Исследование blow-up ОДУ методом усреднения I: основная гипотеза

by Опубликовано

В начале 2014-го года (если быть точным, то 03.02.14 в российском формате дат) Теренс Тао выложил препринт, в котором построил blow-up усреднённой системы Навье—Стокса в трёхмерном евклидовом пространстве, принадлежащий классу быстро убывающих функций {\displaystyle \mathcal{S}\left( \mathbb{R}^{3} \right)} . Тем не менее, вопрос о существовании взрывных решений с конечной энергией самих уравнений Навье—Стокса остался открытым. Тао сейчас думает, что уравнения Навье—Стокса в трёхмерном евклидовом пространстве {\displaystyle \mathbb{R}^{3}} допускают blow-up в классе быстро убывающих функций (соответственно, на плоском трёхмерном торе — в классе гладких функций). Дело, однако, в том, что blow-up системы уравнений Навье—Стокса, по всей видимости, невозможно построить в точном виде, а вот blow-up усреднённых (в том или другом смысле) уравнений построить уже реально, хотя и сложно (в упомянутой работе Тао эта часть занимает 47 страниц). Речь об этой и некоторых других работах, посвящённых проблеме построения взрывных решений эволюционных уравнений отложим на другой раз. В настоящем посте я сосредоточусь на взрывных решениях обыкновенных дифференциальных уравнений. Воздержавшись от какого-либо обзора огромной деятельности по изучению blow-up ОДУ и УЧП, я предложу один подход к построению blow-up дифференциальных уравнений, основанный на методе усреднения. Без промедления нужно сказать, что сходство метода, которому следует Тао в работе по трёхмерному Навье—Стокса, и метода усреднения ОДУ в основном ограничивается их общим названием (к слову, оригинальному термину «усреднённые» применительно к модификации уравнений Навье—Стокса из статьи Тао я предпочитаю термин химического происхождения «делокализованные»).

Метод усреднения создан классиками небесной механики на рубеже XVIII-го и XIX-го столетий. Строгое обоснование в полной общности он получил в работах Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова в 30-х годах ХХ-го века. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в так называемой стандартной форме Крылова—Боголюбова

\displaystyle \dot{x}=\epsilon X(x,t) \qquad(1)

с периодической относительно {t} правой частью {X}: {X(x,t+2 \pi) \equiv X(x,t)} для всех x \in \mathbb{R}^{n} и {t \in \mathbb{R}} . Обозначим через {\overline{X}} временное среднее функции {X} и рассмотрим усреднённую систему

\displaystyle \dot{u} = \epsilon \overline{X}(u) \qquad(2)

(напомню, что временное среднее периодических функций вычисляется по формуле {\overline{X}(u) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}{X(u,t)dt}} ). Blow-up (взрывным решением) системы (2) называется частное решение {u=u(t)} с начальным условием {u(0)=u^0} , существующее на временном промежутке [0,T^{*}) , неограниченное при {t \rightarrow T^{*}-0} . Величина {T^{*}} называется временем blow-up, все начальные условия для взрывных решений образуют множество blow-up. Пусть известно одно blow-up или семейство взрывных решений усреднённой системы (2). Существует ли тогда blow-up точной системы (1), и если существуют, то как они связаны с blow-up усреднённой системы? Можно ли дать оценку времени blow-up точной системы (1) с помощью времени blow-up системы (2)? В классической механике вопрос о blow-up уступает по актуальности другим проблемам, например, существованию периодических, условно-периодических решений, их устойчивости и т.д. С другой стороны, факт существования blow-up свидетельствует о неадекватности модели, поэтому нужно уметь отслеживать такие решения.

Гипотеза об усреднённых blow-up. Пусть правая часть уравнений (1)

  1. непрерывна по {x \in \mathbb{R}^{n}} и {t \in \mathbb{R}};
  2. периодически зависит от времени: {\forall x \in \mathbb{R}^{n}} {\forall t \in \mathbb{R}} {X(x,t)=X(x,t+2 \pi)};
  3. удовлетворяет локальному условию Липшица по фазовым переменным: {\forall \, \mbox{компакта}\, K \subset \mathbb{R}^{n}} {\exists L>0} {\forall x ,x'\in K} {\forall t \in \mathbb{R}} {\|X(x,t)-X(x',t)\| \leq L \|x-x'\|} ,

а уравнения (2) имеют blow-up с начальным условием {u(0)=u^{0}} при {t \to T^{*}-0} . Тогда решение уравнений (1) c начальным условием {x(0)=u^{0}} взрывается при достаточно малых {\epsilon} , если {t \to T-0} , причём {T = T^{*} + O(1)} , {\epsilon \to 0} .

Обратное утверждение, очевидно, неверно: например, уравнение \dot{x}=\epsilon x^{2} \sin t имеет blow-up с начальными условиями x_{0} \in \left[ \frac{1}{2 \epsilon},+\infty \right) и временами T=\arccos\left( 1 - \frac{1}{\epsilon x_{0}} \right) , но все решения усреднённого уравнения \dot{u} = 0 стационарны. Я пришёл к гипотезе об усреднённых blow-up после рассмотрения всего одного примера — уравнения Бернулли, изучаемого в начале стандартного университетского курса ОДУ. Хорошо известно, что уравнение Бернулли интегрируется в квадратурах, поэтому вопрос о существовании blow-up этого уравнения эквивалентен исследованию некоторого уравнения вида {F\left( t; x^0, \epsilon \right)=0} . Минимальный положительный корень последнего уравнения есть время blow-up с начальным условием {x(0)=x^{0}} (если уравнение не имеет вещественных корней, то решение соответствующей задачи Коши продолжается до бесконечности). Предъявить явную конечную формулу для времени blow-up не представляется возможным, поэтому я усредняю уравнение Бернулли, нахожу время blow-up усреднённых уравнений и убеждаюсь в существовании blow-up точного уравнения Бернулли, а именно строю решение уравнения {F\left( t; x^0, \epsilon \right)=0} в виде ряда по возрастающим степеням \epsilon . Оказывается, что первый член разложения, содержащий \frac{1}{\epsilon} , совпадает с соответствующим членом разложения blow-up усреднённого уравнения. После проверки гипотезы об усреднённых blow-up для некоторого уравнения Бернулли я покажу, почему гипотеза может быть верна для всех систем вида (1) при сделанных предположения в формулировке, и какие утверждения из теории усреднения помогут в её доказательстве.

Рассмотрим уравнение Бернулли для медленной фазовой переменной вида

\displaystyle \dot{x}=\epsilon \left( a(t)x+b(t)x^{2} \right). \qquad(3)

Здесь {a(t+2\pi)\equiv a(t)} , {b(t) \equiv b(t+2\pi)} . Введём обозначения {A(t)=\int_{0}^{t}{a(\theta) d\theta}} , {B(t,\epsilon)=\int_{0}^{t}{b(\theta) e^{\epsilon A(\theta)} d\theta}} . Тогда решение уравнения (3) с начальным условием x(0)=x_{0} имеет вид

\displaystyle x(t)=\frac{x_{0}e^{\epsilon A(t)}}{1 - \epsilon x_{0} B(t,\epsilon)}.

Решение взрывается, если уравнение

\displaystyle x_{0}^{-1}-\epsilon B(t,\epsilon)=0 \qquad (4)

имеет положительные корни относительно {t} ; наименьший положительный корень уравнения (4) есть время blow-up. Исследуем функцию {t \mapsto \epsilon B(t,\epsilon)} на экстремумы. Критические точки функции B(t,\epsilon) суть нули коэффициента {b(t)} . Кроме того, {A(t+2\pi)=A(t)+A(2\pi)} , B(t+2\pi,\epsilon)=e^{\epsilon A(2\pi)} B(t,\epsilon)+B(2\pi,\epsilon) . Поэтому, если B(t^{},\epsilon) — локальный экстремум функции B при фиксированном \epsilon , то B(t^{}+2\pi,\epsilon)=e^{\epsilon A(2\pi)} B(t^{*},\epsilon)+B(2\pi,\epsilon) — тоже локальный экстремум. Пусть m_{0}=m_{0}(\epsilon) и M_{0}=M_{0}(\epsilon) — минимальное и максимальное значения функции B на [0,2\pi) (точнее, инфинум и супремум). Введём обозначения \alpha = e^{\epsilon A(2\pi)} , \beta = B(2\pi,\epsilon) , m_{k} и M_{k} — соответственно, инфинум и супремум функции B на промежутке [2\pi k,2\pi(k+1)) , k \in \mathbb{N} . Из рекуррентных соотношений m_{k}=\alpha m_{k-1}+\beta , M_{k}=\alpha M_{k-1}+\beta вытекает, что

\displaystyle m_{k} = \alpha^{k} m_{0} + \frac{\alpha^{k}-1}{\alpha - 1} \beta,\,M_{k} = \alpha^{k} M_{0} + \frac{\alpha^{k}-1}{\alpha - 1} \beta, \qquad(5)

если \alpha \ne 1 , т.е. A(2\pi) \ne 0 . Если же A(2\pi)=0 , то m_{k}=m_{0}+k\beta , M_{k}=M_{0}+k\beta . Уравнение (4) допускает корень на промежутке [2\pi k,2\pi(k+1)) , если и только если x_{0}^{-1} \in \left( \epsilon m_{k}, \epsilon M_{k} \right) . Следовательно, уравнение (3) имеет blow-up тогда и только тогда, когда x_{0}^{-1} \in \left( \epsilon \inf_{k} m_{k}, \epsilon \sup_{k} M_{k} \right) . Результаты вычисления множества blow-up приведены в следующей таблице (случай \alpha=1 приведён после таблицы; blow-up на концах интервалов не исследованы).

\alpha > 1 0< \alpha < 1
M_{0} + \frac{\beta}{\alpha-1}\leq 0 x_{0}^{-1} \in (-\infty, \epsilon M_{0}) x_{0}^{-1} \in \left( \epsilon m_{0},-\frac{\epsilon \beta}{\alpha-1} \right)
M_{0} + \frac{\beta}{\alpha-1} > 0 , m_{0} + \frac{\beta}{\alpha-1} < 0 x_{0}^{-1} \in (-\infty,+\infty) x_{0}^{-1} \in (\epsilon m_{0},\epsilon M_{0})
m_{0} + \frac{\beta}{\alpha-1} \geq 0 x_{0}^{-1} \in (\epsilon m_{0},+\infty) x_{0}^{-1} \in \left(-\frac{\epsilon \beta}{\alpha-1},\epsilon M_{0} \right)

При \alpha = 1 всё зависит от параметра \beta : если \beta \geq 0 , то множество blow-up есть x_{0}^{-1} \in (\epsilon m_{0},+\infty) , а для \beta<0 оно имеет вид x_{0}^{-1} \in (-\infty, \epsilon M_{0}) . Итак, blow-up уравнения (3) поддаются изучению на качественном уровне, но для количественных результатов нужна отправная точка, и ей могут послужить усреднённые уравнения

\displaystyle \dot{u}=\epsilon \left( \overline{a}u+\overline{b}u^{2} \right). \qquad(6)

Здесь \overline{a}=\frac{1}{2\pi}A(2\pi) , \overline{b}=\frac{1}{2\pi}B(2\pi,0) . Если \overline{a} \ne 0 , то решение уравнения (6) с начальным условием u(0)=u_{0} есть функция

\displaystyle u(t) = \frac{u_{0}\overline{a}e^{\epsilon \overline{a}t}}{\overline{a}+u_{0}\overline{b} \left( 1-e^{\epsilon \overline{a} t} \right)}. \qquad(7)

При \overline{a} =0 решение есть u(t) = \frac{u_{0}}{1- \epsilon u_{0} \overline{b} t} . Если \overline{b}=0 , то усреднённое уравнение линейно и взрывных решений нет. Пусть \overline{b} \ne 0 , тогда формула для времени blow-up имеет вид

\displaystyle T^{*} = \frac{1}{\epsilon \overline{a}} \ln \left( 1+ \frac{\overline{a}}{u_{0} \overline{b}} \right), \qquad(8)

и легко видеть, что решение взрывается, если

u_{0} \overline{b} > \max(0,-\overline{a}).\qquad(9)

При \overline{a}=0 имеем T^{*}=\frac{1}{\epsilon u_{0} \overline{b}} ; blow-up существует, если u_{0} \overline{b} > 0 . Сравним (8) и (9) с результатами исследования blow-up точного уравнения (3). Предположим, что A(2\pi) \ne 0 $, выполнены условия существования blow-up, и уравнение (4) имеет минимальный положительный корень T . Обозначим через N максимальное число периодов на промежутке [0,T] , т.е. N = \lfloor \frac{1}{2\pi}T \rfloor , T = 2\pi N + \tau . Разумеется, N зависит от x_{0} и \epsilon . Свойство функции B даёт основание переписать уравнение (4) в виде

x_{0}^{-1} - \epsilon e^{\epsilon A(2 \pi) N} \left( B(\tau,\epsilon)+ \frac{B(2\pi,\epsilon)}{e^{\epsilon A(2\pi)} - 1} \right) + \frac{\epsilon B(2\pi,\epsilon)}{e^{\epsilon A(2\pi)}-1} =0. \qquad(10)

Левая часть уравнения (10) представляется собой ряд неотрицательных степеней \epsilon , когда степенное разложение N начинается с \frac{1}{\epsilon} . Пусть N = \frac{\nu}{\epsilon} + \ldots , тогда x_{0}^{-1} - e^{A(2\pi)\nu}\frac{B(2\pi,0)}{A(2\pi)} + \frac{B(2\pi,0)}{A(2\pi)}=0 или \nu = \frac{1}{A(2\pi)}\ln \left( 1 + \frac{A(2\pi)}{x_{0}B(2\pi,0)} \right)=\frac{1}{2\pi\overline{a}}\ln \left( 1+ \frac{\overline{a}}{x_{0}\overline{b}} \right) при B(2\pi) \ne 0 , откуда T = T^{*}+ \ldots . Для подтверждении гипотезы об усреднённых blow-up нужно показать следующее: для каждого \epsilon \in (0,\epsilon_{0}] ( \epsilon_{0}>0 и достаточно мало) минимальный корень уравнения (10) имеет вид T= \frac{\nu}{\epsilon}+O(1). Разбор всех случаев, представленных в таблице, не поместился бы в пост, поэтому я рассмотрю один: A(2\pi)>0 ( \alpha > 1 ) и для малых неотрицательных \epsilon выполнено неравенство m_{0}(\epsilon) (e^{\epsilon A(2\pi)}-1)+B(2\pi,\epsilon)>0 (в частности, B(2\pi,0)>0 ). Множество blow-up точного уравнения (3) есть x_{0}^{-1} \in (\epsilon m_{0}(\epsilon),+\infty) , тогда как множество blow-up усреднённого уравнения (6) задаётся условием u_{0} \in (0,+\infty) . Легко видеть, что независимо от функции m_{0}(\epsilon) для каждого u_{0} > 0 существует такое \epsilon_{0}>0 , что при \epsilon \in (0,\epsilon_{0}] u_{0} принадлежит множеству blow-up точного уравнения (3). Первая часть гипотезы подтверждена. Для анализа соотношений времён blow-up заметим, что уравнение (4) имеет корень на промежутке [2\pi k, 2\pi(k+1)] тогда и только тогда, когда

\begin{aligned} & \frac{x_{0}^{-1} \frac{e^{\epsilon A(2\pi)}-1}{\epsilon} + B(2\pi,\epsilon)}{M_{0}(\epsilon) (e^{\epsilon A(2\pi)} -1) +B(2\pi,\epsilon)} \leq e^{\epsilon A(2\pi)k} \leq \frac{x_{0}^{-1} \frac{e^{\epsilon A(2\pi)}-1}{\epsilon} + B(2\pi,\epsilon)}{m_{0}(\epsilon) (e^{\epsilon A(2\pi)} -1) +B(2\pi,\epsilon)}. \qquad(11)\ \end{aligned}

Отсюда явствует, что минимальный k = \frac{1}{\epsilon A(2\pi)} \ln \left( 1+ \frac{A(2\pi)}{x_{0} B(2\pi,0)} \right) + O(1) , следовательно, T = T^{*} + O(1) при x_{0}=u_{0} и \epsilon \to 0 .

В произвольной ситуации невозможно предъявить неявные уравнения вида F(t;x^{0},\epsilon)=0 для времени blow-up усреднённых и точных уравнений, поэтому нужно придумать совершенно другую концепцию исследования соотношений между ними. К счастью, для проверки принадлежности интегральных кривых некоторым областям расширенного фазового пространства вовсе не обязательно интегрировать уравнения. Новые перспективы открывает переход от дифференциальных уравнений к дифференциальным, интегральным или интегро-дифференциальным неравенствам. При этом «интегрирование» неравенств не всегда означает предъявление эквивалентного неравенства без интегралов и производных от неизвестной функции; чаще всего дело ограничивается неравенством-следствием. Рассмотрим, к примеру, классическое утверждение из общей теории дифференциальных уравнений.

Лемма Гронуолла. Пусть \alpha, \beta — непрерывные вещественнозначные функции на промежутке [0,\infty) , а непрерывная функция u: [0;\infty) \to \mathbb{R} удовлетворяет для всех t\in[0,\infty) неравенству

\begin{aligned} & u(t)\leq \alpha(t) + \int \limits_{0}^{t}{\beta(s)u(s) ds}. \qquad(12)\\ \end{aligned}

Тогда при t \geq 0 верно u(t) \leq \alpha(t)+\int \limits_{0}^{t}{\alpha(s) \beta(s) ds \exp \int \limits_{s}^{t}{\beta(\theta) d\theta}} . Если, кроме того, всюду \alpha(t) \geq 0 , то

\begin{aligned} & u(t)\leq \alpha(t) \exp \int \limits_{0}^{t}{\beta(s) ds}. \qquad(13)\\ \end{aligned}

Лемма Гронуолла, а именно неравенства (13) достаточно для установления оценки решений точных уравнений (1) через решения усреднённых уравнений (2). Действительно, пусть x=x(t) — решение уравнений (1), а u=u(t) — решение уравнений (2) с общим начальным условием x(0)=u(0)=c (для разгрузки формул не указываем зависимость решений от малого параметра). Очевидно, решение u=u(t) продолжается на промежуток \left[ 0,\frac{\kappa}{\epsilon} \right] , причём \kappa можно выбрать не зависящим от \epsilon (чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену времени \tau=\epsilon t в уравнениях (2)). Предположим, что x=x(t) также продолжается на указанный промежуток. Тогда для любого t \in \left[0,\frac{\kappa}{\epsilon} \right] верно

\begin{aligned} & x(t)-u(t) = \epsilon \int \limits_{0}^{t} {\left( X(x(\theta),\theta)-\overline{X}(u(\theta)) \right) d \theta}. \qquad(14)\\ \end{aligned}

Допустим, что правая часть уравнений (1) удовлетворяют следующим условиям: \exists M>0 \forall x \in \mathbb{R}^{n} \forall t \in \mathbb{R} \| X(x,t) \| \leq M ; существует константа L>0 , что для всех x\in\mathbb{R}^{n} и t \in \mathbb{R} выполнено условие Липшица {\|X(x,t)-X(x',t)\| \leq L \|x-x'\|} . Во-первых, оценим норму разности x(t)-u(t) :

\begin{aligned} & \| x(t) - u(t) \| \leq \epsilon \left\| \int \limits_{0}^{t}{( X(x(\theta),\theta)- X(u(\theta),\theta) + X(u(\theta),\theta)-\overline{X}(u(\theta)) ) d \theta} \right\| \leq \\ & \epsilon L \int \limits_{0}^{t}{\| x(\theta)-u(\theta)\| d \theta}+\epsilon \left\| \int \limits_{0}^{t}{( X(u(\theta),\theta)-\overline{X}(u(\theta)) ) d \theta} \right\|. \qquad(15)\\ \end{aligned}

Обозначим \widetilde{X}(u,t)=X(u,t)-\overline{X}(u) . Во-вторых, разобьём промежуток интегрирования на N= \lfloor \frac{\kappa}{\epsilon} \rfloor периодов и рассмотрим оценку

\begin{aligned} & \epsilon \left\| \int \limits_{0}^{t} {\widetilde{X}(u(\theta),\theta) d\theta} \right\| \leq \epsilon \sum \limits_{k=0}^{N-1}{\left\| \int \limits_{2\pi k}^{2\pi(k+1)}{\widetilde{X}(u(\theta),\theta) d\theta} \right\|}+2\epsilon \pi M \leq \\ &\epsilon \sum \limits_{k=0}^{N-1} \int \limits_{2\pi k}^{2\pi(k+1)}{\| \widetilde{X}(u(\theta),\theta)-\widetilde{X}(u^{k},\theta) \| d\theta}+\epsilon \sum \limits_{k=0}^{N-1}\left\| \int \limits_{2\pi k}^{2\pi(k+1)}{\widetilde{X}(u^{k},\theta) d\theta} \right\|+2\epsilon \pi M, \,\,(16)\\ \end{aligned}

где u^{k}=u(2\pi k) . Легко видеть, что \int \limits_{2\pi k}^{2\pi(k+1)}{\widetilde{X}(u^{k},\theta) d\theta}=0 . Имеем u(\theta) = u^{k} + \int \limits_{2 \pi k}^{\theta} {\overline{X}(u(\tau)) d \tau} , откуда \| u(\theta) - u^{k} \| = \epsilon \left\| \int \limits_{2\pi k}^{\theta} {\overline{X}(u(\tau)) d \tau} \right\| \leq \epsilon M | \theta - 2 \pi k | . Заметим, что функция \widetilde{X} также удовлетворяет глобальному условию Липшица с константой L . Поэтому продолжим неравенство (16) следующим образом:

\begin{aligned} & \epsilon \left\| \int \limits_{0}^{t} {\widetilde{X}(u(\theta),\theta) d\theta} \right\| \leq \epsilon L \sum \limits_{k=0}^{N-1} {\int \limits_{2\pi k}^{2 \pi(k+1)} {\| u(\theta) - u^{k} \| d \theta}} +2\epsilon \pi M \leq \\ &\epsilon^{2} LM \sum \limits_{k=0}^{N-1} {\int \limits_{2\pi k}^{2\pi (k+1)} {(\theta - 2 \pi k) d \theta}}+ 2 \epsilon \pi M \leq 2\epsilon \pi M (L\kappa+1), \qquad(17)\\ \end{aligned}

поскольку N \leq \frac{\kappa}{\epsilon} . Итак, скалярная функция \| x(t)-u(t) \| удовлетворяет интегральному неравенству

\begin{aligned} & \| x(t) - u(t) \| \leq 2\epsilon \pi M (L\kappa+1) + \epsilon L \int \limits_{0}^{t}{\| x(\theta)-u(\theta)\| d \theta}, \qquad(18)\\ \end{aligned}

и по лемме Гронуолла \|x(t)-u(t)\| \leq 2\epsilon \pi M (L\kappa+1) e^{\kappa L} . Вывод: решение уравнений (1) есть решение уравнений (2) с тем же начальным условием плюс O(\epsilon) на промежутке совместного существования \left[ 0,\frac{\kappa}{\epsilon} \right] .

Ситуация гипотезы об усреднённых blow-up в каком-то смысле противоположна условиям стандартных результатов теории усреднения: если правая часть X равномерно ограничена и удовлетворяет глобальному условию Липшица, то взрывные решения исключены. Однако, мой подход к доказательству гипотезы вполне аналогичен получению оценок метода усреднения. Во второй части цикла доказательство будет изложено от начала до конца без ненужных прелюдий.

Опубликовано Alexander Baikov

3 ответа к «Исследование blow-up ОДУ методом усреднения I: основная гипотеза»

Добавить комментарий