Банахова версия теоремы Пуанкаре об аналитическом решении I: слабые решения по Ладыженской

by Опубликовано

В названии поста три фамилии — Пуанкаре, Банаха и Ладыженской, но при всём уважении к Стефану Банаху и Ольге Александровне Ладыженской, вдохновение я черпал из классического результата великого Анри Пуанкаре: решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений аналитически зависят от малого параметра, только если правые части системы, представленной в нормальной форме Коши, сами аналитически зависят от малого параметра и фазовых переменных. Русскоязычные специалисты знают об этой теореме из первого тома «Новых методов небесной механики», переведённых на русский язык в начале 1970-х. Пуанкаре называл свой результат Extension du théorème de Cauchy — расширением теоремы Коши (см. стр. 59 в мемуаре Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, tome 1). Моя цель — обобщить теорему Пуанкаре для следующих задач с уравнениями в частных производных.

Рассмотрим первую начально-краевую задачу для квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной вида

\left\{ \begin{aligned} & u_{t} - u_{xx} + \epsilon (f(u))_{x} = 0,\, (x,t) \in Q_{T},\\ & \left. u \right|_{x=0}=0,\, \left. u \right|_{x=\pi}=0,\\ & \left. u \right|_{t=0}=\phi(x),\\ \end{aligned} \right. \qquad(1)

где Q_{T} = (0,\pi) \times (0,T). К примеру, при \epsilon=0 имеем уравнение теплопроводности, а если f(u)=\frac{1}{2}u^{2} — уравнение Бюргерса. Функцию f полагаем аналитической на всей комплексной плоскости, т.е. целой. Для нелинейности необходимо, чтобы разложение f в ряд по степеням u начиналось со второй степени. Также рассмотрим первую начально-краевую задачу для другого квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной:

\left\{ \begin{aligned}&\hat{u}_{t} - \hat{u}_{xx} + g(\hat{u}) = 0,\, (x,t) \in Q_{T},\\& \left. \hat{u} \right|_{x=0}=0,\, \left. \hat{u} \right|_{x=\pi}=0,\\& \left. \hat{u} \right|_{t=0}=\epsilon \phi(x)\\\end{aligned} \right.\qquad(2)

с целой функцией g , чьё разложение в ряд Тейлора по u начинается со второй степени. Если сделать замену неизвестной функции\hat{u} = \epsilon u , а затем сократить на \epsilon , то задача примет вид почти линейной, т.е. при \epsilon=0 уравнение обратится в линейное уравнение теплопроводности. Решения задач (1) и (2) естественно искать в виде ряда

u = u_{0} + \epsilon u_{1} + \epsilon^{2} u_{2} + \ldots,\qquad(3)

но в первую очередь нужно договориться о том, что мы называем решением. В теории УЧП существуют несколько определений решений начально-краевых задач. Я, согласно заголовку поста, буду говорить о слабых решениях. Напомню, как можно прийти к определению слабых решений линейных начально-краевых задач. Пусть функция u \in C^{2}(\overline{Q}_{T}) удовлетворяет начально-краевой задаче для уравнения теплопроводности вида

\left\{ \begin{aligned} & u_{t} - u_{xx} = f(x,t),\, (x,t) \in Q_{T},\\ & \left. u \right|_{x=0}=0,\, \left. u \right|_{x=\pi}=0,\\ & \left. u \right|_{t=0}=\phi(x). \end{aligned} \right. \qquad(4)

Умножим уравнение в задаче (4) на пробную функцию v \in C^{1}(\overline{Q}_{T}) и проинтегрируем по всей области. Однократное применение формулы интегрирования по частям даёт интегральное равенство вида

\begin{aligned}& \iint \limits_{Q_{T}} { \left( u_{x} v_{x} - u v_{t} \right) dx dt} -\int_{0}^{\pi}{u(x,0)v(x,0) dx} + \int_{0}^{\pi}{u(x,T)v(x,T) dx} +\\& + \int_{0}^{T}{u_{x}(0,t) v(0,t) dt} - \int_{0}^{T}{u_{x}(\pi,t) v(\pi,t) dt}=\iint \limits_{Q_{T}}{f(x,t) v dx dt}.\\\end{aligned}\qquad(5)

Из начального условия следует, что u(x,0)= \phi(x). Будем выбирать пробную функцию так, чтобы интегралы с неизвестными следами решения аннулировались: \left. v \right|_{x=0}=0, \left. v \right|_{x=\pi}=0 , \left. v \right|_{t=T}=0 . В результате формула (5) значительно упростится:

\iint \limits_{Q_{T}} { \left( u_{x} v_{x} - u v_{t} \right) dx dt} = \int \limits_{0}^{\pi} {\phi(x) v(x,0) dx}+ \iint \limits_{Q_{T}}{f(x,t) v dx dt}.\qquad(6)

Обратимся теперь к знаменитым пространствам С.Л. Соболева (четвёртое имя, которое могло быть в названии поста). Слабые решения принадлежат пространству

U = \left\{ u \in W_{2}^{1,0}(Q_{T}): \left. u \right|_{x=0} = 0,\, \left. u \right|_{x=\pi}=0 \right\}. \qquad(7)

Здесь W_{2}^{1,0}(Q_{T}) — анизотропное пространство Соболева, т.е. пространство L_{2} -функций, имеющих слабую (в смысле теории распределений) производную u_{x} \in L_{2} . Скалярное произведение в пространстве W_{2}^{1,0}(Q_{T}) задаётся формулой (u,v) = (u,v)_{L_{2}} + (u_x,v_x)_{L_{2}}. След функций из пространства W_{2}^{1,0}(Q_{T}) определяется непрерывным продолжением: например, \left. u \right|_{x=0} = \lim \limits_{k \to \infty}{\left. \psi_{k} \right|_{x=0}} , где \{ \psi_{k} \} — последовательность функций из C^{\infty}(\overline{Q}_{T}) , сходящихся к u в пространстве Соболева. В интегральной формуле (6) нет производной решения по переменной t, поэтому нет необходимости считать, что решения принадлежат изотропному пространству W_{2}^{1,1}(Q_{T}).

Наоборот, такая необходимость есть в отношении пробных функциях. Пространство для последних имеет вид

V = \left\{ v \in W_{2}^{1,1}(Q_{T}): \left. v \right|_{x=0} = 0,\, \left. v \right|_{x=\pi}=0,\, \left. v \right|_{t=T}=0 \right\}.\qquad(8)

Скалярное произведение в W_{2}^{1,1}(Q_{T}) есть (v,w) = (v,w)_{L_{2}} + (v_x,w_x)_{L_{2}} + (v_{t},w_{t})_{L_{2}} , однако, благодаря теореме об эквивалентной норме, произведение (v,w)' = (v_x,w_x)_{L_{2}} + (v_{t},w_{t})_{L_{2}} порождает норму, эквивалентную стандартной.

Определение. Функция u \in U называется слабым решением задачи (4), если для любой пробной функции v \in V выполнено интегральное равенство (6).

Мои посты по отдельности не претендуют на статус научных статей; в частности, я не даю обзор работ многочисленных работ предшественников (уже в случае одной О.А. ответственный обзор по данной тематике занял бы всё доступное пространство поста). Тем не менее, бросим взгляд на совместную с М.И. Вишиком статью Ладыженской Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений, к тому же она нам где-то дальше ещё пригодится. Определив в первом параграфе второй главы обобщённое (слабое) решение первой начально-краевой задачи для нестационарного гиперболического уравнения, авторы немедленно доказывают его единственность предъявлением специальной пробной функции, зависящей от решения тривиальной задачи.

Так и для существенно более простой задачи (4) единственность решения доказывается следующим элементарным способом. Пусть u — слабое решение тривиальной задачи (4) (с нулевыми функциями \phi и f ). Рассмотрим функцию v = \int \limits_{0}^{T} {u(x,\tau) d \tau} . Нетрудно показать, что v \in V (операторы \left. \right|_{x=0} , \left. \right|_{x=\pi} коммутируют с интегральным оператором \int \limits_{t}^{T} {\cdot d \tau} , равенство \left. v \right|_{t=T} =0 очевидно, а слабые производные v_{x} =\int \limits_{0}^{T} {u_{x}(x,\tau) d \tau} , v_{t} = -u элементарно проверяются). Для выбранной пробной функции интегральная формула (6) имеет вид

\iint \limits_{Q_{T}} { \left( u_{x} \int \limits_{t}^{T}{u_{x}(x,\tau)d\tau} + u^{2} \right) dx dt} = 0.\qquad(9)

Если изменить порядок интегрирования по переменным \tau и t , то формулу (9) можно преобразовать к виду \frac{1}{2} \iint \limits_{Q_{T}} {\left( \int \limits_{0}^{\tau}{u_{x}(x,t) d t} \right)^{2} dx d\tau} + \iint \limits_{Q_{T}} {u^{2} dx dt}=0 , откуда уже следует, что u=0 .

Нелинейность вносит свои изменения в интегральную формулу и пространства слабых решений. Так, для задачи (1) интегрирование по частям нелинейного члена даёт

\iint \limits_{Q_{T}} {(f(u))_{x} v dx dt} = - \int \limits_{0}^{T} {f(u(0,t)) v(0,t) dt} + \int \limits_{0}^{T} { f(u(\pi,t)) v(\pi,t) dt} - \iint \limits_{Q_{T}} {f(u) v_{x} dx dt}. \,\, (10)

По-прежнему v \in V и первые два интеграла в правой части формулы (10) исчезают, но для существования третьего интеграла от решения нужно требовать дополнительное условие. Простейшее из них (независимое от функции f ) — это условие u \in L_{\infty}(Q_{T}) , хотя для того же уравнения Бюргерса достаточно просить u \in L_{4}(Q_{T}) . Для задачи (2) (после её приведения к почти линейному виду) ситуация аналогичная за исключением того, что интегрировать по частям нелинейный член теперь не нужно. Но структуру гильбертова пространства придётся нарушить: пространством слабых решений задач (1) и (2) теперь служит банахово пространство \mathcal{U} = U \cap L_{\infty}(Q_{T}) с нормой \| u \|_{\mathcal{U}} = \| u \|_{U} + \| u \|_{L_{\infty}(Q_{T})} (стандартная конструкция с пересечением функциональных пространств). Соответственно, интегральное равенство для задачи (1) имеет вид

\iint \limits_{Q_{T}} { \left( u_{x} v_{x} - \epsilon f(u) v_{x} - u v_{t} \right) dx dt} = \int \limits_{0}^{\pi} {\phi(x) v(x,0) dx}+ \iint \limits_{Q_{T}}{f(x,t) v dx dt},\qquad(11)

а для задачи (2) (после указанной выше замены) —

\iint \limits_{Q_{T}} { \left( u_{x} v_{x} - \epsilon^{-1} g(\epsilon u) v - u v_{t} \right) dx dt} = \int \limits_{0}^{\pi} {\phi(x) v(x,0) dx}+ \iint \limits_{Q_{T}}{f(x,t) v dx dt}.\qquad(12)

Определение. Функция u \in \mathcal{U} называется слабым решением задачи (1) (задачи (2)), если для любой пробной функции v \in V выполнена интегральная формула (11) (формула (12)).

Главная проблема: доказать, что ряд (3) сходится в пространстве \mathcal{U} к единственному слабому решению нелинейной задачи и выяснить характер зависимости временного промежутка [0,T] от \epsilon . Но есть куда более простая проблема: объяснить, почему работает метод малого параметра и ряд (3) можно построить. Для задачи (1) можно сделать формальную подстановку степенного ряда (3) в интегральную формулу (11), прежде переписав её в абстрактной форме

[u,v] + \epsilon F(u,v) = \langle l,v \rangle, \qquad(13)

где [u,v] = \iint \limits_{Q_{T}} { \left( u_{x} v_{x} - u v_{t} \right) dx dt} — непрерывная билинейная форма между пространствами \mathcal{U} и V , F(u,v) = -\iint \limits_{Q_{T}} {f(u) v_{x} dx dt} — форма, линейная по v \in V и нелинейная по u \in \mathcal{U} , а \langle l, v \rangle = \int \limits_{0}^{\pi}{\phi(x) v(x,0) dx} — непрерывный линейный функционал над V . Для каждого фиксированного u \in \mathcal{U} форма F(u,v) определяет линейный функционал, непрерывный над V . Пусть f(u) = b_2 u^{2} + b_3 u^{3} +\ldots — тейлоровское разложение функции f . Тогда подстановка ряда (3) в формулу (13) приводит к соотношению

& [u_{0},v] - \langle l,v \rangle + \sum \limits_{k=1}^{\infty}{\epsilon^{k} \left( [u_{k},v] - F_{k}(u_{0},u_{1},\ldots,u_{k-1},v) \right) }=0,\qquad(14)

где F_{k} (u_{0}, u_{1},\ldots,u_{k-1},v) = \iint \limits_{Q_{T}} {f_{k}(u_{0}, u_{1},\ldots,u_{k-1}) v_{x} dx dt} , f_{k}(u_{0},u_{1},\ldots,u_{k-1}) = \sum \limits_{\mathbf{i} \in I_{k}} { b_{|\mathbf{i}|} \binom{\mathbf{i}}{|\mathbf{i}|} u^{\mathbf{i}}} . Введены обозначения |\mathbf{i}| = i_{0} + \ldots + i_{k-1} , u^{\mathbf{i}} = u_{0}^{i_{0}} \ldots u_{k-1}^{i_{k-1}} , \binom{\mathbf{i}}{|\mathbf{i}|} — мультиномиальный коэффициент, I_{k} = \left\{ \mathbf{i} \in \mathbb{Z}_{+}^{k}: 0\cdot i_{0} + \ldots + (k-1)i_{k-1}=k \right\} . Например, f_{1} = b_{2} u_{0}^{2} + b_{3} u_{0}^{3} + \ldots , f_{2} = 2 b_{2} u_{0} u_{1} + 3 b_{3} u_{0}^{2} u_{1} + \ldots и т.д.

Чтобы сделать аналогичные вычисления для задачи (2), перепишем интегральную формулу (12) в абстрактном виде

[u,v] + \epsilon^{-1} G(\epsilon u,v) = \langle l,v \rangle, \qquad(15)

где [u,v] , \langle l, v \rangle — те же, что в формуле (13), G(\epsilon u,v) = -\iint \limits_{Q_{T}} {g(\epsilon u) v dx dt} — форма, линейная по v \in V , нелинейная по u \in \mathcal{U} . Пусть g(\hat{u}) = c_2 \hat{u}^{2} + c_3 \hat{u}^{3} +\ldots — тейлоровское разложение функции g , тогда подстановка ряда (3) в формулу (15) даёт

\begin{aligned}& [u_{0},v] - \langle l,v \rangle + \sum \limits_{k=1}^{\infty}{\epsilon^{k} \left( [u_{k},v] - G_{k}(u_{0},u_{1},\ldots,u_{k-1},v) \right) }=0,\\\end{aligned}\qquad(16)

где G_{k} (u_{0}, u_{1},\ldots,u_{k-1},v) = \iint \limits_{Q_{T}} {g_{k}(u_{0}, u_{1},\ldots,u_{k-1}) v dx dt} , g_{k}(u_{0},u_{1},\ldots,u_{k-1}) = \sum \limits_{\mathbf{j} \in J_{k}} { c_{|\mathbf{j}|+1} \binom{\mathbf{j}}{|\mathbf{j}|} u^{\mathbf{j}}} . Здесь J_{k} = \left\{ \mathbf{j} \in \mathbb{Z}_{+}^{k}: 0\cdot j_{0} + \ldots + (k-1)j_{k-1} + |\mathbf{j}|=k \right\} , прочие обозначения сохранились. Формы g_{k} имеют то преимущество перед f_{k} , что представляют собой полиномы, а не ряды. Но обе зависят только от u_{0},\ldots,u_{k-1} , поэтому коэффициенты разложения (3) можно найти один за другим. Например, в случае задачи (2) u_{0} — слабое решение порождающей задачи, а u_{k} есть слабые решения задач вида (4) с нулевыми начальными функциями и правыми частями g_{k} , зависящими от предыдущих коэффициентов разложения.

Лаконичная формула для слабого решение задачи (4) имеет вид

u(x,t) = (\mathbf{\Phi}_t \phi) (x) + \int \limits_{0}^{t} { (\mathbf{\Phi}_{t-\tau} f)(x, \tau) d \tau},\qquad(17)

где \{ \mathbf{\Phi}_{t} \}_{t \geq 0} — семейство интегральных операторов (\mathbf{\Phi}_{t} \phi) (x) = \int \limits_{0}^{\pi} {K(x,\xi; t) \phi(\xi) d \xi} с ядром K(x,\xi; t) = \frac{2}{\pi} \sum \limits_{n=1}^{\infty}{ e^{-n^{2} t} \sin(nx) \sin (n\xi)} . Кроме очевидной самосопряжённости (ядро симметрично относительно x и \xi ), это семейство операторов имеет полугрупповое свойство: \mathbf{\Phi}_{t+s} = \mathbf{\Phi}_{t} \mathbf{\Phi}_{s} для всех t,s \in [0,+\infty) . К слову, существование полугруппового представления (17) можно установить без предъявления явной формулы методами теории полугрупп. О теории полугрупп и сильных решениях я буду говорить во втором посте цикла. Закончу этот пост априорной оценкой решения задачи (4), которую получу непосредственно.

Классики УЧП строили решение задачи (4) в виде ряда u = \sum \limits_{n=1}^{\infty}{Y_{n}(t) X_{n}(x)} , где X_{n}(x) = \sin(nx) — собственные функции спектральной задачи

\left\{ \begin{aligned} & -X^{''} = \lambda X,\, 0<x<\pi,\\ & X(0)=0,\, X(\pi) = 0,\\ \end{aligned} \right. \qquad(18)

как хорошо известно, ортогональные в L_2 (0,\pi) и в H_{0}^{1}(0,\pi) = \{ X \in W_{2}^{1}(0,\pi): X(0)=0,\,X(\pi)=0 \} (при этом собственные значения \lambda_{n} = n^{2} ), а Y_{n}(t) есть решения задач Коши

\left\{ \begin{aligned}& \dot{Y}_{n} + n^{2} Y_{n} = f_{n}(t),\, 0<t<T,\\& Y_{n}(0)=\phi_{n},\\\end{aligned} \right.\qquad(19)

где f_{n}(t) и \phi_{n} — коэффициенты Фурье разложения, соответственно, функций f \in L_{2}(Q_{T}) и \phi \in L_{2}(0,\pi) в ряд по собственным функциям задачи (18). Формула для решения задачи (19) имеет вид

Y_{n}(t) = \phi_{n} e^{- n^{2} t} + \int \limits_{0}^{t} { e^{- n^{2}(t-\tau)} f_{n}(\tau) d \tau}. \qquad(20)

В силу ортогональности системы функций \{ X_{n} \} в пространствах L_{2}(0,\pi) и H_{0}^{1}(0,\pi) имеем

\begin{aligned} & \| u \|_{U}^{2} = \sum \limits_{n=1}^{\infty} {\| Y_{n} \|_{L_{2}(0,T)}^{2} \| X_{n} \|_{L_{2}(0,\pi)}^{2}}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} {\| Y_{n} \|_{L_{2}(0,T)}^{2} \| X'_{n} \|_{L_{2}(0,\pi)}^{2}}= \\ & = \sum \limits_{n=1}^{\infty} {\frac{\pi (1+n^{2})}{2} \int \limits_{0}^{T} {|Y_{n}(t)|^{2} d t}}.\\ \end{aligned} \qquad(21)

Оценку L_{2}-нормы функции Y_{n} можно получить с помощью явной формулы (20), но сначала оценим саму функцию Y_{n} на отрезке [0,t] :

\begin{aligned}& |Y_{n}(t)|^{2} \leq 2 \phi_{n}^{2} e^{-2n^{2}t} + 2 \left( \int \limits_{0}^{t} { e^{-n^{2}(t-\tau)} f_{n}(\tau) d \tau} \right)^{2} \leq 2 \phi_{n}^{2} e^{-2n^{2}t} +\\& +2 \int \limits_{0}^{t} {e^{-2 n^{2}(t-\tau)} d \tau} \int \limits_{0}^{t} {|f_{n}(\tau)|^{2} d \tau} = 2 \phi_{n}^{2} e^{-2n^{2}t} +\\ & + \frac{1 - e^{-2n^{2}t}}{n^{2}}\int \limits_{0}^{t} {|f_{n}(\tau)|^{2} d \tau} \leq 2 \phi_{n}^{2} e^{-2n^{2}t} + \frac{1}{n^{2}}\int \limits_{0}^{t} {|f_{n}(\tau)|^{2} d \tau}.\\\end{aligned}\qquad(22)

Тогда

\begin{aligned}& | Y_{n} |_{L_{2}(0,T)}^{2} \leq 2 \phi_{n}^{2} \int \limits_{0}^{T} {e^{-2n^{2}t} d t} + \frac{1}{n^{2}} \int \limits_{0}^{T} { d t} \int \limits_{0}^{t}{|f_{n}(\tau)|^{2} d \tau} \leq \\& \leq \frac{\phi_{n}^{2}}{n^{2}} \left( 1 - e^{-2n^{2}T} \right) + \frac{1}{n^{2}}\int \limits_{0}^{T}{(T-\tau) |f_{n}(\tau)|^{2} d \tau} \leq \frac{\phi_{n}^{2}}{n^{2}} + \frac{T}{n^{2}}\int \limits_{0}^{T}{|f_{n}(\tau)|^{2} d \tau}.\\\end{aligned}\qquad(23)

Оценки (23) вполне достаточно для доказательства сходимости ряда к слабому решению. Действительно,

| u |_{U}^{2} \leq \sum \limits_{n=1}^{\infty}{\frac{ 1+n^{2}}{n^{2}} \frac{\pi}{2} \phi_{n}^{2}} + T \sum \limits_{n=1}^{\infty} { \frac{1+n^{2}}{n^{2}} \frac{\pi}{2} \int \limits_{0}^{T} {|f_{n}(\tau)|^{2} d \tau}} \leq 2 | \phi |_{L_{2}(0,\pi)}^{2} + 2 T | f |_{L_{2}(Q_{T})}^{2}.\qquad(24)

Итак, для каждых \phi \in L_{2}(0,\pi) и f \in L_{2}(Q_{T}) существует единственное слабое решение задачи (4), представляемое рядом Фурье, удовлетворяющее априорной оценке (24). Но достаточно ли оценок (23) и (24) для установления сходимости ряда (3)? Ответ в следующем посте цикла ‘Банахова версия теоремы Пуанкаре об аналитическом решении’.

Опубликовано Alexander Baikov

5 ответов к «Банахова версия теоремы Пуанкаре об аналитическом решении I: слабые решения по Ладыженской»

Добавить комментарий