$ $\langle l,v \rangle = (F,v)'$ . Отсюда $\left(F,u_{j}^{*} \right)'=0$ в том и только в том случае, если $\left \langle l,u_{j}^{*} \right \rangle =0$ или

$\left( f,u_{j}^{*} \right)_{L_{2}(\Omega)}- \left( w,u_{j}^{*} \right)'- \left \langle l_1(w),u_{j}^{*} \right \rangle =0.$

Последнее равенство можно переписать как

$\int \limits_{\Omega} f(x) u_{j}^{*} dx-\left( s_{\mathcal{L}} (u_{j}^{*},w)- \int \limits_{\Omega} w \vec{b}(x) \cdot \nabla u_{j}^{*} dx\right)=0.$

Выражение в скобках можно преобразовать по формуле интегрирования по частям и получить $s_{\mathcal{L}^{*}} (u_{j}^{*},w)+\int \limits_{\Omega} u_{j}^{*} \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla w\right)dx=0$ в силу того, что $u_{j}^{*}$ — обобщённое решение задачи (6.34). Отсюда

$\int \limits_{\Omega} f(x) u_{j}^{*} dx = 0.\,\,\, (6.35)$

Подведём итоги исследования фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле в следующей теореме (предполагается, что $\partial \Omega \in C^1$ , $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in H^{1/2}(\partial \Omega)$ , коэффициенты $a_{ij}, c \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ , $b_{i} \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , $i,j=1,\ldots,n$ ).

Теорема 6.5. Внутренняя задача Дирихле (6.9) для общего равномерно эллиптического оператора (6.6) разрешима по Фредгольму: 1) пространство решений однородной задачи (при $f=0$ и $\varphi=0$ ) имеет конечную размерность $d$ ; 2) обобщённое решение существует тогда и только тогда, когда для каждого обобщённого решения $u^{*} \in H^{1}_{0}(\Omega)$ сопряжённой задачи (6.34) выполнено $\int_{\Omega} f(x) u^{*} dx = 0$ (для каждого $u_{j}^{*} \in H^{1}_{0}(\Omega)$ , $j=1,\ldots,d$ , выполнено условие (6.35), где $u_{1}^{*},\ldots,u_{d}^{*}$ — базис пространства обобщённых решений задачи (6.34)); 3) пространство обобщённых решений задачи (6.34) также имеет размерность $d$ .

Таким образом, задача Дирихле (6.9) для общего равномерно эллиптического оператора (6.6) разрешима при любых $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in H^{1/2}(\partial \Omega)$ тогда и только тогда, когда она однозначно разрешима, т.е. при $f=0$ , $\varphi=0$ она имеет единственное тривиальное обобщённое решение. Однозначная разрешимость задачи (6.9) и сопряжённой к ней задачи (6.34) эквивалентны. В литературе последнее обстоятельство часто называют альтернативой Фредгольма (фредгольмовый оператор сюръективен тогда и только тогда, когда он инъективен).

Работаем с задачей Робена (6.10) для общего равномерно эллиптического оператора (6.6). В пространстве $H^{1}(\Omega)$ рассмотрим симметрическую билинейную форму

$(u,v)'=\int \limits_{\Omega} A(x) \nabla u \cdot \nabla v dx+\int \limits_{\Omega} \left( c(x) +m \right) u v dx + \int \limits_{\partial \Omega} \left( \tau (x) + \mu\right) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds,\,\,\, (6.36)$

где $m=\max \left\{ -\min_{x \in \overline{\Omega}} c(x),0 \right\}$ , $\mu=\max \left\{ -\min_{x \in \partial \Omega} \tau(x),0 \right \}$ , $\tau \in C(\partial \Omega)$ — функция из определения 6.5 обобщённых решений задачи Робена. Предположим, что $c \ne 0$ или $\tau \ne 0$ , тогда форма (6.36) — скалярное произведение в $H^{1}(\Omega)$ , порождающее норму, эквивалентную стандартной: существуют константы $\alpha, \beta>0$ и для всех $v \in H^{1}(\Omega)$ выполнено $\beta^{-1} \| v\|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \|v\|' \leqslant \alpha \| v \|_{H^{1}(\Omega)}$ . Случай $c \equiv 0$ , $\tau \equiv 0$ исследуется отдельно. Представим интегральное равенство (6.22) в виде

$(u,v)'+\langle l_{3}(u),v \rangle = (f,v)_{L_{2}(\Omega)} + (\varphi, Tv)_{L_{2}(\partial \Omega)},\,\,\, (6.37)$

где $T:H^{1}(\Omega) \to L_{2} (\partial \Omega)$ — оператор следа, линейный функционал $l_3(u)$ действует на функции $v \in H^{1}(\Omega)$ по формуле

$\langle l_{3}(u),v \rangle = -m\int \limits_{\Omega} uv dx-\mu \int \limits_{\partial \Omega} \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds -\int \limits_{\Omega} u \vec{b}(x) \cdot \nabla v dx.\,\,\, (6.38)$

Лемма 6.2. Существует единственный компактный оператор $K_{R}: H^{1}(\Omega) \to H^{1}(\Omega)$ с тем свойством, что для всех $u \in H^{1}(\Omega)$ , $v \in H^{1}(\Omega)$ $\langle l_3(u),v\rangle = (K_{R}u,v)'$ , где $(\cdot,\cdot)'$ — скалярное произведение в $H^{1}(\Omega)$ , задаваемое формулой (6.36).

Доказательство. Рассмотрим сначала функционал вида $\langle \tilde{l}_{3}(u),v \rangle = -m\int_{\Omega} uv dx -\int_{\Omega} u \vec{b}(x) \cdot \nabla v dx$ . Убедимся в том, что $\tilde{l}_{3}(u) \in H^{1}(\Omega)^{*}$ для $u \in L_{2}(\Omega)$ :

$\begin{aligned} & \left| \langle \tilde{l}_{3}(u),v \rangle \right| \leqslant m \| u \|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|_{L_{2}(\Omega)} + \max \limits_{\overline{\Omega}} | \vec{b}|\, \| u \|_{L_2(\Omega)} \left\| |\nabla v| \right\|_{L_{2}(\Omega)} \leqslant \\ & \leqslant \beta \left( m + \max_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right) \| u \|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|'.\\ \end{aligned}$

Тогда существует ограниченный оператор $\tilde{K} :L_{2}(\Omega) \to H^{1}(\Omega)$ , $L_{2}(\Omega) \ni u \mapsto \tilde{K} u \in H^{1}(\Omega)$ , задающий этот функционал: $\langle \tilde{l}_{3}(u),v \rangle=\left( \tilde{K} u, v \right)'$ , причём $\| \tilde{K} \| \leqslant \beta \left( m + \max_{\overline{\Omega}} | \vec{b}| \right)$ .

Теперь разберёмся с членом $-\mu \int_{\partial \Omega} \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds$ , входящим в определение функционала $l_3$ . Обозначим след на $\partial \Omega$ функции $u \in H^{1}(\Omega)$ через $\psi$ и запишем оценку

$\begin{aligned} & \left| -\mu \int_{\partial \Omega} \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds \right| \leqslant \mu \| \psi \|_{L_{2}(\Omega)} \| Tv \|_{L_{2}(\Omega)} \leqslant \\ & \leqslant \mu \| T\| \| \psi \|_{L_{2}(\partial \Omega)} \| v \|_{H^{1}(\Omega)} \leqslant \mu \beta \| T \| \, \| \psi \|_{L_{2}(\Omega)}\| v\|'. \\ \end{aligned}$

По теореме Рисса можно найти единственную функцию $S \psi \in H^{1}(\Omega)$ , с которой справедливо представление $-\mu \int_{\partial \Omega} \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds=(S\psi, v)'$ . Отметим, что функция $S \psi$ не должна совпадать с функцией $u$ ( $S$ — не оператор поднятия), но порождается ей с помощью композиции операторов $H^{1}(\Omega) \xrightarrow{T} L_{2}(\partial \Omega) \xrightarrow{S} H^{1}(\Omega)$ .

Положим $K_{R}=\tilde{K} J + ST$ , где $J:H^{1}(\Omega) \to L_{2}(\Omega)$ — оператор вложения. Для любых $u,v \in H^{1}(\Omega)$ имеем $(K_R u,v)' = (\tilde{K}u,v)' +(S\psi,v)'=\langle l_{3}(u),v\rangle$ . Компактность построенного оператора следует из компактности операторов вложения и следа (и ограниченности построенных операторов $\tilde{K}$ и $S$ ). Единственность оператора $K_{R}$ непосредственно следует из его определяющего свойства $\blacksquare$

Перепишем, пользуясь леммой 6.2, интегральное тождество (6.37) в виде

$\left( \left(I+K_{R} \right)u,v\right)'=(f,v)_{L_{2}(\Omega)}+(\varphi,Tv)_{L_{2}(\partial \Omega)}. \,\,\, (6.39)$

Оценим функционал $l$ в правой части (6.39):

$\left| \langle l, v \rangle \right| \leqslant \| f \|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|_{L_{2}(\Omega)} + \| \varphi \|_{L_{2}(\partial \Omega)} \| T v \|_{L_{2}(\partial \Omega)} \leqslant \beta \left(\| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \| T \| \, \| \varphi \|_{L_{2}(\partial \Omega)} \right) \| v \|'.$

По теореме Рисса существует единственная функция $F \in H^{1}(\Omega)$ , что для всех $v \in H^{1}(\Omega)$ справедливо представление $\langle l,v \rangle = (F,v)'$ . Следовательно, для любой пробной функции $v \in H^{1}(\Omega)$ верно $\left( \left( I+K_{R} \right)u-F,v \right)'=0$ , и операторное уравнение для обобщённых решений задачи Робена (6.10) имеет вид

$\left( I + K_{R} \right) u = F.\,\,\, (6.40)$

По теореме 6.4 оператор $I+K_{R}$ фредгольмов. Его ядро состоит из обобщённых решений задачи Робена (6.10), когда $f=0$ и $\varphi=0$ . Действительно, $\left(I+K_{R} \right)u=0$ тогда и только тогда, когда $\left( \left( I+K_{R} \right)u,v \right)'=0$ для любой $v \in H^{1}(\Omega)$ . Преобразуем последнее равенство: $(u,v)'+\langle l_{3}(u),v\rangle =0$ или

$s_{\mathcal{L}}(u,v)+\int \limits_{\partial \Omega} \tau(x) \left. u \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds-\int \limits_{\Omega} u \vec{b}(x) \cdot \nabla v dx=0,$

что совпадает с интегральным равенством (6.22) из определения 6.5, если правые части равны нулю. Фредгольмовость, в частности, означает, что $\dim \mathrm{Ker}\left( I+K_{R} \right)=d <\infty$ .

Коядро оператора $I+K_{R}$ также конечномерно, его размерность равна $d$ , потому что $\mathrm{ind} \left( I+K_{R} \right)=0$ . Имеем $\mathrm{Coker} \left( I+K_{R} \right)=\mathrm{Ker} \left( I+K_{R}^* \right)$ , где $K^{*}_{R}$ — сопряжённый оператор. Функция $u^{*} \in \mathrm{Ker} \left(I+K^{*}_{R}\right)$ , если для любой $v \in H^{1}(\Omega)$ $\left( \left(I+K_{R} \right)u^{*},v\right)'=\left( u^{*},v \right)'+\left \langle l_{3}(v),u^{*} \right \rangle=0$ . Представим последнее тождество в интегральном виде:

$\begin{aligned} & \int \limits_{\Omega} A(x) \nabla u^* \cdot \nabla v dx+\int \limits_{\Omega} \left( c(x)+m\right) u^{*} v dx+ \int \limits_{\partial \Omega}\left( \tau(x)+\mu\right) \left. u^{*} \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds- \\ & -m \int \limits_{\Omega} u^{*} v dx -\mu \int \limits_{\partial \Omega} \left. u^{*} \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds -\int \limits_{\Omega} v \vec{b}(x) \cdot \nabla u^{*} dx=0.\\ \end{aligned} \,\,\, (6.41)$

Интегрирование по частям даёт возможность преобразовать член с векторным полем $\vec{b}$ :

$\begin{aligned} & -\int \limits_{\Omega} v \vec{b}(x) \cdot \nabla u^{*} dx = -\int \limits_{\partial \Omega} \left. u^{*} \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} \vec{b} \cdot \vec{\nu} ds+\int \limits_{\Omega} u^{*} \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v\right) dx+\int \limits_{\Omega} u^{*} v \, \mathrm{div} \vec{b}(x) dx. \\ \end{aligned}$

Тогда тождество (6.41) можно переписать в виде

$\begin{aligned} & s_{\mathcal{L}^{*}} \left( u^{*}, v \right)+\int \limits_{\partial \Omega} \left( \tau(x)-\vec{b}(x) \cdot \vec{\nu}(x)\right) \left. u^{*} \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds+ \int \limits_{\Omega} u^{*} \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v \right) dx=0,\\ \end{aligned}\,\,\, (6.42)$

где $s_{\mathcal{L}^{*}} \left( u^,v \right) =\int_{\Omega} A(x) \nabla u^{*} \cdot \nabla v dx+\int_{\Omega} \left( c(x) + \mathrm{div}\, \vec{b}(x)\right) u^{*} v dx$ — билинейная симметрическая форма, ассоциированная с формально сопряжённым оператором $\mathcal{L}^{*}$ . Поскольку $\tau(x)- \vec{b}(x) \cdot \vec{\nu}(x) =\sigma(x)$ , тождество (6.42) принимает вид

$s_{\mathcal{L}^{*}} (u^{*},v)+\int \limits_{\partial \Omega} \sigma(x) \left. u^{*} \right|_{\partial \Omega} \left. v \right|_{\partial \Omega} ds+\int \limits_{\Omega} u^{*} \left( \vec{b}(x) \cdot \nabla v\right) dx=0.\,\,\, (6.43)$

Но (6.43) означает, что функция $u^{*} \in H^{1}(\Omega)$ — обобщённое решение задачи Робена вида

$\left\{ \begin{aligned} & \mathcal{L}^{*} u^{*} =0, \, x \in \Omega,\\ & \left. A(x) \nabla u^{*} \cdot \vec{\nu}+ \tau(x) u^* \right|_{\partial \Omega} = 0.\\ \end{aligned} \right.\,\,\, (6.44)$

Задачу (6.44) называют сопряжённой к задаче (6.10). Отметим, что в отличие от задачи (6.34), сопряжённой к задаче Дирихле (6.9), в задаче (6.44) не только формально сопрягается оператор $\mathcal{L}$ , но также изменяется коэффициент в младшем члене граничного оператора — с $\sigma$ на $\tau= \sigma + \vec{b} \cdot \vec{\nu}$ .

Пусть $u^{*}_1,\ldots,u^{*}_{d} \in H^{1}(\Omega)$ — базис в $\mathrm{Coker}\left( I+K_{R} \right)$ , образующий максимальную линейно независимую систему обобщённых решений сопряжённой задачи (6.44). Получим критерий существования обобщённого решения задачи Робена (6.10). Неявный критерий имеет вид $F \bot u_{j}^{*}$ , $j=1,\ldots,d$ , где $F$ — правая часть операторного уравнения (6.40). Другими словами, $\left(F,u_j^{*} \right)'= \left \langle l,u_j^{*} \right \rangle = 0$ , или $\left(f,u_j^{*} \right)_{L_{2}(\Omega)}+ \left( \varphi,T u_{j}^{*} \right)_{L_{2}(\partial \Omega)}=0$ , или в интегральном виде:

$\int \limits_{\Omega} f(x) u_j^{*} dx+\int \limits_{\partial \Omega} \varphi(x) \left. u_j^{*} \right|_{\partial \Omega} ds =0.\,\,\, (6.45)$

Подведём итоги исследования фредгольмовой разрешимости задачи Робена (6.10) в следующей теореме (предполагается, что $\partial \Omega \in C^1$ , $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in L_{2} (\partial \Omega)$ , коэффициенты $a_{ij}, c \in C \left( \overline{\Omega} \right)$ , $b_{i} \in C^{1} \left( \overline{\Omega} \right)$ , $i,j=1,\ldots,n$ , $\sigma \in C(\partial \Omega)$ ).

Теорема 6.6. Если $c \ne 0$ или $\tau \ne 0$ , то внутренняя задача Робена (6.10) для общего равномерно эллиптического оператора (6.6) разрешима по Фредгольму: 1) пространство решений однородной задачи имеет конечную размерность $d$ ; 2) обобщённое решение существует тогда и только тогда, когда для каждого обобщённого решения $u^{*} \in H^{1}(\Omega)$ сопряжённой задачи (6.44) выполнено условие разрешимости

$\int \limits_{\Omega} f(x) u^{*} dx+\int \limits_{\partial \Omega} \varphi(x) \left. u^{*} \right|_{\partial \Omega} ds =0$

(другими словами, для каждого $u_{j}^{*} \in H^{1}(\Omega)$ , $j=1,\ldots,d$ , выполнено условие (6.45), где $u_{1}^{*},\ldots,u_{d}^{*}$ — базис пространства обобщённых решений задачи (6.44)); 3) пространство обобщённых решений задачи (6.44) также имеет размерность $d$ .

Теорема 6.6 не работает, когда $c \equiv 0$ и $\tau \equiv 0$ . Оставив полный разбор этого случая читателям, рассмотрим один пример.

Пример 6.1. Исследовать фредгольмову разрешимость, найти ядро и коядро внутренней задачи Неймана для анизотропного уравнения Пуассона вида

$\left\{ \begin{aligned} & \mathcal{L} u \equiv -\mathrm{div} (A(x) \nabla u) =f ,\, x \in \Omega,\\ & \left. A(x) \nabla u \cdot \vec{\nu} \right|_{\partial \Omega} = \varphi,\\ \end{aligned} \right. \,\,\,(6.46)$

где $f \in L_{2}(\Omega)$ , $\varphi \in L_{2}(\partial \Omega)$ . В частности, если $A(x) \equiv E$ , то (6.46) — задача Неймана с противоположным оператором Лапласа. Имеем $c = 0$ и $\tau = \sigma =0$ , поэтому теорема 6.6 не работает.

Решение. В пространстве $H^{1}(\Omega)$ рассмотрим скалярное произведение $(u,v)'=\int_{\Omega} \left( A(x) \nabla u \cdot \nabla v + uv \right) dx$ , порождающее норму $\| \cdot \|'$ , эквивалентную стандартной. Перепишем интегральное равенство (6.22) из определения 6.5:

$(u,v)' +\langle l_{2}(u),v \rangle = (f,v)_{L_{2}(\Omega)} + (\varphi,Tv)_{L_{2}(\partial \Omega)},\,\,\, (6.47)$

где $T:H^{1}(\Omega) \to L_{2}(\partial \Omega)$ — оператор следа, $\langle l_{2}(u),v \rangle = -\int_{\Omega} uv dx$ . Построим компактный оператор $K_{N}:H^{1}(\Omega) \to H^{1}(\Omega)$ , удовлетворяющий тому свойству, что для любых $u,v \in H^{1}(\Omega)$ $\left( K_{N} u,v \right)'=\langle l_{2}(u),v \rangle$ . Действуем как в доказательствах лемм 6.1 и 6.2. Оценка функционала $l_2(u)$ имеет вид

$\left| \langle l_2(u), v \rangle \right| \leqslant \| u \|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|_{L_{2}(\Omega)} \leqslant \beta \| u \|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|',$

в которой константа $\beta$ берётся из теоремы об эквивалентной норме. По теореме Рисса существует функция $\tilde{K} u \in H^{1}(\Omega)$ , $\langle l_2(u),v \rangle = (\tilde{K}u,v)'$ для всех $v \in H^{1}(\Omega)$ и $\| \tilde{K} u \|' = \| l_2(u) \|'^{*} \leqslant \beta \| u \|_{L_{2}(\Omega)}$ . Получили ограниченный оператор $\tilde{K}: L_{2}(\Omega) \to H^{1}(\Omega)$ , $L_2(\Omega) \ni u \mapsto \tilde{K}u \in H^{1}(\Omega)$ , причём $\| \tilde{K} \| \leqslant \beta$ .

Положим $K_{N}=\tilde{K}J$ , где $J:H^{1}(\Omega) \to L_{2}(\Omega)$ — компактный оператор вложения. Тогда для любых $u,v \in H^{1}(\Omega)$ получим $\left( K_{N} u,v \right)'=(\tilde{K}u,v)'=\langle l_{2}(u),v \rangle$ . Оператор $K$ компактен как композиция компактного и ограниченного. Поскольку норма оператора вложения равна единице, $\| K_{N} \| \leqslant \beta$ .

Перепишем равенство (6.47) в виде

$\left( \left( I+K_{N} \right)u,v \right)'=(f,v)_{L_{2}(\Omega)} + (\varphi,Tv)_{L_{2}(\partial \Omega)}.\,\,\, (6.48)$

Оценим функционал $H^{1}(\Omega) \ni v \mapsto \langle l,v \rangle = (f,v)_{L_{2}(\Omega)} + (\varphi,Tv)_{L_{2}(\partial \Omega)}$ :

$\left| \langle l, v \rangle \right| \leqslant \| f\|_{L_{2}(\Omega)} \| v \|_{L_{2}(\Omega)} + \| T v \|_{L_{2}(\Omega)} \| \varphi \|_{L_{2}(\Omega)} \leqslant \beta \left( \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \| T \| \, \| \varphi \|_{L_{2}(\Omega)} \right) \| v \|'.$

По теореме Рисса существует единственная функция $F \in H^{1}(\Omega)$ , представляющая функционал $l$ : $\langle l,v \rangle = (F,v)'$ , при этом выполнено $\| F \|' = \| l \|'^{*} \leqslant \| f \|_{L_{2}(\Omega)} + \| T \| \, \| \varphi \|_{L_{2}(\Omega)}$ . Следовательно, для любой пробной функции имеем $\left( \left( I+K_{N} \right)u-F,v \right)'=0$ , откуда вытекает операторное уравнение для обобщённых решений задачи Неймана (6.46)

$\left( I +K_{N} \right)u=F.\,\,\, (6.49)$

По теореме 6.4 оператор $I+K_{N}$ фредгольмов нулевого индекса. Ядро оператора $I+K_{N}$ состоит из обобщённых решений задачи Неймана, когда $f=0$ и $\varphi=0$ . В самом деле, равенство $\left( \left( I+K_{N} \right)u,v \right)'=(u,v)'+\langle l_{2}(u),v \rangle=0$ , справедливое для всех $v \in H^{1}(\Omega)$ , в интегральном виде представляет собой $\int_{\Omega} A(x) \nabla u \cdot \nabla v dx=0$ , что совпадает с (6.22) при соответствующих коэффициентах и правых частях.

Покажем, что $\mathrm{Ker}\left( I +K_{N} \right)=\mathrm{Lin} \{1 \}$ , т.е. ядро оператора $I+K_{N}$ состоит из констант. Действительно, если пробная функция $v=u \in \mathrm{Ker} \left( I+K_{N} \right)$ , то $0=\int_{\Omega} A(x) |\nabla u|^2 dx \geqslant \int_{\Omega} \gamma |\nabla u|^2 dx$ . Поэтому $\nabla u=0$ п.в. в $\Omega$ , т.е. $u = \mathrm{const}$ в $\Omega$ .

Очевидно, что построенный оператор $K_{N}$ самосопряжённый, поэтому $\mathrm{Coker}\left( I+K_{N} \right)=\mathrm{Ker}\left( I+K_{N}^{*} \right)=\mathrm{Ker} \left( I+K_{N} \right) = \mathrm{Lin} \{1\}$ . Условие разрешимости операторного уравнения (6.49) есть $F \bot 1$ в пространстве $H^{1}(\Omega)$ относительно скалярного произведения $(\cdot,\cdot)'$ . Исходя из определения функции $F$ , условие разрешимости $(F,1)'=0$ может быть переписано как

$\langle l, 1 \rangle = (f,1)_{L_{2}(\Omega)} + (\varphi, 1)_{L_{2}(\partial \Omega)} = \int \limits_{\Omega} f(x) dx + \int \limits_{\partial \Omega} \varphi(x) ds = 0.\,\,\, (6.50)$

В теоремах 6.2, 6.3 были даны достаточные условия, которым должны удовлетворять задачи Дирихле (6.9) и Робена (6.10), чтобы быть корректными в классе обобщённых решений. Но корректность, помимо существования и единственности, включает также устойчивость. Можно ли говорить об устойчивости решений задачи (6.46)? <…>

Книга по УЧП: глава 6 ‘Эллиптические операторы второго порядка’, пар. 6.1—6.3

6.1. Теория вариационного метода

6.2. Постановка краевых задач: сильные и обобщённые решения

6.3. Корректность и фредгольмова разрешимость краевых задач

Опубликовано Alexander Baikov

Добавить комментарий Отменить ответ

Июль 2026
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31